生本化課堂建構(gòu)下函數(shù)等量替換思想的教學(xué)思考

王東

摘要：等量替換思想能夠幫助學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)知識(shí)與方法，并獲得語(yǔ)言與推理能力的長(zhǎng)足發(fā)展。教師應(yīng)充分理解掌握這一思想方法的重要性，并積極鉆研多種方式以幫助學(xué)生對(duì)這種數(shù)學(xué)思想方法產(chǎn)生更多的領(lǐng)悟與感受。

關(guān)鍵詞：等量替換;意義;措施

中圖分類號(hào)：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A???? 文章編號(hào)：1992-7711（2019）19-109-2

等量替換思想在初中數(shù)學(xué)函數(shù)中的應(yīng)用對(duì)于學(xué)生的思維能力來(lái)說(shuō)是一種挑戰(zhàn)。這部分知識(shí)雖然較難掌握，但一旦掌握這一基礎(chǔ)思想，往往能使解題更加方便，因此，教師在具體的教學(xué)中應(yīng)充分理解這一思想方法的重要性與價(jià)值。

一、何謂等量替換思想

學(xué)生從小學(xué)階段就開(kāi)始接觸等量替換這一思想方法，這一思想方法的應(yīng)用比較廣泛，物理、化學(xué)等其他自然學(xué)科的學(xué)習(xí)中也有等量替換思想的應(yīng)用。將一個(gè)量用與之相等的量代替即為初中函數(shù)學(xué)習(xí)中經(jīng)常會(huì)應(yīng)用的等量替換思想。利用等式的傳遞性進(jìn)行替換是最為狹隘且直白的表現(xiàn)，比如，如果a=b，b=c，則就有a=c。而在狹義等量替換的基礎(chǔ)上進(jìn)行擴(kuò)展與延伸即為廣義上的等量替換，這一拓展與延伸的應(yīng)用是相當(dāng)廣泛的。

二、等量替換教學(xué)的意義

1.幫助學(xué)生更好地掌握知識(shí)

學(xué)生在等量替換方式的應(yīng)用中能夠更好地掌握等量替換的思想以及問(wèn)題中所涉及的知識(shí)。

2.培養(yǎng)學(xué)生的語(yǔ)言和推理能力

能夠運(yùn)用于多門課程的等量替換思想在函數(shù)知識(shí)理解與解題中的應(yīng)用能夠更好地發(fā)展學(xué)生的思維，學(xué)生在借助圖文理順題中各關(guān)系的過(guò)程中能夠更好地進(jìn)行推理與解題。

3.培養(yǎng)學(xué)生的情感

學(xué)生熟練運(yùn)用等量替換思想全面、有序地思考與解決問(wèn)題中能夠增強(qiáng)與同學(xué)之間的溝通與情感交流，合作學(xué)習(xí)下的切磋也會(huì)令學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生更加濃厚的感情。

三、培養(yǎng)措施

1.一次函數(shù)中的等量替換

如何確定函數(shù)的表達(dá)式是初中數(shù)學(xué)中一次函數(shù)知識(shí)的重難點(diǎn)。一般來(lái)說(shuō)，首先應(yīng)設(shè)解析式：y=kx+b，接著利用已知坐標(biāo)點(diǎn)代入解析式并求得待定常數(shù)k、b的值并最終得出解析式。

例1：已知某直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1，0）、（0，3），則該直線解析式如何？

解析：首先，設(shè)解析式為y=kx+b，然后根據(jù)已知條件將點(diǎn)（-1，0）、（0，3）分別代入解析式中得出：k-b=0，b=3。利用等量替換或移項(xiàng)即可得出k=3，將k代入所設(shè)解析式即得：y=3x+3。

此類題目在初中函數(shù)知識(shí)的題目中是比較簡(jiǎn)單的，解析式與坐標(biāo)系圖像在函數(shù)的這一部分知識(shí)點(diǎn)中都是可以代表函數(shù)的，上述步驟在根據(jù)圖像確定解析式的過(guò)程中是一樣適用的。

2.二次函數(shù)的等量替換

二次函數(shù)和一次函數(shù)相比較而言在難度上增大了許多，作為教學(xué)重難點(diǎn)的二次函數(shù)知識(shí)一般在中考試題中都會(huì)以壓軸題的形式出現(xiàn)，學(xué)生往往在此類題目的解決中表現(xiàn)得不盡如人意。

例2：已知某一次函數(shù)的圖像和y軸相交于點(diǎn)（0，-1），同拋物線y=x2+bx+c頂點(diǎn)與點(diǎn)（2，5）相交，求該函數(shù)解析式和常數(shù)b、c的值。

解析：如何求出該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是這一題目的一個(gè)難點(diǎn)，對(duì)于一般式y(tǒng)=ax2+bx+c，（a≠0），其頂點(diǎn)坐標(biāo)不難知道，即（-b2a，4ac-b24a），利用等量替換思想并結(jié)合配方法將一般式變形即可求得該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)。如下y=ax2+bx+c=a（x+b2a）2+4ac-b24a，求得頂點(diǎn)坐標(biāo)后解題也就容易了許多。將一次函數(shù)的解析式設(shè)為y=kx+n，根據(jù)題意并將已知點(diǎn)的坐標(biāo)點(diǎn)等量代換即可求得2k+n=5，n=-1，等量代入可得k=3，n=-1，則解析式為y=3x-1。對(duì)于b、c值的求解，根據(jù)題意以及上述分析可得頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-b2，4c-b24），將頂點(diǎn)坐標(biāo)與點(diǎn)（2，5）分別代入一次函數(shù)和拋物線解析式可得：4c-b24=3×-b2-1，4+2b+c=5，b、c兩值即可求得。

