變中尋不變玩中悟本質
——《“半個”長方形》教學

蔡小鋼 趙國防（特級教師）

多年的教學實踐中常常遇到這樣一種問題：在組合圖形面積的計算過程中，學生思維不夠活躍，思路不夠開闊，稍復雜一點的題目便會“卡殼兒”。這到底是為什么呢？經過個別訪談和專項調研，我們發現，從基本圖形的面積計算到組合圖形的面積計算，之間有一道思維之“坎兒”，而教材中恰恰缺少跨越這道“坎兒”的內容，于是便開發了本課，一經實踐，效果明顯。

【教學過程】

一、創設情境，激趣導入

（由生活中的人物照片引出課題）

師：今天我們學習在長方形中尋找“半個”長方形。

說明：如果把長方形分成兩個部分，一部分是“半個”長方形，另一部分也是“半個”長方形。

二、多種方式，找尋“一半”

1.預熱：動手折出“一半”。

師：這兩個“半個”長方形有什么關系？

生：形狀相同。

生：也有可能形狀不相同，但是面積相等。

師：形狀相同，面積肯定相等；形狀不相同，面積也可能相等，這兩種情況都可以看成“半個”長方形。我們先來研究兩個部分形狀完全相同的情況。

師：怎么把一個長方形分成形狀完全相同的兩部分？

（讓學生用A4紙折一折）

課件出示：

師：通過折一折，可以把長方形分成完全相同的兩部分，它們都可以看成“半個”長方形。

2．發展：過中心畫出“一半”。

師：如果把四種分法在一個長方形中表示出來，你有什么發現？

生：這個長方形被分成了8塊完全相同的部分。

生：4條分割線都經過長方形中間的一點。

師：這個點我們通常叫做長方形的中心。猜猜看，還有什么分法也可能把長方形分成完全相同的兩部分？

生：經過中心的一條直線。

師：怎么快速地找到長方形的中心呢？

生：畫兩條對角線，交叉點就是中心。

師：對啊！不用折，畫一畫就可以了！那這樣的分割線真能把長方形分成完全相同的兩部分嗎？怎么證明？

生：量一量每條邊，看這兩部分的每條對應邊是否相等。

生：沿著分割線剪一剪，比一比這兩部分能否重合。

師：好辦法！是否過中心的一條直線都能把長方形分成完全相同的兩部分呢？

（引導全班學生畫一畫、量一量、剪一剪、比一比）

（學生操作，匯報）

結論：過中心的任何一條直線都能把長方形分成完全相同的兩部分。

3.超越：兩個圖形找“一半”。

師：回顧一下，我們剛才通過四種特殊的分法，發現了4條分割線都經過長方形的中心，于是我們猜想一般的分法，通過動手操作驗證了猜想，歸納出只要經過中心的任何一條直線都可以把長方形分成完全相同的兩部分。

師：用剛才的發現來解決問題吧！想不想挑戰？

生：（躍躍欲試）想！

師：你能用一條直線把下面兩個長方形都分成完全相同的兩部分嗎？

生：找到這兩個長方形的中心，再把它們連起來！

生：（補充）還要把這條線段兩端都延長！

師：你們太厲害了！根據兩點確定一條直線，這條直線既經過小長方形的中心，又經過大長方形的中心，所以能把兩個長方形都分成完全相同的兩部分。

三、不斷超越，在應用中創新

1.組合圖形找“一半”。

師：這個組合圖形如何找到它的一半呢？

生：把它分成兩個長方形，經過兩個長方形的中心畫一條直線。

師：哪里是它的一半？

生：把一個長方形的一半加另一個長方形的一半就是整個組合圖形的一半。

師：有道理！（指一指，語調上揚）一半加一半就是整個圖形的一半！

生：我有其他想法了！也是先把它分成兩個長方形，只要分別經過這兩個長方形的中心，再把各自的一半合起來就是組合圖形的一半。

師：這個想法好！打破了我們固定的思維，用兩條分割線分別找一半再把各自的一半合起來。

2.不過中心找“一半”。

師：根據剛才的思路，我們再回過頭來看開始的長方形。（強調）不經過長方形的中心，是不是也能找到“半個”長方形？

生：我們把長方形先分成兩個小長方形，然后分別找小長方形的一半，再把它們合起來。

生：（激動的）分成3個小長方形也行，找這3個小長方形的一半，再把它們合起來。

師：分成4個行嗎？5個呢？

生：行！只要分別找一半，再把它們合起來！

師：（激動指出）這些分割線都沒有經過大長方形的中心，但是……

生：分別經過了各自小長方形的中心。

3.判斷聯系，發散思維。

判斷：下面哪些陰影部分是所在長方形面積的一半？

（學生匯報）

小結：我們已經知道過中心能把長方形分成完全相同的兩部分，這兩部分都是長方形面積的一半。通過剛才的學習，我們又發現不過中心也能找到。歸根結底，只要把長方形分成若干個小長方形，分別找小長方形的一半，再把它們合起來就可以。

【點評】

作為一節自主開發的既基于教材又超越教材的生動課例，本課體現了以下三個特點。

一是立足學生研究，直面學生之“困”。學生在學了基本圖形的面積計算之后，均能熟練地計算它們的面積，但在進行組合圖形的面積計算時，卻時常束手無策。這僅僅是因為組合圖形涉及的圖形數量多了，計算步驟繁了，運算量大了嗎？不是的。經過大量實踐與研究，我們發現，最主要的問題在于學生的思維沒有打開，認知不夠靈活，未能發現組合圖形的本質，未能在變化中通過轉化尋得其中的“不變”。蔡老師知難而上，根據學生學習過程中的實際困難，深入研究，精心設計，難能可貴。

二是重視思維訓練，直指學習之“本”。深度學習，最大的特點便是思維的深刻性，而思維的深刻性不僅體現在對某一知識點的深刻理解，更體現在對所學知識的系統建構，活學活用。蔡老師借助半個長方形的變化，打開了學生思維——多種方式找到其中的“一半”，既將之前所學的知識點充分盤活，又讓他們有了新的認識——要均分，就要過“中心”。尤其是找兩個長方形的“一半”時，更充滿了挑戰。它既是對一個長方形找“一半”的鞏固，也是一種變式和超越，將兒童思維引向了縱深。

三是重視思想滲透，直通學習之“魂”。數學思想是數學之魂，數學教學的過程，不僅是知識的探索與發現過程，也是數學思想的滲透與強化過程。在蔡老師的課上，在引導學生找尋長方形的“一半”的過程中，靈活多變，分類推進，民主開放，整體思想、分類討論思想、隱含條件思想、類比思想、歸納推理思想、極限思想等都得到了巧妙滲透。