支付連續紅利的歐式脆弱期權定價

朱慶強，張二姚，費為銀

(安徽工程大學 數理學院，安徽 蕪湖 241000)

信用衍生產品自1992年出現以來一直深受投資者喜愛，故而得以快速發展，其中場外交易(Over the Counter，OTC)總額占衍生品交易總額的大部分。在場外交易的過程中，交易對手的信用風險是一個必須考慮的因素，因此，對場外交易市場上含有信用風險期權定價問題的研究具有實際意義。Black[1]等提出了經典的期權定價模型，該模型使得期權定價得到突破性進展。Merton[2]創立了含信用風險公司債券定價的模型，該模型在假設公司資本由資產和負債組成，到期時如果資不抵債則發生違約的前提下，將期權定價公式引入零息債券信用風險定價中。Johnson[3]等擴展了Merton[2]的公司債券違約模型，提出了脆弱期權定價模型，考慮了信用風險條件，使得模型更貼合實際。Hull[4]等在標的資產和交易對手的資產具有獨立性的前提下，假設違約可以發生在到期前的任何時候，得出脆弱期權的定價公式。Klein[5]放棄了Hull-White模型中可以提前違約的假設，而沿用Merton[2]的違約只能發生在到期時的假設，但對Johnson[3]等的債務假設進行了擴展，假定公司資本結構中除了期權外，還包含有其他債務，并假定公司價值低于某一固定違約邊界時發生違約，在這些假設前提下，通過鞅測度得到一個顯式解。Klein[6]等在Klein[5]的基礎上，推導出一種歐式期權的解析公式，該公式受到衍生產品潛在價值和利率變化的影響。

上述文獻的分析公式通常是利用概率論推導出來的，這也是大多數學者所使用的方法。然而，根據定價問題的不同，基于Mellin變換的分析方法可能是更好的選擇，這種分析方法對于偏微分方程的變換是一個非常有用的工具。一般來說，如果Mellin變換技術對給定期權的定價是合理的，那么它就不需要像概率論那樣進行復雜的計算。Panini[7]等使用Mellin變換分析方法得到了歐式標準期權和一籃子期權的定價公式。Frontczak[8]等用Mellin變換來評估美式看漲期權價格。Elshegmani[9]等使用Mellin變換導出了一個亞式期權的解析解。Chandra[10]等將Mellin變換應用于障礙期權和回望期權，得到了期權價格的解析積分公式。Frontczak[11]用Mellin變換技術求解了偏積分-微分方程，得到了期權在跳擴散模型中的定價公式。Yoon[12]等利用雙Mellin變換研究了固定利率和隨機利率下的歐式脆弱期權。

考慮到期權有效期內標的資產常有紅利支付，很多學者展開了對有紅利支付的期權定價問題的討論。早在1973年，Merton便在考慮支付紅利對期權價值的影響后對Black-Scholes公式作了推廣。Krausz[13]，Shackleton[14]等，Chang[15]等給出了支付連續紅利的歐式期權定價公式。李曉雷[16]等研究了標的資產價格具有連續支付紅利和定期支付紅利兩種情形下的歐式期權定價模型和公式。王繼霞[17]等研究了在Heston隨機波動模型下，支付連續紅利的timer期權定價的Black-Scholes-Merton型公式。程志勇[18]等考慮了支付連續紅利的情形，建立了次分數布朗運動下的期權定價模型，并且得到了支付紅利的次分數布朗運動環境下的歐式看漲期權定價公式。

在文獻[12]研究的基礎上，假設股票價格和公司價值存在連續紅利支付，使其更為貼合實際，基于Mellin變換分析方法得到了不完備信息下含有信用風險的歐式脆弱期權定價解析公式。

1 基本模型

令St為期權在t時刻的標的股票價格，μs和σs分別為標的股票價格的常數漂移率和波動率。并且令Vt為期權t時刻的公司價值，μv和σv分別為公司價值的常數漂移率和波動率。因此，St和Vt的隨機微分方程為

考慮支付連續紅利會對標的資產的股票價格和公司價值造成影響，假設紅利收益率為q，利用Girsanov定理，上述方程在風險中性測度下可轉換成如下隨機微分方程

設T是期權的到期日，對于歐式脆弱期權，邊界條件由收益函數所決定，取決于t=T時刻下公司財務危機情況。一個歐式脆弱看漲期權的收益函數可以表示為

P(t,s,v)=E*[e-(r-q)(T-t)h(ST,VT)|St=s,V=v],

(1)

利用Feynman-Kac公式，在終端條件P(T,s,v)=h(s,v)下，價格P(t,s,v)變成如下偏微分方程的解

￡P(t,s,v)=0,t

(2)

