(2+1)維Burgers方程的新的精確解

李 偉

(渤海大學 數理學院， 遼寧 錦州 121013)

非線性偏微分方程(組)的解法受到如數學、物理學、工程學和生物學等各學科的廣泛重視，為了尋求它們的解法，科學家做了大量而有益的工作，同時得到了一些行之有效的求解方法，如分離變量法、反散射方法、Backlund變換法、Darboux變換法、tanh函數法、Riccati方程法等[1-7]。本文借助行波變換法[8]、擬解法和齊次平衡法[9-11]獲得了(2+1)維Burgers方程[12]的新的精確解。

(2+1)維Burgers方程如下：

(ut+αuux+βuxx)x+γuyy=0

(1)

1 (2+1)維Burgers方程的新的精確解

假定式(1)有如下形式的解：

(2)

其中k、h、w是待定常數，ξ0為任意實常數。 將式(2)代入式(1)整理化簡得

(kw+h2γ)u″(ξ)+αk2(u(ξ)u′(ξ))′+

βk3u″(ξ)=0

(3)

對式(3)積分2次，積分常數均取0，則式(3)變為

(4)

假定式(4)有如下形式的解：

(5)

M是待定的正整數,ai是待定常數,φ(ξ) 是函數且滿足Riccati方程，即

φ′(ξ)=b+φ(ξ)2

(6)

其中，b是任意常數，式(6)有如下形式的解：

(7)

根據齊次平衡法得到方程：M+1=2M，解得M=1。

首先，令擬解(5)的具體形式為

u(ξ)=a0+a1φ(ξ)

(8)

將式(6)和式(8)代入式(4),得到關于φi(ξ),(i=0,1,2)的方程，令φi(ξ),(i=0,1,2)的系數為0，得到關于ai(i=0,1)的代數方程組，利用Mathematica運算，求得如下形式的解：

(9)

將式(7)(8)和(9)代入式(2)，得到式(1)的新的精確解，即

(10)

其次，令擬解(5)的具體形式為：

u(ξ)=a0+a1φ(ξ)+a2φ-1(ξ)

(11)

將式(6)和式(11)代入式(4),得到關于φi(ξ)(i=0,±1,±2)的方程，令φi(ξ)(i=0,±1,±2)的系數為0，得到關于ai(i=0,1,2)的代數方程組，利用Mathematica運算，求得如下形式的解：

(12)

將式(7)(11) 和(12)代入式(2)，又得到式(1)的新的精確解，即

(13)

在這2種擬解中都需要φ(ξ)滿足Riccati方程。下面用更直接的方法獲得更廣泛的精確解，令方程(4)擬解的形式為：

借助齊次平衡法，仍解得M=1，因此

(14)

將式(14)代入式(4),同時由于tanh2ξ=1-sech2ξ，得到關于tanhξ,sechξ的方程且tanhξ的次數為0或1，之后令tanhiξsechjξ(i=0,1;j=0,1,2,…)的系數為0，得到關于ai(i=0,1)的代數方程組，利用Mathematica運算，求得如下形式的解：

(15)

將式(15)代入式(14)就得到式(1)的新的精確解，即:

2 結束語

利用行波變換法、擬解法、齊次平衡法獲得了Burgers的全新的精確解。這種方法也可用于解其他非線性偏微分方程(組)。精確解的獲得將為近似計算、定理分析等現實問題提供必備的基礎。