振子網絡中內能和熵的探究

肖琴 許慶祥 楊會杰 嚴捷冰

摘 要： 將復雜網絡視為振子網絡，對小世界（WS）網絡、Barabasi & Alber（BA）網絡和實際的釀酒酵母蛋白質相互作用（PPI）網絡的內能和熵進行了分析.分析結果表明：隨著網絡節點數、連邊概率、熱浴溫度等參數的變化，不同網絡的內能和熵的變化趨勢差異很大，可以以這種差異來判別網絡的類型.

關鍵詞： 振子網絡; 內能; 熵

中圖分類號： N 941 ?文獻標志碼： A ?文章編號： 1000-5137（2019）05-0472-07

Abstract： By considering the complex network as oscillator network，the internal energy and entropy were analyzed for small world network，Barabasi & Alber（BA） network，Logistic chaotic series visibility graph and the real saccharomyces cerevisiae protein-protein interaction （PPI） network.The analysis results showed that the variation trends of internal energy and entropy for different networks were changed greatly with parameters such as the number of network nodes，the probability of connecting edges and the hot-bath temperature.Furthermore，the type of the network could be discriminated by such differences.

Key words： neton network; internal energy; entropy

0 引 言

對振子網絡動力學及其實際意義的研究已經成為復雜網絡[1-2] 研究領域的熱點.振子網絡動力學在對生物系統[3]、多智能體網絡[4]、耦合振子網絡[5]以及振子網絡的同步[6-8]等方面的研究中起到重要作用，其中的網絡振子能被用來探測發生在許多復雜系統中的動力學過程，如代謝網絡中代謝物在不同濃度下的振動過程.

KIM等[9-10]應用振子網絡研究了不同網絡上晶格振動與頻譜之間的相互關系，ESTRADA等[11]在其基礎上研究了網絡振子的勢能函數.XU等[12]和ZHOU等[13]分析了帶有時滯的小世界（WS）網絡的穩定性、不穩定性，以及Hop分岔和控制等.

對于一個社會網絡[14]的振子，一般至少受到兩個方面的影響，即其他節點的影響和環境影響.本文作者將復雜網絡構建成振子網絡，運用振子網絡的動力學方程，分析了WS網絡和Barabasi & Albert（BA）網絡在振子熱浴條件下的熱力學性質.以振子網絡的內能和熵為對象，對以上兩種不同類型的網絡進行了分析.最后對真實的釀酒酵母蛋白質-蛋白質相互作用網絡（PPI）的內能和熵進行了分析，通過兩者的變化，可判斷其為BA網絡.

1 模 型

如果把復雜網絡中的節點視為質量均為M的小質點，將連邊看成是連接2個小質點，彈性系數為K的彈簧，那么復雜網絡就轉換成了一個振子網絡.若將該振子網絡置于溫度為T的熱浴中，小質點會在熱擾動下振動，構建出復雜網絡在外部環境影響下的振動模型.當系統與環境達到熱平衡時，由能級譜可以獲得能量和熵等統計量，并發現非平凡的結構模式能引起物理性質的顯著變化.網絡結構的改變可以形成網絡不同的熱力學特性，反之，不同的熱力學特性也反映了網絡結構不同的動力學性質.為簡化討論，本研究假設系統內沒有阻尼，也沒有其他外力作用于該系統.

2 實驗過程和結論

以WS網絡和BA網絡為例，分析了不同網絡內部的內能和熵隨著溫度以及網絡節點數變化而變化的規律.由于變化規律相似，對應于不同情況，本文作者隨機取了一種特殊情況進行分析.對于不同的網絡類型，其內能和熵的變化與網絡結構密切相關.

2.1 WS網絡

WS網絡[15]是WATTS和STROGATZ于1998年提出的，它將規則網絡和隨機網絡結合在一起，具有較大的平均集聚系數和較小的平均距離，引起了對復雜網絡的研究熱潮.WS網絡的形成過程為：1）從一個總節點數為N且每個節點與最近鄰2k個節點相連的環狀晶格開始，為了保證網絡的稀疏性，令N2klnN1;2）隨機選取網絡的一條邊，按一定連邊概率p對該邊進行重新連接.在構建網絡的過程中，須保證重連過程中網絡沒有自連邊和重復的連邊.

考慮當最近鄰邊為4時（k=2）網絡的3種情況：

1）當連邊概率分別為10%，30%，熱浴溫度分別為2，4（arb.units）時的內能和熵隨著網絡節點數（100～2080）的變化關系，如圖1所示.

比較圖1（a），1（c）可知：當熱浴溫度與連邊概率一定時，內能并不隨著網絡節點數的增加而增加，而是趨向于某個定值，并在此定值附近震蕩;而當溫度與連邊概率變大，該定值也會變大.比較圖1（b），1（d）可知：熵隨著網絡節點數的增加而增加，且隨著溫度與連邊概率的增大，網絡的熵變小.

2） 當網絡節點數N為3000、熱浴溫度為3時，網絡的內能與熵隨連邊概率p（0.02～0.99）的變化關系如圖2所示.

由圖2可知：當連邊概率從0.02增加到0.99時，網絡的內能逐漸增加，而熵逐漸減少.這可能是因為隨著網絡中節點連接概率的增加，網絡的有序性增加了.這一結果與WS網絡的網絡構建過程有關.

