基于ARIMA模型對工業總產值數據分析

(天津財經大學 天津 300000)

一、問題及背景

隨著科學技術水平的迅猛發展，國家的工業化水平是衡量該國家綜合經濟實力強弱的重要參考。一個國家的工業發展決定了國家的經濟發展水平。因此各個國家都在積極地發展本國的工業。對工業總產值數據進行統計分析，找出數據所蘊含的內在規律，建立適當的數學模型，根據模型對未來做出預測，提出相應的政策和策略，對于提高工業水平以及國家的經濟水平有重大的作用。而對于預測問題，時間序列分析一直受到廣大經濟學者的青睞。

實際生活中，時間序列分析的應用場景十分廣泛，應用時間序列分析的一般目的是：通過給出的序列數據建立適當的數學模型，根據模型來預測未來事物的發展情況。通常經濟學者能夠通過在相應時間點來觀察所獲取數據。例如，股票的日開盤價、某海域的每天的水位變化情況、每毫秒心電的活動情況、月價格指數、商場每月的銷售量、工廠年生產量等經濟數據。在觀察這些數據的同時找到數據之間的相關性和規律性，利用數據規律擬合合適的模型，利用數學模型對事物未來的發展情況和走勢進行預測。ARIMA模型便是此中最為主要的方法之一。

本問題中利用我國2008年1月至2015年12月工業總產值的月度資料，并用Eviews以及SPSS等統計軟件對數據進行時間序列分析，進一步得出適當的時間序列模型，根據歷史數據對未來工業總產值進行預測。

二、時間序列分析的發展

時間序列分析起源于古埃及。古埃及的發展很大程度上依靠尼羅河，當時的當地居民就將尼羅河水位的漲落情況連續記錄下來，從而構成時間序列數據。通過對這個時間序列長期的觀察，當地居民發現了尼羅河的水位漲落的規律與趨勢，正因如此，使古埃及的農業得到了迅速的發展。正因為先進的農業，古埃及成為了四大文明古國之一。這種從觀測序列得到直觀規律的方法即為描述性分析方法。時間序列分析在經濟、工業等研究領域有重要的應用價值，時間序列分析的發展與其在各個領域中的應用密不可分。

近代的時間序列分析起源于統計學家Yule，他在1927年提出了自回歸(AR)模型。該模型與英國統計學家Walker在1931年提出的移動平均(MA)模型組成ARMA模型，成為了時間序列分析的基礎，直到現在仍然被廣泛地應用于各個領域的研究中。

在經濟領域的研究中，有個問題不可避免，就是金融數據會存在異方差問題。對于異方差問題，經濟學家Engle提出了自回歸條件異方差(ARCH)模型。ARCH模型假設如下：在同一時刻，序列的噪聲服從均值為0，方差是一個隨時間變化的量的正態分布。作為一種全新的模型，該模型在近代得到了極大的應用與發展，也已被廣泛地用于經濟市場的研究中。ARCH模型是近代經濟學中的重大創新。

隨著時間序列分析研究的發展，時間序列分析的應用范圍也在不斷擴大。目前，時間序列分析已涉及天文、地理等研究領域，在國民經濟、金融市場、股票市場、醫學工程、核工程、遙感技術等領域，時間序列分析均取得了重大的研究成果。

三、時間序列分析基礎知識

時間序列分析是一種定量預測的分析方法，它包括一般統計分析、數學模型的建立與推斷，以及對時間序列未來發展趨勢的預測。傳統的統計分析方法都是建立在數據獨立性的基礎上，與傳統統計分析不同，時間序列分析則是建立在時間序列數據之間存在互相依賴關系的基礎上。時間序列分析實質上就是對隨機過程進行統計分析，因此，時間序列分析也可以認為是隨機過程統計的一部分。例如，某單位記錄了某片海域第一天，第二天，…，第N天的水位高度，然后利用時間序列分析對這些時序數據進行建模，利用模型可以對未來的水位進行預測監控。

時間序列分析的基本思想：記錄某事物在一段時期內連續的變化，對序列數據進行觀察，找出蘊含的規律，選擇建立適當的數學模型來反映數據中所蘊含的相互依存關系，對模型進行檢驗，接著利用通過檢驗的模型對事物的未來發展趨勢進行相應預測。

