基于狀態觀測器的LQR四輪轉向控制

李 偉，王薇薇，徐灝飛

(重慶交通大學 機電與車輛工程學院，重慶，400074)

0 引 言

四輪轉向4WS(four-wheel steering)的基本原理是利用車輛行駛中的某些信息來控制后輪的轉角輸入，以提高車輛的操縱性和穩定性。早在20世紀初，車輛工程師們就發現了在低速工況下，后輪與前輪反向轉動時可以有效地減小車輛轉彎半徑的特點，并將其運用于軍用和工程車輛。四輪轉向技術在現代汽車(尤其是轎車)中的應用源于對中、高車速下的車輛操穩性和駕駛員主觀評價的研究。

近年來，國內外眾多學者都致力于解決四輪轉向控制系統中，同向危險性及反向控制策略矛盾性問題，并利用各種控制策略設計四輪轉向控制器，以達到追蹤最佳操縱穩定性[1-3]。在四輪轉向車輛控制模型中，質心側偏角很難用現有傳感器進行測量，在基于最優控制的控制器設計時，大多利用狀態調節器，對質心側偏角和橫擺角速度與期望橫擺角速度的差值進行加權，使性能指標達到最小，以達到質心側偏角趨近于零，且橫擺角速度能追蹤期望橫擺角速度的目的。現有方法導致在質心側偏角趨近于零的同時必然降低橫擺角速度的追蹤效果，筆者在建立四輪轉向車輛狀態空間模型的基礎上，設計一種降維狀態觀測器對模型中質心側偏角進行觀測，運用極點配置法和線性二次型最優控制LQR(linear quadratic regulator)兩種方法設計控制器，對質心側偏角和橫擺角速度兩個重要性能參數均進行加權控制，對典型階躍工況響應和典型單移線工況進行仿真分析。

1 建立四輪轉向車輛動力學模型

車輛本身是一個非常復雜的系統，涉及諸如輪胎側偏、摩擦、間隙等非線性環節。研究四輪轉向系統需在建模過程中設定很多假設，一方面能夠為研究提供方便，另一方面也能更好的驗證控制器設計效果。現做基本假設如下：

1)車輛行駛于平坦路面，即無垂向路面不平度輸；

2)不考慮車身的側傾和俯仰運動，即包括懸架結構在內的車身結構是剛性的；

3)忽略轉向系統，將輸入直接施加在前后轉向輪上；

4)車輛僅受平衡狀態(如直線行駛或穩態轉向)附近的小擾動，即前后轉向輪轉角足夠小，從而保證車輛運動方程線性；

5)假定車速恒定，即不考慮車輛前進方向的自由度。

根據假設，車輛被簡化為一個僅剩側向和橫擺兩個運動自由度的經典“二輪自行車”模型，稱之為“基本操縱模型”。簡化后的四輪轉向2自由度模型，如圖1。

圖1 四輪轉向二自由度模型Fig. 1 Two-degree-of-freedom model of four-wheel steering

汽車前后輪側偏角與其運動參數有關，根據相關坐標系定義，有：

(1)

式中：αf、αr分別為前后輪側偏角，°；lf、lr分別為前、后軸到質心的距離，m；δf、δr分別為前、后輪轉角，°；u為汽車前進方向的速度，m·s-1；r為整車橫擺角速度，rad·s-1；β為整車質心處側偏角，°，即車輛質心的運動方向與汽車前進方向之間的夾角，定義v為汽車質心處的側向速度m·s-1，則有：

(2)

由圖1假設可列出外力、外力矩與汽車運動參數之間的關系式為：

(3)

式中：Fy為側偏力，N；Mz為外力矩，N·m；，Cαf、Cαr分別為等效前軸側偏剛度，N·m-1。

根據牛頓-歐拉方程，二自由度汽車運動微分方程式為

(4)

化為標準狀態空間模型為：

(5)

需要注意，車輛的質心側偏角β很難用傳感器測量得到，而車輛的橫擺角速度可以通過陀螺儀等儀器測量得到，因此，我們認為系統的輸出僅為整車橫擺角速度r。則在式(5)中，狀態向量x，狀態系數矩陣A，輸入向量u，控制矩陣B，輸出向量y，輸出狀態系數矩陣C，輸出控制系數矩陣分別為：

x=[βr]T,u=[δfδr]T,y=r

C=[0 1],D=0

模型的其他參數如表1。

表1 模型參數Table 1 Model parameters

2 系統性能指標

研究中只考慮車輛以較高速度行駛的狀態，旨在改進車輛高速操穩性時的四輪轉向控制策略，低速時不予考慮(低速時旨在提高車輛轉向輕便性，通過前后輪方向轉動即可實現)。

車輛前后車輪如果同向轉動，產生的車輛質心側偏角和橫擺角速度方向相反，也可驗證前后車輪如果反向轉動，則產生的車輛質心側偏角和橫擺角速度方向相同，這些結論在各種車速下都是成立的。對比前輪轉向與四輪轉向，如圖2。

