高中數學復習課教學中的美學“喚醒”藝術

張建梅

摘要：本文通過一節具體的高三復習課案例，談談如何在高三數學課堂上做到求“真、善”致“美”。要想使教學課堂呈現“真、善、美”，必須采用“喚醒”藝術，因為“喚醒”是課堂教學的力量，是課堂的靈魂。

關鍵詞：喚醒;美學;方程思想;數列通項;高三復習

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A???? 文章編號：1992-7711（2019）19-125-2

筆者曾在全區高三數學復習研討會上了一堂高三復習課的公開課。課題是“運用方程思想研究數列的通項”。本節課以一道簡單的問題開始，通過自主探究，小組合作等一系列的體驗，喚醒學生的內在潛力，領悟此種數學題型的感性認識，最終獲得能力的形成.本節課獲得大家的一致好評。

一、教學實錄

1.引題探究

等差數列{an}中，a15=10，a60=40，求該數列的通項公式。

解析：由于an是關于n的一次函數，于是，

（15，a15），（60，a60）及（n，an）三點共線，斜率相等。

由a60-a1560-15=an-a15n-15。即40-1060-15=an-10n-15，解得an=23n。

設計意圖：這是一道比較簡單的問題，學生可以從基本量入手，也可以從等差數列的通項入手，也可以利用等差數列的性質獲得最終結果。在大家自由討論本題的做法并總結后，教師PPT展示上述做法，讓學生思考這種方法是運用什么知識點來求解的，由此讓學生知曉數列是特殊的函數，可以利用函數的性質來解決此道題目。

函數思想和方程思想是中學階段兩個重要的數學思想，函數和方程互相作用，互相成就彼此。而數列是一種特殊的函數，我們能不能從方程角度來研究數列呢？教師通過邊敘述邊在黑板上畫出下面關系圖，從而引出這節課的課題：運用方程的思想研究數列的通項。

2.初步探究

（1）已知等差數列{an}的公差是正數，并且a3a7=-12，求數列{an}的通項公式。

（2）設數列{an}各項均為正數，首項a1=1，an+（n+1）an+1=na2nan+1（n∈N*），求數列{an}的通項公式。

（3）已知數列{an}的前三項分別為a1=5，a2=6，a3=8，且數列{an}前n項和Sn滿足Sn+m=12（S2n+S2m）-（n-m）2，其中m，n為任意正整數。求數列{an}的通項公式。

三道題設計的目的分別是：

（1）讓學生總結思路，可以通過基本量獲得方程組（a1+2d）（a1+6d）=-12（a1+3d）+（a1+5d）=-4，解方程組求{an}的通項公式，或者通過等差數列的性質獲得a3、a7是方程x2+4x-12=0的兩個根，通過解一元二次方程求解{an}的通項公式。

（2）學生通過變形獲得（n+1）a2n+1+anan+1-na2n=0（n∈N*），觀察該式子，嘗試把該式子看成關于an+1的一元二次方程，亦可以把該式子變形為（n+1）（an+1an）2+（an+1an）-n=0（n∈N*），把該式子看成關于an+1an的一元二次方程，通過解方程即可以獲得{an}的通項公式。本題的難點在把條件或理解為一元二次方程或變形為一元二次方程，在方程中，分別視“an+1”和“an+1an”為主變元，通過解方程即可獲得結果。一元二次方程式是解開本道題的一把鑰匙。

（3）題與上述兩個問題不同于“m，n為任意正整數”，正是這一強大的條件賦予Sn+m=12（S2n+S2m）-（n-m）2無限可能。對m進行賦值，由一個方程衍生多個方程，進而得解。本題的難點在于為什么要賦值，對誰賦值，賦什么值。學生可以通過多次賦值嘗試，獲得經驗，最終達到解題的方向。

上述三道題是在學生們自主學習，相互討論，在老師的點撥提煉下，獲得求數列通項的一種方法，即用方程的思想求數列的通項。在方法獲得的過程中，教師并沒有急功近利，也沒有短平快的心態，而是通過提示，思考，再提示，再思考來喚醒學生對這一規律的知覺。

3.合作探究

已知數列{an}的前n項和為Sn，滿足Sn=2an+（-1）n，（n∈N*）。（2004年全國高考題）

（1）寫出數列的前三項a1，a2，a3;

（2）求數列{an}的通項公式。

有了前面三道題的初步探究，學生已經基本掌握了用方程思想求數列通項的一般規律。雖然有學生在處理Sn=2an+（-1）n這個條件中的（-1）n顯得無從下手，或走歧路，但大部分學生通過對方程思想的感悟，很快打通了本道題求通項的基本思路和方法，最終獲得正確的結果。

二、反思

本節課所選取的題目解決方法和策略有很多，由于課時的限制，所以沒有一一羅列，只是在如何用方程思想解決數列通項問題進行了歸納和總結：這樣做，一方面讓學生領悟數學思想的強大，另一方面讓學生能知曉這類題型。本節課涉及的題目有思維力度大和運算繁等特點，故基礎薄弱的學生可以在課前做些預習，提高課堂效率。如果但總體來講，本節課是一節成功的“喚醒”。

