關(guān)于“最短距離”的問(wèn)題探究

林印

人教八（上）數(shù)學(xué)《軸對(duì)稱(chēng)》章末介紹了最短距離的探究，學(xué)生在應(yīng)用過(guò)程中常常不知所措，無(wú)從下手，筆者從如下幾個(gè)方面歸類(lèi)分析，希望給大家?guī)椭?/p>

一、基礎(chǔ)知識(shí)

1.兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短；

2.垂線(xiàn)段最短

3.三角形任意兩邊之差小于第三邊

二、基本模型

1.已知點(diǎn)A和點(diǎn)B分居直線(xiàn)兩側(cè)，在直線(xiàn)上找一點(diǎn)P，使PA+PB和最小

如圖1，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短”，連接AB交已知直線(xiàn)于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PB和最小.

2.已知點(diǎn)A和點(diǎn)B分居直線(xiàn)同側(cè)，在直線(xiàn)上找一點(diǎn)P，使PA+PB和最小

如圖2先作點(diǎn)B（或點(diǎn)A）關(guān)于已知直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) （點(diǎn) ），再連接 （或 ）交已知直線(xiàn)于點(diǎn)P，此時(shí) 和最小。

3.已知點(diǎn)A和點(diǎn)B居直線(xiàn)同側(cè)，在直線(xiàn)上找一點(diǎn)P，使PA-PB差最大

如圖3作直線(xiàn)AB交已知直線(xiàn)于點(diǎn)P，此時(shí)PA-PB=AB差最大。理由：在已知直線(xiàn)上任取不同于點(diǎn)P的點(diǎn) ，連接 和 ，根據(jù)“三角形任意兩邊之差小于第三邊”可得 ，即PA-PB=AB差最大

4.已知點(diǎn)A和點(diǎn)B分居直線(xiàn)兩側(cè)，在直線(xiàn)上找一點(diǎn)P，使PA-PB差最大

如圖4先作點(diǎn)B關(guān)于已知直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) ，再作直線(xiàn) 交已知直線(xiàn)于點(diǎn)P，此時(shí) 差最大。理由：在已知直線(xiàn)上任取不同于點(diǎn)P的點(diǎn) ，連接 和 ，根據(jù)“三角形任意兩邊之差小于第三邊”可得 ，即PA-PB=AB差最大

三、應(yīng)用舉例

1.兩定一動(dòng)模型

題目中出現(xiàn)兩定點(diǎn)，找一動(dòng)點(diǎn)符合某要求時(shí)，往往先選一定點(diǎn)作關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，再連接另一定點(diǎn)和此對(duì)稱(chēng)點(diǎn)與這條直線(xiàn)的交點(diǎn)，該交點(diǎn)為所求。

例1，如圖5， 垂足為M、N，MN=12m，AM=5m，BN=4m，P是EF上任意一點(diǎn)，求PA+PB的最小值

解：如圖6作點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)EF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) ，連接 ，此時(shí) 最小。過(guò)點(diǎn) 作 交BN延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)C，易知 ， ， ，在 中，由勾股定理可得 ，即PA+PB的最小值為15m。

2.一定兩動(dòng)模型

（1）題目中出現(xiàn)一個(gè)定點(diǎn)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí)，且定點(diǎn)在練動(dòng)點(diǎn)所在直線(xiàn)間時(shí)，通常先過(guò)定點(diǎn)分別作出關(guān)于兩動(dòng)點(diǎn)所在直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，再連接兩對(duì)稱(chēng)點(diǎn)與直線(xiàn)相交得到的點(diǎn)即為所求。

例2，如圖7，點(diǎn)P為 內(nèi)一點(diǎn)， ， ，點(diǎn)E、F分別是OA、OB上兩動(dòng)點(diǎn)，求 周長(zhǎng)的最小值

解：如圖8，分別作出點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) 、 ，連接 交OA于點(diǎn)E，交OB于點(diǎn)F，此時(shí) 的周長(zhǎng)等于 最小。連接 、 、 ，由對(duì)稱(chēng)知， ， ， ，又因?yàn)?，所以 ，所以 是等邊三角形，所以 ，故 的周長(zhǎng)等于 最小值是5cm。

（2）題目中出現(xiàn)一個(gè)定點(diǎn)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且定點(diǎn)和一動(dòng)點(diǎn)在同一直線(xiàn)上時(shí)，常先找定點(diǎn)關(guān)于另一動(dòng)點(diǎn)所在直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，再過(guò)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)作一動(dòng)點(diǎn)所在直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足和交點(diǎn)為所求。

例3，如圖9，在△ABC中，AB=AC=5，D為BC的中點(diǎn)，AD=4，P為AD上任意一點(diǎn)，E為AC上任意一點(diǎn)，求PC+PE的最小值

分析：AB=AC，D為BC中點(diǎn)，則AD垂直平分BC，PC=PB，PC+PE=PB+PE，當(dāng)點(diǎn)B、P、E三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上時(shí)PB+PE=BE最小，又由“垂線(xiàn)段最短”知，當(dāng) 時(shí)，BE最短。

