概率中的錯誤類型剖析

李燕華

概率屬于初中數學中“統計與概率”的知識范疇，是描述一類事件發生的可能性大小的數學模型。它是中考必考的知識點，重點考查大家數據剖析與數學建模的素養。在學習過程中，許多同學對概率知識的理解不準確，往往會出現各種錯誤，下面結合幾種常見的錯誤類型進行歸類剖析，希望對同學們今后的學習有所幫助與啟迪。

一、頻率與概率混淆不清易出錯

例1 小明拋擲一枚硬幣20次，有13次正面朝上，當他拋第21次時，正面朝上的概率是。

【錯解】[1320]。

【剖析】錯誤的原因是沒有真正理解概率的本質，把概率與頻率混為一談。概率與頻率是兩個不同的概念，概率是事件的本質屬性，其取值不依賴于試驗的次數。當然兩者又具有密切的關系：當重復試驗次數足夠多時，頻率會穩定在概率附近，所以概率的大小可以通過數次試驗得到的穩定頻率去估計，但要注意頻率并不等同于概率。況且本例中試驗的次數太少，所以不能把頻率作為概率的估計值。

拋擲一枚硬幣時，因為每次試驗都有2種等可能的結果，而拋到正面朝上的只有1種，所以第21次時與前面每次情況一樣，正面朝上的概率都是[12]。

【正解】[12]。

二、概率計算公式不清易出錯

例2 相同方向行駛的兩輛汽車經過同一個“T”字路口時，可能向左轉或向右轉。如果這兩種可能性大小相同，則這兩輛汽車經過該路口時，都向右轉的概率是（）。

A.[14] B.[13] C.[23] D.[12]

【錯解】D。

【剖析】有些同學錯誤地認為，經過同一個“T”字路口時，選擇一條路有向左轉、向右轉兩種結果，概率都是[12]，出現這種錯誤想法的根本原因是對等可能條件下概率的計算方法模糊不清，沒有考慮到所有等可能的結果數。

在等可能條件下概率的計算公式為：P（A）=[mn]，其中n表示所有等可能出現的結果數，m表示事件A發生可能出現的結果數。解決本題，不僅要正確理解、掌握公式，還要能熟練地利用列表法或畫樹狀圖法確定公式中的m、n的值。

【正解】A。

畫樹狀圖剖析如下：

∵共有4種等可能的結果數，都向右轉的只有1種結果，

∴P（都向右轉）=[14]。

三、試驗次數分辨不清易出錯

例3 甲、乙、丙三位同學在操場上互相傳球，假設他們相互間傳球是等可能的，并且由甲首先開始傳球。

（1）經過2次傳球后，球仍回到甲手中的概率是;

（2）請用列舉法（畫樹狀圖或列表）求經過3次傳球后，球仍回到甲手中的概率。

【錯解】（1）[13]。

畫樹狀圖如下：

∵共有6種等可能的結果數，經過2次傳球后，球仍回到甲手中的有2種結果，∴P（球仍回到甲手中）=[13]。

（2）畫樹狀圖如下：

∵共有4種等可能的結果數，經過三次傳球，球仍回到甲手中的有2種結果，∴P（球仍回到甲手中）=[24]=[12]。

【剖析】（1）本題求解錯誤的同學不理解“甲首先開始傳球”的意義，想當然地以為開始就傳給甲、乙、丙三人。如果我們可以設身處地地想一下，甲首先傳球的結果中是不可能再傳給自己的。

（2）有的同學不理解“三次傳球”的結果的意義，以為“甲首先開始傳球”就是一次了，其實這只是“甲開始傳球”，不是第一次傳出球的結果，這樣就不能正確畫出樹狀圖。

【正解】（1）畫樹狀圖為：

∵共有4種等可能的結果數，經過2次傳球后，球仍回到甲手中的有2種結果，∴P（球仍回到甲手中）=[24]=[12]。

（2）畫樹狀圖為：

∵共有8種等可能的結果數，經過三次傳球，球仍回到甲手中的有2種結果，∴P（球仍回到甲手中）=[28]=[14]。

答：經過三次傳球后球仍回到甲手里的概率是[14]。

四、是否放回未分辨易出錯

例4 三張外觀相同的卡片分別標有數字1、2、3，從中隨機一次抽出兩張，這兩張卡片上的數字恰好都小于3的概率是。

【錯解】[49]。

畫樹狀圖得：

∵共有9種等可能的結果，而兩張卡片上的數字恰好都小于3的有4種結果，

∴P（兩張卡片上的數字恰好都小于3）=[49]。

【剖析】導致本題求解錯誤的原因是審題不清，忽略了問題中的一個重要條件“從中隨機一次抽出兩張”，有些同學不能很好地理解其含義，其類似于“從中隨機抽出一張不放回，再從剩下的抽出一張”，故在此條件下進行試驗，最后結果中不可能出現抽出的兩張卡片上的數字完全相同的情況。

【正解】畫樹狀圖得：

∵共有6種等可能的結果，而兩張卡片上的數字恰好都小于3的有2種結果，

∴P（兩張卡片上的數字恰好都小于3）=[26]=[13]。

五、實際應用理解不當易出錯

例5 湯姆斯杯世界男子羽毛球團體賽小組賽比賽規則：兩隊之間進行五局比賽，其中三局單打，兩局雙打，五局比賽必須全部打完，贏得三局及以上的隊獲勝。假如甲，乙兩隊每局獲勝的機會相同。現甲隊在前兩局比賽中已取得2∶0的領先，那么甲隊最終獲勝的概率是多少？

【錯解】畫樹狀圖為：

∵共有4種等可能的結果數，其中甲至少勝一局的有3種結果，

∴P（甲隊最終獲勝）=[34]。

【剖析】部分同學不理解此題中“五局比賽必須全部打完”“甲隊在前兩局比賽中已取得2：0的領先”的意義。有的同學認為再打兩局，甲隊勝一局就勝，有的同學認為再打三局，甲隊要全勝才最終勝，有的同學認為要求5次的概率，太麻煩了……沒有真正理解在那樣的條件下，再打三局，只要找出甲至少勝一局的結果數，然后根據概率公式求解。

【正解】畫樹狀圖為：

∵共有8種等可能的結果數，其中甲至少勝一局的有7種結果，

∴P（甲隊最終獲勝）=[78]。

（作者單位：江蘇省常州市新北區小河中學）