備受青睞的概率結果——P（B）=[49]

眭亞燕

“等可能條件下的概率”是初中數學概率部分的重點，用畫樹狀圖法或列表法列舉所有等可能事件的結果來計算概率是學好本章的關鍵，也是中考重點考查的內容。本文以蘇科版《數學》九年級上冊“等可能條件下的概率（一）”中的例4“摸球試驗”為基本模型，以所求結果“P（B）=[49]”為主線，讓同學們體會不同背景下蘊含的相同數學本質。

【基本模型】蘇科版《數學》九年級上冊“等可能條件下的概率（一）”中的例4（P136）：

圖1

如圖1，一只不透明的袋子中裝有1個白球和2個紅球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出1個球，記錄顏色后放回、攪勻，再從中任意摸出1個球，求兩次都摸到紅球的概率。

【解析】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率。列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏地列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件。

解法一：把2個紅球編號為紅1、紅2，用表格列出所有可能出現的結果：

[ 白 紅1 紅2 白 （白，白） （白，紅1） （白，紅2） 紅1 （紅1，白） （紅1，紅1） （紅1，紅2） 紅2 （紅2，白） （紅2，紅1） （紅2，紅2） ][第二次][第一次][結果]

由表格可知，共有9種可能出現的結果，并且它們都是等可能的?！皟纱味济郊t球”記為事件B，它的發生有4種可能，所以事件B發生的概率P（B）=[49]，即兩次都摸到紅球的概率是[49]。

解法二：用樹狀圖列出所有可能出現的結果，如圖2所示：

圖2

由樹狀圖可知，共有9種可能出現的結果，并且它們都是等可能的?！皟纱味济郊t球”記為事件B，它的發生有4種可能，所以事件B發生的概率P（B）=[49]，即兩次都摸到紅球的概率是[49]。

【點評】當一次試驗涉及兩個步驟（例如摸兩個球）并且可能出現的結果數目不多時，為不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用列表法或畫樹狀圖法。解題時要注意此題屬于放回試驗。

一、用基本模型解決拋擲骰子問題

例1 拋擲一枚質地均勻的骰子兩次，求點數之積小于9的概率。

圖3

【解析】考慮到該試驗涉及兩個步驟并且可能出現的結果數目較多，故選擇用列表法解決本題。

解：用表格列出所有可能出現的結果：

[ 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 2 2 4 6 8 10 12 3 3 6 9 12 15 18 4 4 8 12 16 20 24 5 5 10 15 20 25 30 6 6 12 18 24 30 36 ][第二次][第一次][結果]

由表格可知，共有36種可能出現的結果，并且它們都是等可能的?！包c數之積小于9”記為事件B，它的發生有16種可能，所以事件B發生的概率P（B）=[1636]=[49]，即點數之積小于9的概率是[49]。

【點評】本題的試驗背景雖然是“拋擲骰子”，解題方法也只是優選了表格法，但依然可以得到結果——P（B）=[49]。

二、用基本模型解決轉盤游戲問題

例2 小剛與小亮一起玩一種轉盤游戲。如圖4是兩個完全相同的轉盤，每個轉盤分成面積相等的三個區域，分別標有數字1，2，3。同時轉動兩個轉盤，任其自由停止。若兩指針所指的數字和為奇數，則小剛獲勝;否則，小亮獲勝。若指針恰好停在分界線上，則重新轉動轉盤，直到指針指向某一個數為止。問在該游戲中小剛獲勝的概率是多少？

圖4

【解析】考慮到該試驗涉及兩個步驟并且可能出現的結果數目不多，故選擇用畫樹狀圖法解決本題。

解：用樹狀圖列出所有可能出現的結果，如圖5所示：

圖5

由樹狀圖可知，共有9種可能出現的結果，并且它們都是等可能的?！皟芍羔標傅臄底趾蜑槠鏀怠庇洖槭录﨎，它的發生有4種可能，所以事件B發生的概率P（B）=[49]，即在該游戲中小剛獲勝的概率是[49]。

【點評】本題的試驗背景雖然是“轉盤游戲”，解題方法也只選用了畫樹狀圖法，但仍然可以得到結果——P（B）=[49]。

三、用基本模型解決乘坐公交問題

例3 小明周末要乘坐公交車到植物園游玩，從地圖上查找路線時發現，幾條線路都需要換乘一次。在出發站點可選擇空調車X、空調車Y、普通車a，換乘站點可選擇空調車M、空調車N、普通車b，且均在同一站點換乘?？照{車投幣2元，普通車投幣1元。求小明到達植物園恰好花費4元公交費的概率。（用畫樹狀圖法）

【解析】該試驗涉及兩個步驟并且可能出現的結果數目不多，按照常規解法既可以選擇列表法，也可以用畫樹狀圖法解決本題。但是本題末尾括號內規定“畫樹狀圖法”，所以只能選擇畫樹狀圖法。

解：用樹狀圖列出所有可能出現的結果，如圖6所示：

圖6

由樹狀圖可知，共有9種可能出現的結果，并且它們都是等可能的?！靶∶鞯竭_植物園恰好花費4元公交費”記為事件B，它的發生有4種可能，所以事件B發生的概率P（B）=[49]，即小明到達植物園恰好花費4元公交費的概率是[49]。

【點評】本題的試驗背景雖然是“乘坐公交”，解題方法也規定了只能用畫樹狀圖法，但依然可以得到結果——P（B）=[49]。

四、用基本模型自編一組概率問題

聰明的你能否也來編一組概率問題，使得最終結果也為P（B）=[49]。

（作者單位：江蘇省常州市新北區浦河實驗學校）