渦輪盤應(yīng)力集中系數(shù)估算方法

摘 ?要：以Ansys Workbench計算的渦輪盤盤心應(yīng)力集中系數(shù)結(jié)果為基礎(chǔ)，用Matlab編程偏最小二乘法程序，計算得出渦輪盤尺寸參數(shù)和盤心應(yīng)力集中系數(shù)的擬合關(guān)系式，將擬合方程的計算結(jié)果和二維有限元應(yīng)力計算結(jié)果進(jìn)行對比，發(fā)現(xiàn)兩者計算結(jié)果具有相似的變化趨勢，誤差平方和約為0.08。表明偏最小二乘法對渦輪盤盤心應(yīng)力集中系數(shù)的擬合計算有一定可行性，為渦輪盤結(jié)構(gòu)正向設(shè)計提供了工具支撐。

關(guān)鍵詞：航空發(fā)動機(jī);方案設(shè)計;渦輪盤;盤心應(yīng)力集中系數(shù)

中圖分類號：V23???文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A??文章編號：1671-2064（2019）16-0000-00

設(shè)計航空發(fā)動機(jī)渦輪盤時，需要根據(jù)渦輪盤的工作條件和幾何形狀，計算渦輪盤的應(yīng)力分布狀態(tài)，確保應(yīng)力水平滿足安全儲備系數(shù)要求。

航空發(fā)動機(jī)的渦輪盤的盤心存在應(yīng)力集中，通常也是渦輪盤周向應(yīng)力最大的位置。該處是渦輪盤的基本構(gòu)型，決定了渦輪盤在轉(zhuǎn)子組件上的裝配關(guān)系。如果在方案設(shè)計階段能夠明確各個尺寸參數(shù)對渦輪盤盤心應(yīng)力集中系數(shù)的影響，那么設(shè)計人員就能進(jìn)行有效率的正向設(shè)計，從而縮短渦輪盤的研制周期。

應(yīng)力集中系數(shù)是無量綱常數(shù)，通常只取決于構(gòu)件的形狀，因而又被稱為“形狀系數(shù)”，不同構(gòu)件的應(yīng)力集中系數(shù)通常通過有限元計算或試驗測算得出。

航空發(fā)動機(jī)渦輪盤的幾何參數(shù)較多，使用傳統(tǒng)響應(yīng)面計算方法難以擬合自變量較多的數(shù)據(jù)集。而建立通過試驗測算得出的盤心應(yīng)力集中系數(shù)的數(shù)據(jù)庫的成本又過大。本文擬采用偏最小二乘法（Partial Least-Square method，PLS）對合理設(shè)計尺寸范圍內(nèi)的渦輪盤盤心應(yīng)力集中系數(shù)進(jìn)行分析擬合。該數(shù)學(xué)優(yōu)化方法的特征為：（1）能夠在自變量較多，樣本較少的條件下回歸建模;（2）能夠在自變量嚴(yán)重耦合的條件下回歸建摸;（3）最終模型中包含所有自變量;（4）回歸模型易于辨識系統(tǒng)的信息和噪聲。

本文通過Ansys Workbench軟件對渦輪盤二維模型進(jìn)行計算分析，得出應(yīng)力集中系數(shù)對應(yīng)渦輪盤幾何參數(shù)的數(shù)據(jù)圖表。然后通過Matlab軟件編程，使用偏最小二乘法程序?qū)?yīng)力集中系數(shù)和渦輪盤幾何參數(shù)的數(shù)據(jù)集進(jìn)行擬合，得到渦輪盤盤心的應(yīng)力集中系數(shù)近似解計算公式。從而達(dá)成初步預(yù)測中小型航空發(fā)動機(jī)渦輪盤方案設(shè)計階段盤心的應(yīng)力集中系數(shù)大小的目的。

