玩轉(zhuǎn)方差　統(tǒng)計無憂

吳曉剛

統(tǒng)計是初中數(shù)學(xué)中幾大主要板塊之一，其中“方差”是同學(xué)們最容易犯錯、最怵的統(tǒng)計知識點，究其原因是其計算量大，公式繁瑣。本文旨在幫助同學(xué)們剖析方差，厘清相關(guān)策略方法。當(dāng)你能夠玩轉(zhuǎn)方差的時候，那你的統(tǒng)計無憂矣。

一、據(jù)方差性質(zhì)解決問題

例1 下圖是甲、乙兩人在一次射擊訓(xùn)練中擊中靶的情況（擊中靶中心的圓面為10環(huán)，靶中各數(shù)字表示該數(shù)所在圓環(huán)被擊中所得的環(huán)數(shù)），每人射擊了6次。

（1）請用列表法將他倆的射擊成績統(tǒng)計出來;

（2）若選派其中一人參賽，你認(rèn)為應(yīng)選哪人？請說明理由。

【解析】（1）根據(jù)兩人擊中靶的情況列表。

[環(huán)數(shù) 6 7 8 9 10 甲命中環(huán)數(shù) 2 2 2 乙命中環(huán)數(shù) 1 3 2 ]

（2）先求出兩人射擊成績的平均數(shù)，x甲=9環(huán)，x乙=9環(huán)，再求出兩人成績的方差，s2甲=[23]，s2乙=1。由于x甲=x乙，s2甲

【點評】比較兩人的成績，首選平均數(shù)這個指標(biāo)，平均數(shù)相當(dāng)再選擇方差，因為方差反映了一組數(shù)據(jù)的波動大小，方差越大，波動性越大，方差越小，穩(wěn)定性越好。

二、變化數(shù)據(jù)的方差概括

例2 一組數(shù)據(jù)a，b，c，d，e的方差是3，則新數(shù)據(jù)2a+7，2b+7，2c+7，2d+7，2e+7的方差是。

【解析】設(shè)一組數(shù)據(jù)a，b，c，d，e的平均數(shù)為m，則新數(shù)據(jù)2a+7、2b+7、2c+7、2d

+7、2e+7的平均數(shù)為2m+7，方差為[15][（2a

+7-2m-7）2+（2b+7-2m-7）2+（2c+7-2m-7）2+（2d+7-2m-7）2+（2e+7-2m-7）2]=4×[15][（a-m）2+（b-m）2+（c-m）2+（d-m）2+（e-m）2]=4×3=12。

【點評】將一組數(shù)據(jù)按照一定規(guī)則進(jìn)行轉(zhuǎn)化，他們的平均數(shù)、方差是有章可循的。

[數(shù)據(jù) 平均數(shù) 方差 x1，x2，x3，…，xn x s2 x1+a，x2+a，x3+a，…，xn+a x+a s2 kx1，kx2，kx3，…，kxn kx k2s2 kx1+a，kx2+a，kx3+a，…，kxn+a kx+a k2s2 ]

三、運(yùn)用整體思想求方差

例3 某學(xué)習(xí)小組5位同學(xué)參加初中畢業(yè)生實驗操作考試（滿分20分）的平均成績是16分。其中三位男生的方差為6（分2），兩位女生的成績分別為17分，15分。則這個學(xué)習(xí)小組5位同學(xué)考試分?jǐn)?shù)的方差為。

【解析】根據(jù)該學(xué)習(xí)小組5位同學(xué)的平均成績是16分，兩位女生的平均成績也是16分，可知三位男生的平均成績也是16分。設(shè)三位男生的成績分別為a、b、c，根據(jù)“三位男生的方差為6”可得方程：[13][（a-16）2+（b-16）2+（c-16）2]=6，則（a-16）2+（b-16）2+（c-16）2=18，即可得這個學(xué)習(xí)小組5位同學(xué)考試分?jǐn)?shù)的方差為[15][（a-16）2+（b-16）2+（c-16）2+（17-16）2+（15-16）2]=[15]×（18+1+1）=4。

【點評】由于不知道三位男生的成績，故無法直接求該小組成績的方差，先利用方程思想得到關(guān)于三位男生方差的方程，最后運(yùn)用整體思想代入即可求解小組的方差。

（作者單位：江蘇省南菁高級中學(xué)實驗學(xué)校）