簡述波利亞數學原則在教學中的應用

王小蘭

摘要：波利亞是數學教育發展史上一顆璀璨的明珠，他對數學思維一般規律的研究，堪稱是對人類思想寶庫的特殊貢獻。本文闡述了波利亞數學學習的三條原則，即主動性原則、最佳動機原則和階段序進原則。

關鍵詞：波利亞;數學;原則

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A???? 文章編號：1992-7711（2019）19-110-2

波利亞的解題理論強調的是數學思維的教學，他把解題作為一種手段，通過怎樣解題的教學，啟迪學生的數學思維，以培養學生分析和解決問題能力。本文闡述了波利亞數學學習的三條原則：主動性原則、最佳動機原則和階段序進原則。

一、主動學習原則

波利亞認識到在教與學這一矛盾體中，學是矛盾的主要方面，學生是學習的主體。只有充分調動其主觀能動性，才能取得良好的學習效果。波利亞確信，“學習任何東西的最佳途徑是靠自己去發現”。因為發現使理解最為深刻，容易把握事物間的本質特征和內在聯系，也能使學生嘗到成功的喜悅。為此，他引用了18世紀德國物理學家利希騰伯格（G·Lichtenberg）的一段話來充分說明這一點，“那些曾使你不得不親自動手找到的東西，會在你的腦海里留下一條途徑，一旦有所需要，你就可以重新運用它”。比如，在七年級下冊講解《有理數的乘方》新課時，教師可以用“印度國王獎賞象棋發明家的故事”為素材引入，從而發現規律，嘗試“以此類推第五個、第六個格子中應放多少粒麥子”，再列出計算第64個格子中麥粒數的算式，以此來引入新課，增加了趣味性，滿足了好奇心，立竿見影，使學生注意力集中，從而使學生在觀察思考、嘗試、列式中，感受到有學習新知的必要，繼而形成穩定的學習興趣和強烈的求知欲望，并依據問題與故事中麥粒放置規律，引發聯想，使學生思維迅速活躍了起來，使學生的全部心理活動參與到了這節課的學習中來。

二、最佳動機原則

最佳動機原則是學生在學習、探索這種強烈心智活動中找到樂趣的心理狀態。波利亞認為，導致學習最佳動機的是使學生感興趣的學習材料，是教學內容本身的內在魅力。因而，教師在教學中的責任應該是使學生相信數學是有趣的，所討論的問題是有價值的，鼓勵學生在解題前猜測結果、預示方法等等，使學生在這一系列活動中體會其樂趣所在。比如，在八年級上冊一次函數中有這樣一個問題：我國是一個嚴重缺水的國家，為了加強公民的節水意識，某市制定了如下用水收費標準：每戶每月的用水量不超過6噸時，水價為每噸2元;超過6噸時，超過的部分按每噸3元收費。該市某戶居民5月份用水x噸，應交水費y元。

（1）若0

（2）若x>6，請寫出y與x之間的函數關系式。

（3）在同一平面直角坐標系中，畫出以上兩個函數的圖象。

（4）如果該戶居民這個月交水費27元，那么這個月該戶用了多少噸水？

這個問題，不僅讓學生學會了分段函數表達式的求解方法，分段函數的圖象的畫法，還學會了實際問題的解決方法，培養了學生節約用水的環保意識，從而體現我們所學習的數學是有價值的。另外，學習中還有些次佳的動機，如學習好可以在學校里成為同學學習的榜樣，在社會上取得令人羨慕的地位和良好的生活待遇，會給家長贏得地位和榮譽，不學習會帶來懲罰，等等。在教學中，教師應盡力促使學生形成最佳動機，使學生保持旺盛的學習勁頭，積極自覺地投入到學習活動中去。相信只要適時給學生創造最佳動機，學生會更樂意學數學，更能體會學習數學的樂趣。

