立足規律超越規律
——兼談《釘子板上的多邊形》教學

趙國防（特級教師）

探索規律作為《數學課程標準（2011版）》（下稱《課標》）規定的教學內容之一，在學生的數學學習中起著重要的作用。通過探索規律的教學，一方面可以引導學生發現和總結數學中的一些重要規律，同時感受規律之美、數學之美，另一方面引導學生在探索規律的過程中積累研究經驗，感悟數學思想，提升數學素養。《課標》對小學階段分別提出了探索規律的任務與要求：第一學段是“探索簡單情境下的變化規律”，第二學段要“探索給定情境中隱含的規律或變化趨勢。”可見，規律教學既要把握規律的內涵，探尋深層的、本質的規律，又要尊重學生的認知水平，逐步深入，層層提高，方能撥開云霧，遇見規律之外的“規律”。

一、把握規律內涵，抓準教學之“根”

規律是客觀事物發展過程中的本質聯系，是事物本身所固有的、深藏于現象背后并決定或支配現象的一種穩定關系。這種穩定關系具有四個特點：一是必然性，規律所反應的關系盡管是在變化中發生的，但它卻具有確定不移的、必然如此的聯系，是事物本質的聯系，也是穩定不變的聯系。二是普遍性，規律是存在于客觀世界的一種普遍性的本質關系，它具有普遍性，如太陽東升西落、奇數加奇數等于偶數等等。三是客觀性，規律是客觀存在的，不受人為因素等外界干擾，它是客觀世界現象背后的一種應然存在。四是永恒性，正因為規律是事物的本質聯系，是一種穩定關系，所以規律在任何年代、任何時期都依然存在，一成不變，這也恰是它上述三個特點的一種綜合而必然的結果。

在把握了規律的內涵和基本特點之后，我們再來審視數學中的規律，視域將更開闊，認識將更深刻。數學上的規律很多，但它們無非都是數和形在變化過程中呈現出來的一些固定不變的特征或關系。就拿《釘子板上的多邊形》一課來說，其中的規律就是多邊形面積和釘子數之間的關系。（以面積用S，多邊形內釘子數用a，邊上釘子數用n表示為例）第二層次的規律，已經是高度概括和抽象的一種關系表達。

本課中，僅規律就有兩個層次。（見上表）第一層次，就是釘子板內釘子數是具體數時，多邊形的面積和邊上釘子數、內部釘子數之間的關系。這一探索過程的思維方式主要是歸納推理，即借助具體數據進行探索研究，發現和總結規律。第二層次，就是利用研究所得到的規律，進行觀察、對比、分析與概括，此時所用的思維方式主要是類比推理。

規律的探索過程是一個動中有靜、靜中有動的變化過程，教學中要努力挖掘和提煉規律的基本特點，幫學生多角度認識規律、研究規律、發現規律、總結規律、應用規律。

如周敏君老師的課堂，圍繞“多邊形內只有1枚釘子”的情況，引導學生進行了深入而完整的探索與發現。尤其是當得到S=n÷2時，她及時提升“……但我們只是通過這四個例子有所發現，只能說是一個初步的猜想，還需要列舉更多的例子來進行驗證。是不是內部只有1枚釘子的多邊形都符合這個發現呢？……請多邊形內部只畫有1枚釘子的同學介紹圖形的面積、邊上的釘子數分別是多少。其他同學也迅速地舉例驗證，看看是否符合剛才的發現，并找找有沒有反例。”在追問中釋放任務，在追問中延展思維，在追問中導向深刻。牢牢地抓住“多邊形內只有1枚釘子”的情況，引導學生經歷了“分析研究——提出猜想——充分驗證——總結應用”規律教學的完整過程，滲透了數形結合思想和符號化思想，為學生后續的規律探索提供了研究參照和方法導引，也為深入研究奠定了基礎。多邊形內釘子數是2、3、4……的研究，均是“多邊形內只有1枚釘子”的延伸和拓展，變的只是數據大小，不變的是內在的本質關系。

蔡小鋼老師的課堂，當學生利用四個多邊形得到初步結論后，教師及時追問：“是不是所有的多邊形面積都符合上述規律？”引導學生拿出課前圍成的多邊形，獨立驗證。接著教師再次追問“為什么有些多邊形符合猜想，而有些多邊形卻不符合呢？”引導學生觀察、比較、發現，“符合規律的多邊形里面都只有1枚釘子。”教師順勢引導概括規律，“你能完整地表達這個規律嗎？如果用N來表示多邊形內的釘子數，誰能把結論完整地表達出來？”在得到初步猜想之后，他運用了在“大量實例中驗證規律”的思路，即讓學生拿出課前圍的多種多邊形，讓學生去驗證，去發現。此時的驗證，是一種多元素材背景下的驗證，最終得到結論：“符合規律的多邊形，里面都只有1枚釘子。”再次強化和印證了初步猜想——多邊形內只有1枚釘子時，多邊形的面積=邊上的釘子數÷2。在上述驗證過程中，變化的是多邊形內的釘子數，不變的是多邊形內只有1枚釘子時，多邊形的面積=邊上的釘子數÷2，凸顯了規律本質，深化了認知與理解。

