直梁內力與外力關系的教學探討

?姚哲芳

摘 要：流行的《材料力學》教材，對直梁內力與外力之間的關系論述得不夠全面完整。通過選取控制面而將直梁的外力分類，全面地討論了直梁內力與外力之間的關系。

關鍵詞：材料力學;直梁;內力;外力

基金項目：本文得到西南科技大學教改項目（項目編號：15xn0053）的資助。

1 引言

對于土木工程、機械制造專業來講，作直梁的內力圖（剪力、彎矩圖）是材料力學課程中非常重要的內容。根據內力與外力之間的關系可直接快速地作出直梁的內力圖。

目前國內流行的材料力學教材[1～2]中，對直梁彎曲變形時內力（剪力和彎矩）與分布外力集度之間的微（積）分關系， 都作了重要論述，但都沒有給出內力與集中外力、集中外力偶之間的關系。

作者在講解直梁內力與外力之間的關系時進行了有益的教學探索，通過選取控制面而將直梁的外力分類，分別討論了各種情況下直梁內力與外力之間的關系，使得理論上更加全面和完整。教學實踐表明，該方法更易于學生理解和接受，取得了良好的教學效果。

2 直梁內力與外力之間的關系

對于直梁來講，外力包括載荷和約束力。載荷是已知的，利用理論力學靜力學的知識求得約束力。約束力求得之后則與載荷同等看待，均稱為外力。

對直梁選取控制面。通常將分布外力的起始點和結束點、集中外力或集中外力偶作用處的左側面和右側面取為控制面。

一般來說，取了這樣一些控制面之后，發現相鄰兩控制面之間的外力無非有三種情況：（一）分布外力，包括外力為零的情況;（二）集中外力;（三）集中外力偶。圖1同時給出了直梁的剪力圖和彎矩圖，顯然，相鄰兩控制面之間的內力圖形無非是直線、曲線或躍變。

下面就相鄰兩控制面之間的外力情況分類進行討論。

2.1 直梁承受分布外力的情況

對于直梁內力與分布外力之間的關系，可參考圖1進行推導，流行的《材料力學》采用的推導過程在數學上失于嚴密，蘇少卿等根據函數導數定義和積分中值定理給出了邏輯嚴密的推導，這里不再贅述而直接給出結論。

這兩個式子說明，B截面處的剪力值等于A截面處的剪力值與A、B之間分布外力集度圖線所圍面積的代數和;B截面處的彎矩值等于A截面處的彎矩值與A、B之間剪力圖線所圍面積的代數和。

2.2 直梁承受集中外力的情況

研究集中外力兩側控制面截取的梁段，如圖2所示，左側面上的剪力、彎矩設為、，右側面上的剪力、彎矩設為、。

對該梁段列平衡方程有：

式中，C點為右側面的形心。當Δx趨近于零時，由上兩式即可得到：

這兩個式子說明，在集中外力作用的地方，如圖3所示的A截面處，剪力圖出現突變，突變值即為集中外力的大小，突變方向與集中力的方向一致，即向上（下）的外力產生向上（下）的突變;彎矩圖在此處是連續而不光滑的，即彎矩圖在此處會出現尖角。

2.3 直梁承受集中外力偶的情況

這兩個式子說明，在集中外力偶作用的地方，如圖5所示的A截面處，剪力圖不受影響;彎矩圖出現突變，突變值即為集中外力偶矩的大小，突變方向的規律：順（逆）時針外力偶產生向上（下）的突變。這里需要說明的是，在集中外力偶作用的地方，剪力圖不受外力偶的影響，剪力圖是否連續，要視此處是否同時作用有集中外力。

3 結語

作者給出了“內力與外力之間的關系”的提法，分類討論了直梁內力與外力之間的關系，使得理論上更加全面和完整。在教學過程中，作者著重訓練學生采用這些關系快速繪制直梁的內力圖，讓學生更深刻地體會到“力學是數學的樂園”。教學實踐表明，該方法更易于學生理解和接受，取得了良好的教學效果。

參考文獻

[1]劉鴻文編.材料力學（I）（第5版）[M].北京：高等教育出版社，2011.122-123

[2]蘇少卿，孟益平，等.梁的載荷、內力微分關系推導方法的改進[J].力學與實踐，2011，33（2）.