解：作 ，垂足為E，交AD于點(diǎn)P，

點(diǎn)D為BC中點(diǎn)

在Rt 中，AD=4，AB=5

，

故PC+PE的最小值是4.8。

（3）題目中出現(xiàn)一個(gè)定點(diǎn)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且定點(diǎn)在兩動(dòng)點(diǎn)所在直線(xiàn)一旁時(shí)，往往直接過(guò)定點(diǎn)作較遠(yuǎn)動(dòng)點(diǎn)所在直線(xiàn)的垂線(xiàn)，交較近動(dòng)點(diǎn)所在直線(xiàn)，垂足的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)和交點(diǎn)為所求。

例4，BD平分 點(diǎn)E、F分別為BC、BD上動(dòng)點(diǎn)，AB=8， 的面積為20，求EF+CF的最小值

分析：因?yàn)锽D平分 ，所以直線(xiàn)AB上總有一點(diǎn) 與點(diǎn)E對(duì)稱(chēng)， ，所以 ，當(dāng) 、F、C三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上時(shí)， 最短，而

直線(xiàn)外一點(diǎn)與直線(xiàn)上所有點(diǎn)的連線(xiàn)中，垂線(xiàn)段最短，所以，當(dāng) 時(shí)，垂足 的關(guān)于直線(xiàn)BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E和交點(diǎn)F為所求。

解：如圖12，作 于點(diǎn) ，交BD于點(diǎn)F，作點(diǎn) 關(guān)于直線(xiàn)BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E ，點(diǎn)E一定在直線(xiàn)BC上，此時(shí)， 最短。因?yàn)?，AB=8，所以 ，故EF+CF的最小值為5

3.兩定兩動(dòng)模型

題目中出現(xiàn)兩定點(diǎn)，找兩動(dòng)點(diǎn)符合三線(xiàn)段和最小時(shí)，經(jīng)常先分別作出兩定點(diǎn)關(guān)于兩動(dòng)點(diǎn)所在直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，再連接兩對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，交兩動(dòng)點(diǎn)所在直線(xiàn)形成的交點(diǎn)為所求的點(diǎn)。

例5，如13， ， ，點(diǎn)E、F分別為OA、OB上的兩動(dòng)點(diǎn)，求CF+EF+DE的最小值

解：作點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) ，作點(diǎn)D關(guān)于直線(xiàn)OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接 分別交OA于點(diǎn)E，交OB于點(diǎn)F，此時(shí) 的值最小。由對(duì)稱(chēng)知 ，所以 。在 中 ，因此CF+EF+DE的最小值為13。

課本習(xí)題“將軍飲馬”，以及“桌球問(wèn)題”等都屬于此類(lèi)。

當(dāng)然，最短距離問(wèn)題千變?nèi)f化，解決思路各有千秋，具體題目還需仔細(xì)分析，認(rèn)真作答，筆者在此僅作拋磚引玉之淺論，望大家海涵。

如何在高中英語(yǔ)教學(xué)中滲透?jìng)鹘y(tǒng)文化

湖北省天門(mén)杭州華泰中學(xué) 徐彩云

十八大以來(lái)，習(xí)近平總書(shū)記多次強(qiáng)調(diào)中華傳統(tǒng)文化的歷史影響和重要意義，每一次講話(huà)都飽含著中華文化的深厚底蘊(yùn)。教育部考試中心主任姜鋼在《中國(guó)高等教育雜志》刊登的文章《堅(jiān)持以立德樹(shù)人為核心深化高考考試內(nèi)容改革》透露，在高考命題工作中更加注重“四個(gè)加強(qiáng)”：加強(qiáng)社會(huì)主義核心價(jià)值觀的考查；加強(qiáng)依法治國(guó)理念的考查；加強(qiáng)中國(guó)優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的考查；加強(qiáng)創(chuàng)新能力的考查。

反觀近年全國(guó)卷真題，2013年I卷的“中國(guó)畫(huà)”、2013年II卷的“中國(guó)結(jié)”和2015年II卷的“重陽(yáng)節(jié)”、 2018年I卷給新西蘭朋友介紹中國(guó)的作客禮儀均考查了“中國(guó)優(yōu)秀傳統(tǒng)文化”這個(gè)話(huà)題；其中2015年II卷的“重陽(yáng)節(jié)去敬老院”還考查“社會(huì)主義核心價(jià)值觀（孝敬老人）”這個(gè)話(huà)題。隨著對(duì)新課標(biāo)理念及相關(guān)高考命題意見(jiàn)的深入落實(shí)，優(yōu)秀的中華傳統(tǒng)文化加速融入高考考查范圍，并必將成為今后高考考查的新考點(diǎn)和新常態(tài)，使命題呈現(xiàn)出“卷有詩(shī)書(shū)氣自華”的勃勃生機(jī)。

鑒于此，在日常的高中英語(yǔ)教學(xué)中，教師應(yīng)該有意識(shí)地有效地滲透中華傳統(tǒng)文化的教育，這樣不僅能有效激發(fā)學(xué)生的興趣，喚起學(xué)生的共鳴，還能更好地為教學(xué)服務(wù)。下面舉幾例說(shuō)明。