二、重視探索過程，凸顯教學之“魂”

探索規律的教學，自然是以規律探索為重點，但它具有雙重任務，一是規律探索，二是過程經歷，即既重視結果，又重視過程。探索規律的過程，就是學生圍繞教師設計的學習活動展開系列猜想——驗證——概括——應用的過程。探索中，有兩條主線同時行進，一條是“明線”，即規律探索的活動線索，另一條為“暗線”，即探索過程中的思維訓練及情感培養線索。“明線”是具有可視化、過程性的活動線，便于觀察與評價。而“暗線”則是隱匿于“明線”背后不具可視化、不便于評價的隱含要素，它比規律更為重要。“暗線”直接指向學生數學學習的思想方法、情感與態度，是對學生今后學習與生活起著重要作用的“隱形力量”，應該是教學之“魂”。教學中，教師要在抓準教學之“根”——“規律”的基礎上，凸顯教學之“魂”——思想方法和情感培養。

在《釘子板上的多邊形》這一課中，“明線”是規律探索，“暗線”則是思想方法。那么本課都涉及哪些思想方法呢？首先是“數形結合思想”。比如學生在探索“多邊形內只有1枚釘子”的時候，借助直觀圖形，以1厘米為基本單位去數邊長、算面積，然后將所得數據匯總到表中。在此基礎上，引導學生對照圖形和數據，對表格中的數據進行橫向比較和縱向比較。在這一過程中，一方面借助于數的精確性（邊上的釘子數）來闡明了形的屬性（面積大小），另一方面，借助形的幾何直觀性（面積大小）來闡明與數（邊上的釘子數）之間的某種關系（多邊形面積=邊上的釘子數÷2）。多種角度、不同方向滲透了數形結合思想。

實際上，“數形結合思想”在本課的多個環節都得到了應用和訓練。通過抽象思維與形象思維的結合，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化。

其次就是“符號化思想”。符號化思想作為一種重要而基本的思想存在于數學之中，對學生的學習和發展起著決定性的支撐作用。在《釘子板上的多邊形》一課中，多處滲透了符號化思想。比如在蔡小鋼老師的課上，他放手讓學生探究了“圖形內釘子數為1”的情況后，引導學生用字母N表示多邊形內的釘子數，用L表示多邊形邊上的釘子數，并讓學生一步步概括規律，得到了“當N=1時，S=L÷2”。在這一過程中，為了便于表達采用了字母這種數學符號，體現了符號化簡明、精確、抽象的優勢。在得到“圖形內釘子數為1”的多邊形的面積規律后，教師及時引導學生探索了“圖形內釘子數為2”的多邊形的面積規律，并順勢追問：“當 N=1 時，S=L÷2，當 N=2 時，S=L÷2+1，當 N=3、4、5……時，S 與 L 之間又有什么關系呢？你們打算如何驗證？”啟發學生展開合作探究與驗證，并圍繞“這個公式適用于N=0時的情況嗎？”這種特例進行了驗證。驗證的過程，就是一種數字和符號相互作用的過程，更是一種符號化的過程。

再次是“函數思想”。在研究多邊形邊上釘子數與多邊形面積之間的規律時，就涉及到了一元函數。在考慮到多邊形內釘子數的要素后，便會得到：多邊形的面積=多邊形邊上的釘子數÷2+（多邊形內的釘子數-1），即 S=n÷2+（a-1），此時便是二元函數。尤其是把得到的數據填入表格中，在觀察、比較、分析時，函數的變與不變思想便會體現得淋漓盡致。

此外，本課還涉及到了歸納推理思想、分類討論思想、類比思想等等，在此不再一一贅述。

學生在具體情境中，一步步發現，一步步驗證，一步步總結歸納，一步步實踐應用，完整經歷了規律探索的“全過程”，不僅達到了《課標》中“探索給定情境中隱含的規律或變化趨勢”的教學要求，更重視了過程經歷，強化了經驗積累與思想感悟，凸顯了數學教學之“魂”，讓規律教學真正超越了“規律”。