淺析帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間極值問(wèn)題

饒華東

摘? ?要：帶電粒子在三角形有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)常涉及最長(zhǎng)（最短）運(yùn)動(dòng)時(shí)間的求解，這類(lèi)問(wèn)題難度較大，學(xué)生錯(cuò)誤率高，特別是何時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，很難確定。本文根據(jù)帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)分析，提出了“半徑比較法”“弦切角比較法”“切線長(zhǎng)比較法”三種判斷方法，可以快速確定粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間何時(shí)取到最小值。

關(guān)鍵詞：帶電粒子;三角形有界磁場(chǎng);運(yùn)動(dòng)時(shí)間;極值

帶電粒子在有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，通常不能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，解決此類(lèi)問(wèn)題必須借助空間想象思維、綜合數(shù)學(xué)知識(shí)，尤其是平面幾何中圓的有關(guān)知識(shí)[ 1 ]。有界磁場(chǎng)包括圓形磁場(chǎng)、矩形磁場(chǎng)、三角形磁場(chǎng)等類(lèi)型，而粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的極值問(wèn)題包括時(shí)間極值、速度極值、角度極值等，本文著重闡述帶電粒子在三角形有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間極值問(wèn)題。

1? 半徑比較法

【例題1】如圖3（a）所示，直角三角形ABC區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，在BC中點(diǎn)D處有一粒子源，可沿與AC平行的方向發(fā)射不同速率的同種粒子，粒子帶正電，電荷量為q，質(zhì)量為m，已知這些粒子都從AC邊離開(kāi)ABC區(qū)域，AC=3l，AB=4l，BC=5l，∠ABC=37°，忽略粒子的重力及粒子間的相互作用，則這些粒子（? ? ? ?）

2? 弦切角比較法

根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)可知，過(guò)一點(diǎn)作圓的兩條切線，兩弦切角相等。

三角形ABC區(qū)域內(nèi)存有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，在BC上的D處有一粒子源，可垂直AB向磁場(chǎng)內(nèi)發(fā)射不同速率的同種粒子，粒子帶正電，電荷量為q，質(zhì)量為m，已知這些粒子都從AC邊離開(kāi)磁場(chǎng)，忽略粒子的重力及粒子間的相互作用。

如圖4（a）所示，若粒子速度最大時(shí)，軌跡與BC恰好相切于C點(diǎn)，從C點(diǎn)射出磁場(chǎng)，作初速度的延長(zhǎng)線交BC與E，根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)有∠ECD=∠EDC。反之，若∠ECD=∠EDC，說(shuō)明軌跡與BC的切點(diǎn)恰好為C，此時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短。

如圖4（b）所示，若粒子速度最大時(shí)，軌跡與BC相切于F點(diǎn)（F點(diǎn)位于BC之間），從H點(diǎn)射出磁場(chǎng)。根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)有∠EFD=∠EDF，顯然此時(shí)∠ECD<∠EDC。反之，若∠ECD<∠EFD，說(shuō)明軌跡與BC的切點(diǎn)F應(yīng)位于BC之間，粒子軌跡不可能經(jīng)過(guò)C點(diǎn)，從H點(diǎn)射出時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短。

如圖4（c）所示，若粒子速度最大時(shí)，軌跡與BC“相切”于F點(diǎn)（F點(diǎn)位于BC延長(zhǎng)線上，且在C點(diǎn)外側(cè)），根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)有∠EFD=∠EDF，∠ECD>∠EDC。反之，若∠ECD>∠EDC，說(shuō)明軌跡與BC的“切點(diǎn)”F應(yīng)該位于BC延長(zhǎng)線上，且在C點(diǎn)外側(cè)，當(dāng)粒子速度繼續(xù)增大，有可能從C點(diǎn)射出，從C點(diǎn)射出時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短。

綜上分析，∠ECD≥∠EDC時(shí)，粒子從C點(diǎn)射出時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，∠ECD<∠EDC時(shí)，粒子無(wú)法運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，軌跡與BC相切時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短。

【例題2】如圖5（a）所示，直角三角形ABC區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，在BC上的點(diǎn)D處有一粒子源，可沿與AC平行的方向發(fā)射不同速率的同種粒子，粒子帶正電，電荷量為q，質(zhì)量為m， AC=3l，AB=4l，BC=5l，AD=3l，∠ABC=37°，忽略粒子的重力及粒子間的相互作用，則這些粒子（? ? ?）。

3? 切線長(zhǎng)比較法

根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)可知，過(guò)一點(diǎn)作圓的兩條切線，該點(diǎn)到兩切點(diǎn)的距離（本文將該距離稱(chēng)作“切線長(zhǎng)”）相等。

三角形ABC區(qū)域內(nèi)存有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，在BC上的D處有一粒子源，可垂直AB向磁場(chǎng)內(nèi)發(fā)射不同速率的同種粒子，粒子帶正電，電荷量為q，質(zhì)量為m，已知這些粒子都從AC邊離開(kāi)磁場(chǎng)，忽略粒子的重力及粒子間的相互作用。

如圖4（a）所示，若粒子速度最大時(shí)，軌跡與BC恰好相切于C點(diǎn)，從C點(diǎn)射出磁場(chǎng)，作初速度的延長(zhǎng)線交BC與E，根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)有EC=ED。反之，若EC=ED，說(shuō)明軌跡與BC的切點(diǎn)恰好為C，此時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短。

如圖4（b）所示，若粒子速度最大時(shí)，軌跡與BC相切于F點(diǎn)（F點(diǎn)位于BC之間），從H點(diǎn)射出磁場(chǎng)。根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)有EF=ED，ED

如圖4（c）所示，若粒子速度最大時(shí)，軌跡與BC“相切”于F點(diǎn)（F點(diǎn)位于BC延長(zhǎng)線上，且在C點(diǎn)外側(cè)），根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)有EF=ED，ED>EC。反之，若ED>EC，軌跡與BC的“切點(diǎn)”F應(yīng)該位于BC延長(zhǎng)線上，且在C點(diǎn)外側(cè)，當(dāng)粒子速度繼續(xù)增大，有可能從C點(diǎn)射出，從C點(diǎn)射出時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短。

綜上分析，ED≥EC時(shí)，粒子從C點(diǎn)射出時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，ED

參考文獻(xiàn)：

[1]李享文.帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的極值[J].甘肅教育，2008（19）：58.