案例一： 新課標(biāo)人教版選修六Unit 4的話(huà)題是Poems，而詩(shī)歌在中華傳統(tǒng)文化中是最為璀璨的一部分。結(jié)合最近的火熱的文化節(jié)目《經(jīng)典詠流傳》，選取其中鄉(xiāng)村教師梁俊老師帶著孩子們吟唱《苔》的視頻片斷作為課文的導(dǎo)入，樸實(shí)無(wú)華的畫(huà)面配著孩子們天籟般的聲音引起了學(xué)生們的強(qiáng)烈共鳴。這時(shí)老師不失時(shí)機(jī)地提問(wèn)： “Do you like this song ？”“Do you know it is adapted from a famous Chinese poem by Yuan Mei ？”“Do you think that Chinese poems are so beautiful and emotional ？”“What do you think of while listening to this poem song？” 通過(guò)這一系列的追問(wèn)，讓學(xué)生們油然而生對(duì)于燦爛的中華詩(shī)詞的熱愛(ài)，接著趁熱打鐵地告訴學(xué)生們，“There are also many fantastic English poems ，and if you like ，you can translate Chinese poems into English ，which will also be wonderful. Now let's learn some styles of English poems and try to learn how to create English poems of our own .”通過(guò)這一系列的對(duì)話(huà)活動(dòng)，學(xué)生們學(xué)習(xí)English poems 的興頭十足，于是自然而然地進(jìn)入了積極求知的狀態(tài)、通過(guò)一系列地閱讀活動(dòng)，當(dāng)學(xué)生了解了幾種簡(jiǎn)單英文詩(shī)的格律之后，可以鼓勵(lì)他們創(chuàng)作自己的英文詩(shī)，尤其是引導(dǎo)學(xué)生將自己喜歡的中國(guó)古典詩(shī)詞用英文詩(shī)的格律翻譯出來(lái)。這樣既促進(jìn)了英語(yǔ)的教學(xué)，又滲透了中華傳統(tǒng)文化的教育和傳播。

案例二：新課標(biāo)人教版必修一Unit I 的話(huà)題是Cultural relics.其中Reading 環(huán)節(jié)介紹的是沙皇俄國(guó)的稀世珍寶Amber Room 的傳奇故事。前不久紅遍大江南北的央視文化大片《國(guó)家寶藏》生動(dòng)傳神地演繹了中國(guó)上下五千年極具代表性的一系列國(guó)寶的前世今生。因此我們可以以此為切入點(diǎn)進(jìn)行Reading部分的導(dǎo)入。王凱是青年學(xué)生熟悉喜愛(ài)的演員，他講述的“各種釉彩大瓶”的故事風(fēng)趣幽默。教師選取其中的一段視頻首先讓學(xué)生觀看。然后告訴學(xué)生：“Wang Kai is acting as a national treasure keeper， who is telling us the Previous and Present life of the national treasure .Now there is a Russian treasure called Amber Room ，Which has similar legend .Do you want to learn about its story？ Now let's come to the reading passage.”整個(gè)閱讀過(guò)程以了解寶藏的前世今生為主線(xiàn)，對(duì)文本進(jìn)行了充分的梳理。最后設(shè)計(jì)一個(gè)Discussion and debate 環(huán)節(jié)，以《絲路山水圖》在祖國(guó)積貧積弱時(shí)流失海外如今又奇跡般地回歸祖國(guó)的故事為楔子引導(dǎo)學(xué)生辯論。“Are you for or against the idea that we should bring back our lost national treasures with large amounts of money？”通過(guò)這個(gè)活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生的民族自豪感和保護(hù)傳承祖國(guó)優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的決心。

當(dāng)然，傳統(tǒng)文化的滲透，應(yīng)采取靈活多樣的形式，除視頻外，還可通過(guò)音頻、圖像、英語(yǔ)演講、英語(yǔ)話(huà)劇表演等方式，讓學(xué)生在欣賞中領(lǐng)悟傳統(tǒng)文化的魅力。

美國(guó)語(yǔ)言學(xué)家薩皮爾說(shuō)過(guò)：“語(yǔ)言的背景是有東西的，語(yǔ)言不能離開(kāi)文化而存在。”習(xí)近平總書(shū)記要求新時(shí)代的我們講好中國(guó)故事。而高中英語(yǔ)教學(xué)擔(dān)負(fù)著以英語(yǔ)為橋梁，讓學(xué)生放眼世界，同時(shí)讓世界了解中國(guó)和中國(guó)優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的責(zé)任。高中英語(yǔ)教師應(yīng)結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容，采取合理的教學(xué)策略，將傳統(tǒng)文化有機(jī)地融合到英語(yǔ)教學(xué)中，促進(jìn)英語(yǔ)課堂高效進(jìn)行，更好地為高考服務(wù)。更重要的是，提升學(xué)生跨文化交際的能力，講好中國(guó)故事。