其中,I為單位算子。

2 歐式脆弱期權定價公式

假設將Pn(t,s,v)定義為

Pn(t,s,v)=E*[e-(r-q)(T-t)hn(ST,VT)|St=s,V=v]，

(3)

在終端條件P(T,s,v)=h(s,v)下，將PDE ￡P(t,s,v)=0,t

(4)

式(4)的解為

(5)

為了計算式(5)，令

(6)

式(6)就是eA(s*,v*)(T-t)雙Mellin變換的逆。由式(4)和τ=T-t可得，B(τ,s,v)為

(7)

為了準確地計算b(τ,s,v*)，將用如下引理。

證明 令s=ω+β，那么

這里c*=c+β。如果s=c*+iz，則f(x)可以表示為

于是引理得證。

由引理1，式(7)的b(τ,s,v*)可變換為

因此式(7)就如同

(8)

再次運用引理1，式(8)可表示為

(9)

將式(9)代入式(8)可得

此時，為了計算式(5)的Pn(t,s,v)，將會用到引理2。

證明參見文獻[19]中定義1。

然后取極限n→∞得到

(10)

在定理1中，分別計算P1(t,s,v)和P2(t,s,v)，然后得到期權價格P(t,s,v)的封閉型解析公式。

定理1 由式(1)可以得到，支付連續紅利的歐式脆弱看漲期權的價格為

P(t,s,v)=sN2(a1,a2,ρ)-e-(r-q)(T-t)KN2(b1,b2,ρ)+

(11)

式中,

P1(t,s,v)=

P10(t,s,v)-P11(t,s,v)。

(12)

式(12)中被積函數的指數形式為

式中，

并且D1=0由待定系數法確定。另一方面，P11(t,s,v)為

(13)

利用待定系數法，式(13)中被積函數的指數形式可以由如下式子給出

式中,

并且D2=-rτ。

因此，假設

得到

sN2(a1,a2,ρ)-e-(r-q)τKN2(b1,b2,ρ)。

(14)

其次，用自變量x和y表示，式(10)可表示為

運用對P1(t,s,v)的計算方法，P2(t,s,v)可變為

(15)

式中,

最后結合式(14)和式(15)可以得到式(11)，定理1得證。

推論1 由定理1，可知支付連續紅利的歐式脆弱看跌期權的價格為

P*(t,s,v)=-sN2(-a1,a2,ρ)+e-(r-q)(T-t)KN2(-b1,b2,ρ)-

(16)

3 數值分析

看漲期權價值會隨著紅利支付減少，而看跌期權價值會隨著紅利支付增加。為了驗證式(11)和式(16)的科學有效性，也為了更好地說明紅利收益率對歐式脆弱期權定價的影響，參照大多數商業情況，通過調節相關系數獲得最符合實際市場的期權定價。因此數值分析中脆弱期權的計算基于以下參數值σS=0.3,σV=0.3，α=0.6,ρ=0.5,r=0.05,s=40,v=5,D=5,D*=5,K=35,T=1,t=0.75。

將紅利收益率q在[0,0.05]之間取值，可得紅利收益率與期權定價的關系圖。紅利收益率q與看漲期權價格P關系圖如圖1所示。紅利收益率q與看跌期權價格P*關系圖如圖2所示。由圖1和圖2可知，紅利收益率的增加會導致看漲期權價格隨之遞減，而看跌期權價格隨之遞增，這與實際相符，原因是紅利的支付會降低股票價格，從而影響公司價值。由于看漲期權的內在價值等于股票價格減去期權的兌現價值，而連續紅利的支付降低了股票價格，因此紅利收益率的增加會降低歐式脆弱看漲期權的價格。反之，會提高歐式脆弱看跌期權的價格。

圖1 紅利收益率q與看漲期權價格P關系圖 圖2 紅利收益率q與看跌期權價格P*關系圖

4 結論

由于連續紅利的支付會引起標的股票價格和公司價值的下降，因此，需要研究一種模型來說明標的股票和公司價值存在連續紅利支付在脆弱期權定價中的影響。與大多數文獻不同的是，研究利用雙Mellin分析方法推導出了歐式脆弱期權的定價模型，并且由于運用的是雙Mellin變換分析方法，規避了偏微分理論的繁瑣運算，得到了一種帶有連續紅利支付的歐式脆弱期權的閉型解，同時也為后面研究隨機波動率下歐式脆弱期權定價提供了方法。數值結果表明，紅利收益率的增加會引起歐式脆弱看漲期權定價值的減少和歐式脆弱看跌期權定價值的增加。