圖2 前輪轉向和四輪轉向對比Fig. 2 Contrast of front-wheel steering and four-wheel steering

圖3 穩態橫擺角速度增益的滿意區域Fig. 3 Satisfactory area of steady-state yaw rate gain

車輛在高速行駛時，前后輪反向轉動是非常危險的情況，因為這會進一步惡化車輛轉彎時的操穩性能。當前后輪同向轉動時，控制策略存在的矛盾就在于：一方面，同向轉動會使車輛的質心側偏角減小至零附近，有助于提高車輛的路徑跟蹤能力；另一方面，也有可能使整車橫擺角速度降低，從而使駕駛員對轉彎時“路感”降低，造成車輛操縱性下降。

當前后輪同向轉動相同的角度時，與前輪轉動相比整車質心側偏角變成正值，同時，車輛橫擺角速度穩態值基本為零，這種情況下車輛將完全喪失轉向能力，斜向前駛離彎道。由此可見，后輪轉角控制策略的制定非常關鍵，制定時如發生前后輪同時轉相同角度的情況，不僅不會增加車輛轉向時的操控性，反而會惡化操穩性[5-6]。

綜上，性能指標可以描述為：在特定車速(25 m/s)和前輪轉角(3°)下，通過后輪轉角控制策略的實施，使車輛轉彎時質心側偏角響應的穩態值以最好的效果接近于零；同時還需保證車輛的橫擺角速度響應的穩態值在滿意區間內。前一問題為典型的狀態調節器問題，后一問題為典型的跟蹤問題。

3 系統狀態觀測

車輛的橫擺角速度可以根據陀螺儀等測得，但整車質心側偏角的測量很困難，為了實現后期控制器的設計，首先進行系統狀態觀測。

3.1 判斷系統的能觀性

當車速為25m/s時，代入相關參數，有：

(6)

因此系統完全能觀測。

3.2 系統狀態觀測器設計

在進行系統狀態觀測器設計之前，首先求出原系統極點，在MATLAB中輸入eig(A)，可得原系統的極點為：-3.270 4±3.253 8i。

由于輸出變量為系統的一個狀態變量，即橫擺角速度，因此選擇降維狀態觀測器，觀測器極點取為-10，如式(7)：

(7)

輸出y為x2，因此只需設計一維觀測器觀測x1即可。

(8)

計算可得g=0.596 7，進一步有：

(9)

(10)

代入數據，有：

(11)

最后采用觀測器所得狀態變量表達式為：

(12)

對降維狀態觀測器進行驗證，仿真工況為：車速25 m/s，前輪施加3°階躍激勵，后輪施加1°階躍激勵，分別給出仿真直接輸出和通過觀測器觀測輸出的狀態變量響應曲線，如圖4。圖4(a)表示仿真直接輸出的響應曲線，圖4(b)表示觀測器觀測輸出的響應曲線。

圖4 仿真直接輸出的響應曲線和觀測器觀測輸出的響應曲線Fig. 4 Response curves of simulation direct output and observer observation output

從圖4中可以看出，兩者的結果吻合的非常好，因此，設計的降維狀態觀測器能夠實現系統狀態的觀測。

4 反饋控制律設計

線性二次型最優控制(LQR)設計的思路為：車輛以固定車速25m/s行駛，給前輪施加一個固定的階躍轉角取為3°，通過控制后輪的轉角以實現車輛的質心側偏角穩態時接近于0；同時使車輛穩態時橫擺角速度在滿意區間內。根據圖3得出滿意的橫擺角速度為9°·s-1。

可以將前輪轉角視為外界干擾δf，而將后輪轉角作為系統的控制輸入u，重新列寫系統狀態方程為：

(13)

式中參數如下，其余參數不變：

4.1 質心側偏角穩態值接近于零模式

性能指標[7-8]取為：

(14)

控制律為：

(15)

式中，P滿足矩陣黎卡提代數微分方程[9]。

(16)

此時，控制律是線性的，即：

u*=-Kx

(17)

選取三組合適的加權矩陣：

分別代入三組加權矩陣進行狀態調節器仿真如圖5。

圖5 質心側偏角響應曲線和橫擺角速度響應曲線Fig. 5 Response curves of sideslip angle of centroid and yaw rate

由三組仿真曲線分析可看出，第二組加權矩陣對應的質心側偏角相比另外兩組加權矩陣更加趨近于期望值0，由于狀態調節器的主要目的在于質心側偏角偏向于0，因此選第二組加權矩陣更為合適，但是橫擺角速度并不趨于期望值9°·s-1。