三、階段序進原則

波利亞詳細分析了人類學習的全過程，提出了學習過程的三階段，即探索階段、形式化階段和同化階段。探索階段是對事物的觀察和了解，是行動和感覺，處于一種比較直觀和啟發式的水平上;形式化階段是對接觸的事物進行了分類整理，引入適當的定義、術語、證明等，并認識了其中的規律性，認識上升到了一個較為概念化水平上;同化階段有一種洞察事物“內部境界”的嘗試，學生把所學材料消化吸收到自己認知結構和整個精神世界中去，事物的規律性在更廣泛的范圍內被認識、推廣和應用。比如，在八年級下冊分式這一章的教學過程中，教師引導學生進行了探索、形式化和同化等三個階段的學習。

（一）探索階段

1.了解分式的概念：形如AB（B中含有字母）的式子，這點要學會判斷一個式子是否是分式

例1.下列各代數式中，哪些是分式？

（1）xπ+1（2）2ba（3）x23（4）3x2-12x（5）a+2b

2.理解分式的意義，會判斷分式什么時候有意義，什么時候值為零，會根據已知條件求分式的值

例2.當x取何值時，下列分式有意義？何時值為0？

（1）x-22x-3（2）x+22x2+1（3）x2-4x+2（4）|x|-5x2+4x-5

（二）形式化階段

1.了解分式的基本性質：（1）AB=ACBC（C為不等于0的整式）

（2）AB=A÷CB÷C（C為不等于0的整式）

2.了解最簡分式的概念，理解并應用分式的基本性質進行分式的約分，通分：

（1）約分關鍵是找分子分母的最大公因式：

①系數：找分子分母系數的最大公因數

②字母：找分子分母公共的字母

③字母指數：找各字母的最低次冪

例3.約分（1）9a2b32a2b（2）x2+2x-3x2-2x+1

（2）通分關鍵是找最簡公分母：

①系數：找各分母系數的最小公倍數

②字母：找各分母中所有的字母

③字母指數：找各字母的最高次冪

例4.求下列分式的最簡公分母：

（1）a2b，b3a2，c4ab;

（2）1x，1x+1，1x-1，1x2-1，1x2+2x+1;

（三）同化階段

1.分式的運算：

（1）分式的加減運算

例5.計算①4a-2-a-2②5m2-9-13-m

（2）分式的乘除運算

例6.計算①x2+3x4x2-1·2x-1x+3②x-2x+3÷x2-43x+9

（3）分式的混合運算

例7.計算（4a-2-a-2）÷a2-8a

2.分式方程的求解及其應用

（1）分式方程的解法

例8.①1x-2=1-x2-x-3②x1-x+1=x+2x2-x

（2）分式方程的應用

例9.甲做160個零件所用的時間與乙做120個零件所用的時間相同，已知每小時甲、乙兩人共做了35個零件，那么每小時甲、乙各做了多少個零件？

例10.若關于x的分式方程6x-1=x+kx（x-1）-3x有解，求k的取值范圍。

在這一章節的學習中，通過探索階段對分式概念的了解，學會判斷分式什么時候有意義，什么時候值為零，會根據已知條件求分式的值;形式化階段對分式基本性質，最簡分式的概念的了解，理解并應用分式的基本性質進行分式的約分，通分;同化階段是對前兩階段知識的運用，學會分式的加減乘除及其混合運算，學會分式方程的求解及其應用。波利亞認為學習過程應該遵循這一發展模式，缺少任何一個階段都會使所獲得的知識不全面。他制定的解題表中的第一、第二部分屬于探索階段;第三部分是形式化階段，第四部分為同化階段。為此，他建議教師多給學生介紹一些帶有挑戰性的題目，一些有豐富歷史背景并值得探索的問題，一些能從中品味到科學家工作的問題。

總之，在波利亞數學思想的指導下，只要教師和學生都積極地遵循學習數學主動性，最佳動機，階段序進這三條原則，相信學習數學將會變成一件快樂的事情。

（作者單位：蘇州市相城區北橋中學，江蘇 蘇州215000）