3） 在網絡的節點數和連邊概率不變的情況下，網絡的內能和熵隨熱浴溫度的變化關系如圖3所示，其中m為連邊數.由圖3可知：網絡的內能隨著熱浴溫度的增加而增加;當熱浴溫度從0開始增加，網絡的熵先是快速下降，在溫度約為0.23時到達最小值，隨后快速上升，逐漸平穩.

2.2 BA網絡

BARABASI等[16]提出了無標度網絡模型，引起了對復雜網絡的又一研究熱潮[17-22].無標度網絡的形成過程為：1）當t=0時，網絡共有m0個節點;2）每1步增加1個節點，與m（m≤m0）個舊節點相連;3）加入的節點與第i個節點相連的概率pi=ki∑Nj=1kj，其中，ki為節點i的度，kj為節點j的度，由于這個網絡是變化的，新加入的點根據度選擇連邊，選擇定了后面網絡的連接發生了改變;4）當網絡達到穩定狀態后停止生長.

在BA網絡中，同樣考慮3種情況：

1） 當初始節點數m0為200、網絡節點數N為2000、熱浴溫度T為1時，網絡的內能和熵隨連邊數m的變化關系，如圖4所示.由圖4可知：當連邊數改變時，網絡的熵幾乎為定值（7.6），上下浮動很小，而網絡的內能隨著連邊數的增加而增加.

2）當m0=100，m=2，T=1時，網絡的內能和熵的隨網絡節點數N（130～3 030）的變化關系如圖5所示.由圖5可知：隨著網絡節點數的增加，網絡的內能反而減少，而熵越來越大.使用不同的初始節點數、連邊數目和熱浴溫度，變化趨勢相同.這一結果可能與BA網絡的結構有關，當初始節點數、連邊數目和溫度不變時，網絡節點數的增加使網絡變得越來越稀疏，導致內能減少，而熵即無序性增加.

3）當m0=200，m=7，N=2000時，網絡的內能和熵隨熱浴溫度的變化關系如圖6所示.由圖6可知：網絡的內能和熵基本一致，當溫度低于0.23前，變化很小;當溫度介于0.23與0.50之間時，快速上升，之后逐漸趨向穩定.

3 酵母蛋白質相互作用網絡的內能和熵的分析

蛋白質是生物功能的最終執行者，蛋白質和蛋白質之間的相互作用是蛋白質發揮作用的重要方式[23]，因此研究蛋白質之間的相互作用是當前生物學研究的一個重點內容.目前，對于釀酒酵母（Saccharomyces Cerevisiae）這種單細胞的真核生物，已經建立了蛋白質數據庫，能在全基因組水平上研究蛋白質之間的相互作用.學者們用不同的方法構建了幾種不同置信水平的PPI網絡.

研究者們分析了5種置信水平不同的釀酒酵母蛋白質相互作用網絡.將文獻[24]中的高置信度的酵母PPI網絡記為“YHC”，其和前11000個相互作用的酵母PPI網絡記為“Y11K”.文獻[25]中的“核心”酵母PPI網絡記為“YIC”，文獻[26]中的酵母PPI網絡記為“YU”，結合了兩者的酵母PPI網絡記為“YICU”.它們分別來自不同的高通量研究方法，其中YHC和Y11K主要來自于串聯親和純化[27]和高通量質譜蛋白質鑒定[28]，而YIC，YU和YICU則來自酵母雙雜交.

圖7為5種實際PPI網絡的內能和熵與環境溫度的關系圖.由圖7可知：YIC和YU這2種由酵母雙雜交的PPI網絡的熱力學性質幾乎完全一樣.而它們的組合——YICU的PPI網絡在熵值上的區別較大.對于分別來自串聯親和純化的YHC和高通量質譜蛋白質鑒定的Y11K的PPI網絡之間的差別也較大.因此可以認為：由不同方法構建的蛋白質相互作用網絡的熱力學性質有著顯著的差異.

另外，由圖7還可知：隨著熱浴溫度的升高，5種蛋白質相互作用網絡的內能和熵都增加了，這與BA網絡的變化相同.BARABASI等 [29]對酵母PPI網絡的分析說明度其分布滿足冪律分布，為BA網絡.這一結果說明網絡內能和熵隨網絡參數的變化特征差異有可能作為判別網絡類型的表征.

4 結 論

WS網絡和BA網絡是現實生活中非常常見的網絡，它們在網絡構建方式上和網絡的異質性質上有很大的不同.本文作者在3種情況下比較和分析了這兩種網絡的熱力學性質：首先在網絡節點為定值的情況下，隨著連接概率或連邊數的增加，WS網絡的內能增加，熵值減少，而BA網絡內能增加，熵值趨向于一個常數;其次在連邊概率或數目為定值而網絡節點增加的情況下，WS網絡內能趨向一個定值，熵值遞增，而BA網絡內能減少，熵值增加;最后在節點數目等條件均為定值只有溫度增加的情況下，WS網絡的內能增加，熵值先減后增，而BA網絡的內能增加，熵值增加.對實際酵母PPI網絡的內能和熵值的計算也表明：網絡的熱力學性質能反映出網絡結構上的不同，內能和熵值的變化也能反映出網絡的內部的動力學特征.

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（責任編輯：顧浩然）