經計算可得，控制律為：

(18)

4.2 橫擺角速度趨近期望值模式

取滿意的橫擺角速度yr=9°·s-1，定義誤差向量為e(t)=yr(t)-y(t)，性能指標為：

(19)

進而可得：

(20)

根據相關推導[4],最終可得控制律為：

(21)

其中P和g滿足：

(22)

選取三組合適的加權系數：

分別代入三組加權系數，進行橫擺角速度跟蹤仿真如圖6。

圖6 橫擺角速度響應曲線和質心側偏角響應曲線Fig. 6 Response curves of yaw rate and sideslip angle of centroid

由三組仿真曲線可看出，第一組加權系數對應的橫擺角速度相比另外兩組加權系數更加趨近于期望值9°·s-1，滿足橫擺角速度追蹤期望值的要求。因此選取第一組加權系數，但是質心側偏角并不趨于期望值0。

經計算可得，控制律為：

(23)

4.3 加權線性二次型最優控制模式

如4.1、4.2所述，采用狀態調節器時，車輛質心側偏角可以穩定在0°附近，滿足響應要求，但車輛穩態橫擺角速度較小，只有6°·s-1附近；采用車輛目標橫擺角速度跟蹤法求得控制律時，系統最終的穩態橫擺角速度穩定在9°·s-1附近，滿足響應要求，但車輛質心側偏角相對較大，其絕對值達到0.2°附近。

為此，筆者采用兩種控制律加權的形式對車輛的后輪進行控制，狀態調節器的控制律為：

(24)

橫擺角速度跟蹤的控制律律為：

(25)

最終的加權控制律取為：

(26)

在給定的25 m/s工況下，輸入方向盤3°階躍，不斷調節加權控制率參數k1和k2，使得質心側偏角趨近于0，同時使得橫擺角速度趨近于期望值，達到最優控制效果，根據不斷調試的結果選取最優加權控制率參數為：k1=0.2,k2=0.8。

在不同車速工況下，加權控制率參數需根據預先仿真所得參數表進行查表選取。

5 仿真與分析

筆者通過MATLAB/Simulink對輸入前輪轉角為典型階躍工況和典型單移線工況分別進行仿真分析，并與前輪轉向控制系統進行對比，分析總結控制器對于穩定性的控制效果。

5.1 階躍工況仿真

典型階躍工況仿真，整個控制系統在Simulink環境下的仿真模型如圖7。

圖7 階躍工況Simulink仿真模型Fig. 7 Simulink simulation model of step condition

取車速為25 m/s，前輪階躍輸入為3°，仿真曲線如圖8。

圖8 質心側偏角響應曲線對比和橫擺角速度響應曲線對比Fig. 8 Comparison of response curves of the sideslip angle of centroid and yaw rate

5.2 單移線工況仿真

典型單移線工況仿真，轉向控制策略采用多點預瞄駕駛員模型[10]，整個控制系統在Simulink環境下的仿真模型如圖9。

圖9 單移線工況Simulink仿真模型Fig. 9 Simulink simulation model of single-lane condition

取車速25 m/s，行車軌跡、前輪轉角曲線、試驗仿真曲線如圖10。

圖10 實驗仿真Fig. 10 Experimental simulation diagram

5.3 仿真響應分析

仿真結果分析可知：2自由度系統只有一個輸入作用的情況下不可能同時將狀態變量調到最優，因此設計狀態觀測器不斷觀測質心側偏角，然后通過由狀態調節器和由橫標角速度跟蹤的控制器進行加權，求得最優的控制律。由階躍工況和單移線工況的仿真結果可見，設計的四輪轉向控制器相對于前輪轉向車輛而言，在不明顯喪失駕駛員轉彎時“路感”的同時(穩態時橫擺角速度稍有減少)能夠顯著提高車輛的路徑跟蹤能力，同時可看出筆者設計的控制器還能夠提高系統的響應速度，減小滯后環節，而這對于駕駛員高速時緊急轉向安全性很有幫助。

6 結 語

在輪胎側偏等概念的基礎上，運用機理建模的方法，建立了四輪轉向系統的2自由度數學模型，設計的一階降維狀態觀測器對模型中質心側偏角進行了觀測，結果顯示，所建立的觀測器具有很好的觀測效果；并且在狀態觀測器設計的基礎之上分別運用極點配置法和線性2次型最優控制兩種方法對控制器進行設計，提出了一種對狀態調節器和目標橫擺角速度跟蹤進行加權的控制律設計方法，通過階躍工況和單移線工況仿真試驗結果顯示，所設計的控制器能夠在不顯著降低駕駛員轉向“路感”的前提下，明顯的提升了車輛轉彎時的路徑跟蹤能力，在維持汽車穩定性控制上具有一定的實際應用價值。