善于辨析歸類　問題迎刃而解

同學們通過本章內容的學習，知道等可能條件下概率的兩個基本特征是試驗結果的等可能性和有限性。解決等可能條件下的概率問題是中考的高頻考點。這類問題類型繁多，解決問題的方法多種多樣。大部分同學對于如何快速確定解題策略感到非常困難。其實，只要對這些問題的類型和方法進行歸類，再對癥下藥，相信問題一定能迎刃而解。下面就以具體的例題對這類問題的解題策略進行歸類分析，希望對同學們有所幫助。

一、求只有一步試驗結果的隨機事件的概率

當試驗的結果只有一步，出現的結果是等可能的，而且是有限個時，可以用枚舉法或直接利用公式求概率。

1.用枚舉法求隨機事件的概率。

例1 某中學現要從甲、乙兩位男生和丙、丁兩位女生中，選派兩位同學分別作為1號選手和2號選手代表學校參加全市漢字聽寫大賽，求男生甲被選為1號選手的概率。

解：因為選1號選手的結果有4種，男生甲，男生乙，女生丙，女生丁，它們都是等可能的，其中選到男生甲有1種。

所以P（男生甲被選為1號選手）=[14]。

2.直接利用公式求隨機事件的概率。

例2 一只不透明的袋子中裝有3個白球和4個紅球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出1個球。

（1）求摸到紅球的概率;

（2）若往口袋中再放入x個紅球，且從口袋中隨機取出一個白球的概率是[14]，求x的值。

解：（1）從中隨機取出一個紅球的概率是[44+3]=[47]。

（2）由題意得：[37+x]=[14]，解得x=5。

經檢驗x=5為原方程的解，

所以x的值為5。

【評析】本題考查了概率公式：隨機事件A的概率P（A）=[mn]，m表示事件A可能出現的結果數，n表示所有可能出現的結果數。解決第（2）問的關鍵是運用方程思想根據概率公式列出方程并求出方程的解。

二、求兩步試驗結果的隨機事件的概率

當試驗結果分為兩步時，根據具體情況，同學們可以適當選擇列表法或畫樹狀圖法，計算一些等可能條件下隨機事件的概率。我們需注意取出放回和取出不放回這個條件對事件的概率是有影響的。

1.取出放回的情況下用列表法或畫樹狀圖法求隨機事件的概率。

例3 一只不透明的袋子中裝有1個白球和2個紅球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出1個球，記錄顏色后放回、搖勻，再從中任意摸出1個球。求兩次都摸到紅球的概率。

解：把2個紅球編號為紅1、紅2，用樹狀圖列出所有可能出現的結果：

或列表如下：

[ 白 紅1 紅2 白 （白，白） （白，紅1） （白，紅2） 紅1 （紅1，白） （紅1，紅1） （紅1，紅2） 紅2 （紅2，白） （紅2，紅1） （紅2，紅2） ][第一次][結果][第二次]

因為共有9種可能的結果，它們都是等可能的，“兩次都摸到紅球”記為事件A，它的發生只有4種可能，所以事件A發生的概率P（A）=[49]，即兩次摸到紅球的概率是[49]。

【評析】在用“樹狀圖”或“表格”列出所有等可能出現結果的過程中，當試驗結果分為兩步，并且所有等可能出現的結果數較少時，運用這兩種方法求解都比較有效。

例4 拋擲一枚質地均勻的骰子兩次，朝上一面的點數之和為8的概率是多少？

解：用表格列出所有可能出現的結果：

[ 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 ][第二次][結果][第一次]

因為共有36種可能的結果，它們都是等可能的，“朝上一面的點數和為8”記為事件A，它的發生只有5種可能，所以事件A發生的概率P（A）=[536]，即朝上一面點數和為8的概率是[536]。