1渦輪盤數(shù)學(xué)建模

在分析渦輪盤應(yīng)力大小時，可以簡化輪廓，去除渦輪盤幅板上的鼓筒，以及盤彀上的端齒。以一側(cè)的輪廓面為基礎(chǔ)，重新構(gòu)建渦輪盤。

渦輪盤二維簡化模型如圖1所示，可以用軸向和徑向的變量，x₁、x₂、x₃、x₄、x₅、x₆、x₇、x₈、R₀、R₁、R₂、R₃、R_b這13個參數(shù)表示渦輪盤的輪廓尺寸。

由于應(yīng)力集中系數(shù)對于形狀固定的構(gòu)件是無量綱常數(shù)，滿足相似設(shè)計原則?？梢詼u輪盤榫槽底直徑為設(shè)計基準(zhǔn)進(jìn)行分析，除h_b之外所有參數(shù)都可以與h_b相除，等比計算盤心應(yīng)力集中系數(shù)。

在Ansys Workbench軟件建模中，將R_b設(shè)定為常量（設(shè)為無量綱常數(shù)1，運(yùn)算最為方便），x₁、x₂、x₃、x₄、x₅、x₆、x₇、x₈、R₀、R₁、R₂、R₃這12個變量和R_b的比值為自變量。

使用Ansys Workbench的參數(shù)關(guān)系運(yùn)算分析工具，在一定范圍內(nèi)改變每個參數(shù)的取值，并批量計算這些自變量關(guān)聯(lián)盤心應(yīng)力集中系數(shù)K_t的數(shù)據(jù)集。

2 參數(shù)擬合方法

2.1線性化分析響應(yīng)關(guān)系

應(yīng)用偏最小二乘法前，首先需將12個尺寸自變量相對因變量，即應(yīng)力集中系數(shù)的關(guān)系分別線性化。將其轉(zhuǎn)化為以下形式：

式中： ～——12個尺寸參數(shù)對應(yīng)應(yīng)力集中系數(shù)獨(dú)立的擬合函數(shù);

～——對應(yīng)以上12個擬合函數(shù)的參數(shù);

首先，分析和對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，令除了以外所有的參數(shù)不變，在表1中的上、下限所示的區(qū)間內(nèi)隨機(jī)均布取值，以Ansys Workbench計算10組結(jié)果，其關(guān)系如圖2所示。

擬合的方程舍去常數(shù)項的表達(dá)式為：

擬合后的曲線的殘差平方和約為1，說明符合性非常好。

其他參數(shù)取值不同時，該關(guān)系式并不是唯一的，但由于在表1所示的自變量基礎(chǔ)設(shè)定值變化的上、下限范圍內(nèi)，該函數(shù)的變化較小，仍有一定擬合參考性。

同理對、對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行分析。這兩個自變量的擬合方程舍去常數(shù)項的表達(dá)式為：

;

;

其中的殘差平方和約為1，的殘差平方和約為0.9944，擬合性較好。

從以上自變量和因變量的關(guān)系對比可以看出，自變量在一定取值區(qū)間內(nèi)，可以用二次函數(shù)擬合因變量。本文為相關(guān)性較強(qiáng)的自變量的取值區(qū)間進(jìn)行分段，以[0.3，0.35），[0.35，0.4），[0.4，0.45），[0.45，0.5），[0.5，0.55），[0.55，0.6），[0.6，0.65），[0.65，0.7]為設(shè)計常用取值區(qū)間，每個區(qū)間運(yùn)算300個有限元算例，統(tǒng)計盤心應(yīng)力集中系數(shù)計算結(jié)果和參數(shù)關(guān)系。如表1所示。

根據(jù)以上計算結(jié)果，為簡化運(yùn)算，僅計算關(guān)系因子的絕對值大于0.05的因變量和自變量之間的關(guān)系。即可擬合該條件下的應(yīng)力集中系數(shù)。