3.三角函數(shù)的等量替換

（1）“角”的替換

三角函數(shù)中的相應(yīng)角度替換是初中三角變化解題中常見(jiàn)的。函數(shù)運(yùn)算過(guò)程中的名稱、符號(hào)、次數(shù)等在三角函數(shù)角度替換的過(guò)程中也會(huì)隨之發(fā)生相應(yīng)的變化。

例3：在△ABC中，∠BAC=90°，M為線段AC的中點(diǎn)，且AG⊥BM，垂足是G，BG=2GM。（1）證明BC=3AG;（2）設(shè)AB=6，則BM的長(zhǎng)度應(yīng)為多少？

解：（1）因?yàn)锳G⊥BM于點(diǎn)G，且∠BAC=90°，所以∠AGB=90°，所以∠AGM=90°，所以∠ABG+∠BAG=90°，所以∠GAM+∠GMA=90°，所以∠BAG+∠GAM=90°，所以∠ABG=∠GAM（等量替換的應(yīng)用），tan∠ABG=tan∠GAM（等量替換的應(yīng)用）。設(shè)AG=x，BG=2GM=2a，AG∶BG=MG∶AG（等量替換的應(yīng)用），x∶2a=a∶x，x2=2a2，x1=2a，x2=-2a（負(fù)數(shù)舍去）。AB=6a（由勾股定理得），AM=3a（勾股定理），BC=32a（勾股定理），所以BC=3AG。

（2）由（1）可得當(dāng)AB=6時(shí)，a=1，所以BM=BG+MG=3a=3。

三角函數(shù)的很多問(wèn)題解決中都會(huì)有一些相異的角存在于表達(dá)式中，因此，在此類問(wèn)題的解決中應(yīng)根據(jù)題目的實(shí)際情況理順三角角度間和、差、倍、半、補(bǔ)、余之間的關(guān)系，在已知角替換未知角之后再進(jìn)行具體的運(yùn)算并使問(wèn)題順利得解。

（2）“形”的替換

根據(jù)題中所給的具體需求并將常數(shù)1轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)是三角函數(shù)化簡(jiǎn)、證明以及求值運(yùn)算中經(jīng)常會(huì)運(yùn)用的首要步驟，然后再利用三角函數(shù)公式進(jìn)行具體運(yùn)算并獲得最終求解。利用常數(shù)1對(duì)三角函數(shù)進(jìn)行替換與運(yùn)算在此類題目的求解中是最為常見(jiàn)的。三角形中的恒等式是初中三角函數(shù)中“形”替換最為主要的表現(xiàn)形式，具體表現(xiàn)在sin2x+cos2x=1，是恒成立的。

4.教學(xué)注意事項(xiàng)

（1）歸納指導(dǎo)思維方法

教師在函數(shù)等量替換的教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)思維方式進(jìn)行總結(jié)和歸納，對(duì)問(wèn)題建構(gòu)的同時(shí)總結(jié)解題的思維方式。教師在具體問(wèn)題的解題教學(xué)中應(yīng)及時(shí)構(gòu)建問(wèn)題模型并將等量替換這一抽象的數(shù)學(xué)思維轉(zhuǎn)成實(shí)踐以促進(jìn)學(xué)生順利解題。

（2）激發(fā)學(xué)生探索

教師在等量替換的教學(xué)中應(yīng)善于運(yùn)用常識(shí)或故事來(lái)激發(fā)學(xué)生的探索，使學(xué)生深刻領(lǐng)會(huì)等量替換的巧妙。

（3）根據(jù)需要編排教材

教師在平時(shí)的教學(xué)中應(yīng)隨時(shí)關(guān)注學(xué)生的實(shí)際情況并進(jìn)行充分的考量;關(guān)注學(xué)生整體的接受能力、知識(shí)的先后、教學(xué)程序的設(shè)立等等內(nèi)容，不僅如此，教師還應(yīng)考慮到理論學(xué)習(xí)的枯燥與無(wú)趣，因此，在實(shí)際教學(xué)中，教師可以根據(jù)需要對(duì)教材進(jìn)行重新編排以促使學(xué)生在簡(jiǎn)單問(wèn)題中逐步展開(kāi)探索，在理論逐漸深入的過(guò)程中，將現(xiàn)實(shí)的具體問(wèn)題得到轉(zhuǎn)化并達(dá)成深入學(xué)習(xí)。

培養(yǎng)學(xué)生靈活應(yīng)用等量替換思想解題是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一項(xiàng)重要內(nèi)容。事實(shí)上，中學(xué)生接觸等量替換思想只是其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)開(kāi)端，因此，教師應(yīng)充分意識(shí)到掌握這一思想方法的重要性并積極鉆研多種方式以幫助學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法產(chǎn)生更多的領(lǐng)悟與感受，這對(duì)于學(xué)生的終身學(xué)習(xí)與生活來(lái)說(shuō)都是極有意義的。

（作者單位：蘇州市吳江區(qū)青云中學(xué)，江蘇 蘇州215000）