【評析】如果遇到所有等可能出現的結果數較大時，為了不重不漏地列出所有可能的結果，運用“表格”會顯得較為清晰、便捷。

2.取出不放回的情況下用列表法或畫樹狀圖法求隨機事件的概率。

例5 一只不透明的袋子中裝有2個白球、1個紅球和1個黑球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出1個球，記錄顏色后不放回，再從中任意摸出1個球。求兩次都摸到白球的概率。

解：記兩個白球分別為白1，白2。

畫樹狀圖如下：

或列表格如下：

[ 白1 白2 紅 黑 白1 （白1，白2） （白1，紅） （白1，黑） 白2 （白2，白1） （白2，紅） （白2，黑） 紅 （紅，白1） （紅，白2） （紅，黑） 黑 （黑，白1） （黑，白2） （黑，紅） ]

由圖或表可得，兩次摸球共有12種等可能結果，其中兩次摸到的球都是白球的情況有2種，

∴P（兩次摸到的球都是白球）=[212]=[16]。

【評析】取出放回和取出不放回這個條件對事件的概率是有影響的，直觀上我們可以通過表格中的對角線體現這一變化。不放回的情況在第二次是不存在的，所以在表格中要有對角線。

三、求三步試驗結果的隨機事件的概率

例6 一只不透明的袋子中裝有1個白球和1個紅球，攪勻后從中任意摸出1個球，記錄顏色后放回、搖勻，連續摸3次，求至少有一次摸到紅球的概率。

解：用樹狀圖列出所有可能出現的結果：

因為共有8種可能的結果，它們都是等可能的，“至少有一次摸到紅球”記為事件A，它的發生有7種可能，所以事件A發生的概率P（A）=[78]，即連續摸3次，至少有一次摸到紅球的概率是[78]。

【評析】當試驗結果涉及三步或更多步時，若用“表格”求解，就會得到一個三維或多維的立體表格，而這在平面上表示出來是比較困難的。為了不重不漏地列出所有可能的結果，則一般運用“樹狀圖”列出所有等可能的結果。

四、求與幾何圖形相關的等可能條件下的概率

如果區域P上有一個區域A，假設每次試驗能夠落在區域P上的任意一點處，并且落在任一點的可能性總是相同的，記區域P的面積為S總，區域A的面積為SA，那么一次試驗落在區域A上的概率P（A）=[SAS總]。特別地，如果區域A被劃分成m等份，用其中的一等份作為基本面積單位來劃分，區域P被分成n等份（n>m），那么一次試驗落在區域A上的概率P（A）=[mn]。

例7 如圖是一塊飛鏢游戲板，板中每一塊小正方形除顏色外全部相同。小明向飛鏢板中投擲飛鏢一次，假設飛鏢都落在游戲板上，求飛鏢落在陰影部分的概率。

解：∵總面積為4×4=16，其中陰影部分面積為4×[12]×2×2=8，

∴P（飛鏢落在陰影部分的概率）=[816]=[12]。

【評析】本題考查幾何概率的求法：首先根據題意將面積用代數關系表示出來，陰影區域面積表示所求事件A;然后計算陰影區域的面積在總面積中占的比例，這個比例即事件A發生的概率。

例8 如圖，A轉盤的4個扇形面積相等，B轉盤的3個扇形的面積相等。任意轉動轉盤A、B各1次，當轉盤停止轉動時，將指針所落扇形中的2個數字相乘，求所得的積是奇數的概率。（若指針恰好停在分界線上，則重新轉動轉盤，直到指針指向某一個數為止。）

解：用表格或樹狀圖列出所有等可能的結果：

[ 1 2 3 1 1 2 3 2 2 4 6 3 3 6 9 4 4 8 12 ][結果][B][A]

因為共有12種等可能的結果，其中乘積為奇數的有4種，所以P（乘積為奇數）=[412]=[13]。

【評析】解決這類問題不能用幾何概型的公式計算。轉盤上每個數字所占的扇形面積相等，所以指針指向每個扇形都是等可能的。這類問題可以轉化為等可能條件下的概率類問題，用列表法或畫樹狀圖法求解。

（作者單位：江蘇省前黃高級中學附屬人民路初級中學）