三數兩差經常考　善用概念是妙招

陳新合

“數據的集中趨勢和離散程度”這一章的主要內容可以概括為：三數兩差。三數指平均數、中位數和眾數;兩差指極差和方差。它們是中考考查的熱門知識點，理解概念是解決這類問題的關鍵。

一、考查三數的概念及意義

例1 （2019·十堰）一次數學測試，某小組5名同學的成績統計如下（有兩個數據被遮蓋），則被遮蓋的兩個數據依次是（）。

[組員 甲 乙 丙 丁 戊 平均成績 眾數 得分 81 77 ■ 80 82 80 ■ ]

A.80，80B.81，80

C.80，2D.81，2

【解析】本題考查平均數和眾數的概念。平均數是所有數據的和除以數據的個數;眾數是一組數據中出現次數最多的數。根據表格數據可先利用平均數的計算公式求出丙的得分：設丙的得分為x，80×5=x+81+77+80+82，求得x=80，所以丙的得分是80分，則這組數據的眾數是80，故選A。

例2 （2019·成都）某校開展了主題為“青春·夢想”的藝術作品征集活動，從九年級五個班收集到的作品數量（單位：件）分別為：42，50，45，46，50，則這組數據的中位數是（）。

A.42件B.45件

C.46件D.50件

【解析】本題考查中位數的概念。中位數是指：將這列數按從小到大（或從大到小）排列后，如果數據的個數是奇數，則處于中間位置的數就是這組數據的中位數;如果這組數據的個數是偶數，則中間兩個數據的平均數就是這組數據的中位數。所以先將數據按照從小到大的順序排列：42，45，46，50，50，這組數據有5個，則取中間的數據46，故選C。

口訣：排序小大大小，奇取中偶取均。

例3 （2019·長沙）在慶祝新中國成立70周年的校園歌唱比賽中，11名參賽同學的成績各不相同，按照成績取前5名進入決賽。如果小明知道了自己的比賽成績，要判斷能否進入決賽，小明需要知道這11名同學成績的（）。

A.平均數 B.中位數

C.眾數 D.方差

【解析】本題考查平均數、中位數、眾數和方差的意義。平均數表達一組數據的平均水平;中位數表達一組數據的中等水平;眾數表達一組數據出現次數最多的數據;方差表達一組數據的穩定程度。根據題意可知比賽取前5名參加決賽，共有11名選手參加，只要知道自己的成績和中位數就可以知道是否進入決賽了，所以根據中位數的意義可知選B。

二、考查兩差的概念及意義

例4 （2019·金華）某地一周前四天每天的最高氣溫與最低氣溫如下表，則這四天中溫差最大的是（）。

[星期 一 二 三 四 最高氣溫 10℃ 12℃ 11℃ 9℃ 最低氣溫 3℃ 0℃ -2℃ -3℃ ]

A.星期一 B.星期二

C.星期三 D.星期四

【解析】本題考查極差的概念。極差是一組數據的最大數據與最小數據的差值。溫差就是一天的最高溫度與最低溫度的差值。星期一：10-3=7（℃）;星期二：12-0=12（℃）;星期三：11-（-2）=13（℃）;星期四：9-（-3）=12（℃）。∵7<12<13，∴這四天中溫差最大的是星期三。故答案為：C。

例5 （2019·巴中）如果一組數據為4，a，5，3，8，其平均數為a，那么這組數據的方差為。

【解析】本題考查平均數和方差的概念。一組數據中各數據與它們的平均數的差的平方的平均數，叫做這組數據的方差。求方差的步驟：先平均，再求差，然后平方，最后再平均。計算公式是：s2=[1n][（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2]（簡記：方差等于差方的平均數）。由題意得：先根據平均數的概念確定a的值：[4+a+5+3+85]=a，解得：a=5，則這組數據為4，5，5，3，8，其平均數是5，再根據方差公式進行計算：[15][（4-5）2+（5-5）2+（5-5）2+（3-5）2+（8-5）2]=[145]，故答案為：[145]。

例6 （2019·寧波）去年某果園隨機從甲、乙、丙、丁四個品種的葡萄樹中各采摘了10棵，每棵產量的平均數x（單位：千克）及方差s2（單位：千克2）如表所示：

[ 甲 乙 丙 丁 x 24 24 23 20 s2 2.1 1.9 2 1.9 ]

今年準備從四個品種中選出一種產量既高又穩定的葡萄樹進行種植，應選的品種是（）。

A.甲B.乙C.丙D.丁

【解析】本題考查平均數和方差的意義。方差是反映一組數據離散程度的量。方差越小，數據的離散程度就越小，穩定性越好。由題意可知：因為甲組、乙組的平均數比丙組、丁組的大，而乙組的方差比甲組的小，所以乙組的產量比甲組的穩定，因此乙組的產量既高又穩定，故選：B。

三、綜合考查三數兩差

例7 （2019·株洲）若一組數據x，3，1，6，3的中位數和平均數相等，則x的值為（）。

A.2B.3C.4D.5

【解析】根據平均數與中位數的概念，分四種情況：x≤1，1

解：當x≤1時，中位數與平均數相等，則得到：[15]（x+3+1+6+3）=3，解得x=2（舍去）;

當1

當3≤x<6時，中位數與平均數相等，則得到：[15]（x+3+1+6+3）=3，解得x=2（舍去）;

當x≥6時，中位數與平均數相等，則得到：[15]（x+3+1+6+3）=3，解得x=2（舍去）。

所以x的值為2。故選：A。

例8 （2019·濱州）若一組數據4，x，5，y，7，9的平均數為6，眾數為5，則這組數據的方差為。

【解析】根據眾數的定義先判斷出x，y中至少有一個是5，再根據平均數的計算公式求出x+y=11，然后代入方差公式得出答案。

解：∵一組數據4，x，5，y，7，9的眾數為5，∴x，y中至少有一個是5，∵一組數據4，x，5，y，7，9的平均數為6，∴[16]（4+x+5+y+7+9）=6，∴x+y=11，∴x，y中一個是5，另一個是6，∴這組數據的方差為[16][（4-6）2+（5-6）2+（5-6）2+（6-6）2+（7-6）2+（9-6）2]=[83]，故答案為：[83]。

最后，同學們在處理有關“三數兩差”的問題時，務必要明確相關概念以及它們的意義，從它們的概念入手分析問題，尋找解決問題的突破口，問題就可以迎刃而解了。

（作者單位：江蘇省蘇州市陽山實驗初級中學校）