淺談三角函數中的公式教學

霍喜梅

摘 要：三角函數是物理中描述周期現象的重要數學模型，因此對它的研究和應用勢在必得。在初中數學中，為解直角三角形引入了銳角三角函數;為解任意三角形而推廣到了鈍角三角函數;在學了任意角的概念后，為了刻畫一些簡單的周期運動（已和解三角形毫無關系了）而再次推廣到任意角的三角函數，后者成為非常重要的函數，是描述一般周期函數的基石。

關鍵詞：三角函數;公式教學;數形結合;化歸思想

三角函數全程滲透著數形結合的思想，但在實際教學過程中，學生對數形結合思想理解不到位，導致出現了“死記硬背”公式的現象，從而在解題時錯誤率較高，得分整體偏低。在多次的高考數學研討會上，三角函數成了數學老師探討的話題。經過多年的一線教學，對三角函數中的公式教學，我有以下建議：

一、重基礎，重來源

例如在弧度制的教學中，首先必須掌握弧度制的定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角。因此在單位圓（半徑為1）中就有以下等式

2πrad=360。

那么在這個等式兩端同除以2π，就會得到

1rad=（ ）。

同除以360得到 1°= rad.

這樣就輕而易舉地得到了角度與弧度的換算公式。而且知道這種轉化方法的話，大大減少了記憶量，也一定程度上增加了準確性。

在此基礎上繼續結合初中所學扇形的弧長（? ）和面積

（? ）公式，可很容易地推導出弧度制下扇形的弧長（? ）和面積（? ）公式。

二、重理解，重過程

例如在終邊相同的角的表示中，首先要理解終邊相同的角有無數個，這無數個角不可能一一表示出來，因此需要觀察這些角之間的差別，能否統一用某個式子表示？借助多媒體演示角的發展過程，學生會輕而易舉地找出終邊相同的角之間相差360°的整數倍。從而得到以下公式

而且k為什么取整數也一目了然。

三、重數形結合思想

例如在誘導公式的教學中，大部分老師用“奇變偶不變，符號看象限”來總結記憶。但在實際做題中，反映出大部分學生只知道這十個字，不知道它的具體含義，因此會出現各種各樣的錯誤。但如果我們能很好地應用如下的數形結合思想方法，我覺得誘導公式就不會那么難了。

在平面直角坐標系中，把坐標軸如下標記：

即在化簡時，若求cos（π+α），只需把α先看成銳角，再看π+α在第幾象限（在π的基礎上，沿逆時針方向旋轉銳角的大小，發現π+α在第三象限），而第三象限余弦為負，故cos（π+α）=-cosα。

又如? ? ? ? ? 是 的奇數倍，因此函數名先變為余弦，再看? ? 在第幾象限？（在 的基礎上，減沿順時針方向旋轉銳角的大小，發現? ? 在第三象限），故

。

在利用誘導公式把任意角的三角函數轉化為銳角三角函數的步驟：“負化正，大化小，化到銳角即可”。

四、重化歸思想

因為在涉及到形如y=asinx+bcosx+k的三角函數求最值，對稱軸，對稱中心，單調區間時，需要先統一把函數化成y=Asin（ωx+ψ）+k的形式，這就需要輔助角公式準確化簡。

例如：某實驗室一天的溫度（單位：℃）隨時間t（單位：h）的變化近似滿足函數關系：

（1）求實驗室這一天的最大溫差;

（2）若要求實驗室溫度不高于11℃，則在哪段時間實驗室要降溫？

解：（1）因為

又

當t=2時，? ? ? ? ?f（t）有最小值8;

當t=14時，? ? ? ? f（t）有最大值12;故實驗室這一天的最大溫差為4℃.

（2）依題意，當f（t）>11時實驗室需要降溫。

由（1）得

故在10時至18時實驗室需要降溫。

因此，解決三角函數實際應用題時應注意以下四點：

①活用輔助角公式準確化簡;

②準確理解題意，實際問題數學化;

③“? ? ”整體處理;

④活用函數圖像性質，數形結合。

因此三角函數的公式教學中重細節，重過程，重數形結合和化歸思想的話，公式的記憶和理解也就容易了很多！