2.2偏最小二乘法分析方法

以為自變量向量，以為因變量向量;以為自變量矩陣，以為因變量矩陣。共統(tǒng)計數(shù)據(jù)組。表達(dá)式如下：

（1）計算矩陣最大特征值對應(yīng)的特征向量，求成分，其算其得分向量，殘差矩陣為：

式中， 。

（2）計算矩陣最大特征值對應(yīng)的特征向量，求成分，其算其得分向量，同理計算殘差矩陣。

……

（r）計算矩陣最大特征值對應(yīng)的特征向量，求成分，其算其得分向量。

原有自變量和因變量數(shù)據(jù)則可以表達(dá)為：

將代入，則可得到最小二乘回歸方程：

由于殘差矩陣的秩必然小于原有數(shù)據(jù)矩陣，故小于等于自變量個數(shù)。但通常來說，就像主成分分析一樣，只用選擇前個成分以內(nèi)的，就能得到預(yù)測性較好的結(jié)果。故使用交叉有效性檢驗方法， 確定的實(shí)際取值。

擬合所有樣本點(diǎn)時，令擬合結(jié)果為預(yù)估值矩陣。令預(yù)測值的誤差平方和為，預(yù)測誤差平方和為。通常，總有大于，小于，當(dāng)比值

時，可以認(rèn)為擬合結(jié)果滿足使用需求。

本文通過Matlab軟件對以上計算過程編程，以為例，擬合方程如下所示。

3 算例分析

將擬合的300組數(shù)據(jù)進(jìn)行綜合計算分析，求得擬合方程的計算結(jié)果和有限元計算結(jié)果的誤差平方和為0.08。擬合方程的計算結(jié)果和有限元計算結(jié)果對比如圖3所示。

樣本按有限元計算值的大小降序排列。根據(jù)以上的計算和對比可知，擬合計算結(jié)果雖然產(chǎn)生振蕩，但變化趨勢和有限元計算結(jié)果仍然吻合。最大的偏差不大于0.08。

4 結(jié)論和展望

（1）采用偏最小二乘法擬合航空發(fā)動機(jī)渦輪盤心應(yīng)力集中系數(shù)，得到的多維響應(yīng)面擬合方程有較好的精確性，能夠滿足方案設(shè)計需求;

（2）根據(jù)2.1節(jié)計算結(jié)果，盤心厚度對應(yīng)力集中系數(shù)影響很大，且與應(yīng)力集中系數(shù)呈現(xiàn)明顯的正相關(guān)關(guān)系。和應(yīng)力集中系數(shù)負(fù)相關(guān)，隨它增長，應(yīng)力集中系數(shù)減小;

（3）Matlab編寫的偏最小二乘法計算程序可以對不同的有限元計算數(shù)據(jù)集進(jìn)行統(tǒng)計擬合，當(dāng)渦輪盤變形程度大于本文擬合計算的尺寸參數(shù)上、下限時，可以通過擴(kuò)充計算數(shù)據(jù)、分段計算應(yīng)力集中系數(shù)計算結(jié)果的辦法，改進(jìn)擬合方程系數(shù)，滿足實(shí)際設(shè)計需求。有良好的可擴(kuò)性和可維護(hù)性。

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收稿日期：2019-07-10

作者簡介：張若昀（1985—），男，湖北武漢人，碩士，渦輪結(jié)構(gòu)主管設(shè)計師，工程師，研究方向：航空發(fā)動機(jī)渦輪部件結(jié)構(gòu)課題。

An Estimation Method for Stress Concentration Factor at Turbine Disk

ZHANG?Ruo-yun

（Aecc Hunan Aviation Powerplant Research Institute，Zhuzhou?Hunan ?412002）

Abstract：On the basis of concentration factor for fatigue analysis of turbine disc center calculated by Ansys Workbench， a fitting equation of relationship between turbine discs size and turbine disc centers concentration factor was presented， by using the PLS method programmed with Matlab. The results calculated by fitting equation and finite element method were compared， the trends of the results were approximately in agreement with each other， and error sum of squares was 0.08. This comparison proved PLS methods application value for the calculating of turbine disc centers concentration factor， which can provide reference for the forward design of the aero engine.

Key words：aero engine;scheme;turbine disc;stress concentration factor of turbine disc center