三、思考

1.求真

求真必須做到以下幾個方面：（1）與學生已有知識的聯系。學生小學就學過方程，初中學過函數，在高中經歷數學思想，從小學到高中這一連續的過程積累，在高三復習階段學生完全有能力利用數學思想解決數學問題。高三教師在備課的時候一定要了解學生已經掌握的知識和技能，在此基礎上，把握“最近發展區”，加速學生的發展。（2）用數學核心素養中“四基”做支撐。數學核心素養中“四基”指“基礎知識，基本技能，基本思想與基本活動經驗”。本節課中方程思想是數學基本思想，數列通項公式是基礎知識，在高三階段，學生會經常遇到求數列通項的問題，所以在求數列通項這一真實的基本活動經驗基礎上，讓學生有真體驗，最終獲得真知識。（3）重視學生參與。數學探究活動是綜合提升數學學科核心素養的載體[1]。在引題探究中，通過學生動手操作，提出“數列”與“方程”具有怎樣的關系這一問題，組織學生“自主、合作、探究”，讓學生動手，思考，再動手，再思考最終思維得到提升。蒙臺梭利說過：“我看過了，我忘記了。我聽過了，我記住了。我做過了，我理解了?！边@其實是學習的真實過程，在高三學習時間緊的情況下，舍得花時間做尤為重要，只有通過學生親力親為得到的思考才是真思考，收獲才是真收獲。

2.求善

教學中的“喚醒”是一門藝術。如果說“求真”是對學生提出的要求，那么“求善”即“喚醒”就是對教師提出的要求。如何喚醒學生沉睡的內在潛力？（1）合理科學設計課堂教學。要真正“喚醒”學生的內在知覺，必須要精心安排教學步驟，巧妙設計教學內容，恰當使用教學手段，靈活使用教學方法等。高三要復習的內容很多，如何落實到每一節課上是非常關鍵的，所以課堂設計要精打細磨，每節課都要有明確的教學目標，教學目標要符合考綱，要適合學生。（2）重視積極評價?！傲佳砸痪淙?，惡語傷人六月寒”，積極的評價能調動學生的積極性和自信心。在課堂教學中，挖掘學生身上的優點，并給予正確的激勵、評價，能喚醒學生積極認識自我、建立信心、促進發展。法國第斯多惠說過：“教學的藝術不在于傳授本領，而在于激勵、喚醒和激舞。”積極評價能夠促進師生之間的情感交流，消除學生在學習上的膽怯，重新豎起勇往向前的決心，非智力因素能得到最佳的發揮。（3）設置恰當而有效的提問?！澳闶窃趺聪氲降?？”“關鍵步驟是什么？”“你說說具體怎么做？”“有沒有其他方法？”教師通過認知性提示語，讓學生思考由表及里，層層深入。除了上述設置讓學生主動積極去思考的提問外，提問更要有針對性。在本節課中，不僅展示學生正確的做法，也展示學生的典型錯誤，緊緊圍繞學生的做法展開有針對性的提問。對不同的學生個體設置不同的有針對性的提問，充分暴露學生思維障礙是提問的要求。問題從學生中來，回到學生中去，讓學生自己發現自己的錯誤，自己解決自己的錯誤。

3.至美

什么是美？美是能讓人身心產生愉悅的一種感覺，是一種無法言喻的一種感覺。教育教學中的美有很多，數學之美更注重理論與方法之美。

數學思想，是指現實世界的空間形式和數量關系反映到人們的意識之中，經過思維活動而產生的結果。方程思想，是從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解。笛卡爾的方程思想是：實際問題→數學問題→代數問題→方程問題。正因為數學中，充斥著等式和不等式，所以在《數學中的美學方法》這本書中談到：“在數學美學中，數學方程式的普適性，使類比方法的功能獲得極大的鞏固與提高，成為數學領域中與其他方法并列的一種科學美學方法[2]”。

在整個課堂設計中，始終圍繞“方程思想”和“數列通項”這兩大主題，尋找它們的關系、創造它們的關系、追求它們的關系?！胺匠趟枷搿焙汀皵盗型棥痹谶@節課的統一性得到淋漓盡致的體現。統一性是數學美的一個重要標志，也是數學研究的主要方向。

數學的真、善、美往往被淹沒在形式的海洋里，需要大力的挖掘、用心觀察才能發現、感受和體驗[3]。羅素也說過：“數學，如果能正確地看待它，不但擁有真理，也擁有至高無上的美?！薄罢妗?、“善”、“美”是人類的追求，也是數學課堂教學追求的最高境界。

[參考文獻]

[1]羅增儒.基于核心素養的教學研修[J].中學數學教學參考（上旬），2018（09）.

[2]徐本順.殷啟正.數學中的美學方法[M].江蘇：江蘇教育出版社，2008.

[3]張奠宙，柴俊.欣賞數學的真善美[J].中學數學教學參考（上旬），2012（1/2）.

（作者單位：南通市通州區金沙中學，江蘇 南通226300）