時間序列分析的基本假設原理如下。

第一，事物的發展趨勢具有一定的延續性，通過總結數據歷史變化規律，就能夠推測出事物未來的發展變化趨勢。

第二，事物的發展趨勢具有隨機性，是指任何事物都會受到隨機誤差的干擾。因此在對數據進行建模分析之前，首先要用加權平均的方法來對歷史數據進行預處理，消除隨機誤差項對數據的影響。

時間序列建模基本步驟如下。

第一，用統計調查等方法獲取一段連續時間內的序列數據。

第二，根據序列數據做出相應的散點圖、自相關圖并對時間序列數據的平穩性進行檢驗。對于不平穩的時間序列，應進行適當階數的差分運算，直至序列轉化為平穩時間序列。

第三，識別模型，對于短期或簡單的時間序列數據，可以使用趨勢模型或是季節模型，加上誤差項建立模型。對于平穩序列，可用選擇使用自回歸滑動平均模型(ARMA模型)及其特殊情況的自回歸模型、滑動平均模型或組合-ARMA模型等模型對序列進行分析建模。

第四，根據經驗總結，當序列中元素的數目多于50個的時候，一般都會采取ARMA模型對序列數據建模。而對于非平穩的時間序列，則首先需要進行適當階數的差分運算，使序列轉化為平穩時間序列，再使用適當的模型去擬合差分后的平穩序列。本文所采用的模型是ARIMA模型，即先對序列進行差分運算使之平穩化，再對差分后的序列使用ARMA模型進行建模。

四、ARIMA模型基礎知識

(一)ARIMA模型結構

ARIMA模型，即差分整合移動平均自回歸模型，是重要的時間序列分析模型之一，又稱整合移動平均自回歸模型。ARIMA模型會降預測事物的觀察值按照時間順序進行相應排序從而生成一個隨機序列，該序列會隨著時間的變化而發生變化，序列的變化可以通過自回歸移動平均產生，即該時間序列可以由時間序列本身的歷史數據或者滯后項以及隨機擾動項來進行解釋。ARIMA(p,d,q)模型中，AR是“自回歸”，p為自回歸項數；MA為“滑動平均”，q為滑動平均項數，d為使分平穩序列成為平穩序列所做的差分次數(階數)。

ARIMA模型的實質就是差分運算與ARMA模型的組合。對任何的非平穩序列，如果能通過適當階數的差分運算使之平穩，就可以對差分后的平穩序列進行ARMA模型擬合。ARMA模型的建模過程與分析方法已經非常成熟，這就意味著對非平穩序列的時間序列分析也將會變得十分簡單與可靠。

(二)ARIMA建模流程

第一，對序列數據畫出對應的散點圖、自相關圖以及偏自相關函數圖，求出自相關函數，進行平穩性檢驗。

第二，如果序列非平穩，進行差分運算對序列進行平穩化處理。

第三，根據所識別出來的特征選擇相應的時間序列模型進行建模。

第四，參數估計，對模型參數進行初步估計并檢驗參數的顯著性。

第五，通過Q-Q圖等檢驗來判斷(診斷)殘差序列是否為白噪聲序列。

第六，使用最終的模型對數據進行預測，將模型的預測值與事物的觀察值進行比較，檢驗模型的預測精度。

五、ARIMA模型建模過程

(一)判斷序列平穩性

將數據導入Eviews中并畫出序列的時序圖，從時序圖中可以看出有上升趨勢和周期性，所以該時間序列數據不具有平穩性。因此接下來要進行差分運算。

(二)差分運算

在Eviews得到差分序列的時序圖。同理，可以得到d2=d(data,1,4)，周期為4的時序圖，接著按照同樣的方法可以得到d3=d(data,1,12)，周期為12的時序圖，可以發現，觀察圖像后發現在進行差分運算后時間序列數據基本平穩。接下來要做出差分序列的自相關圖并進行觀察。

(三)做出差分序列的自相關圖

在Eviews可以得到相應的自相關圖，在自相關圖中由Q值對應的Prob可以得到，各滯后階數均顯著，說明差分后的序列不具有純隨機性，時序圖顯示具有平穩性。(此處選擇d3(series)，其相對于d1，d2可以更好地根據ACF和PACF選擇模型)。

根據自相關圖進行模型識別，并做參數估計及顯著性檢驗。經過分析，ACF一階截尾，且12步截尾，PACF拖尾，可以選擇模型：

ARIMA(0,1,1)×(0,1,1)12

用Eviews對上述模型進行參數估計，具體操作：Quick→Equation→輸入d(data,1,12)ma(1)sma(12)→OK就得到如參數估計表。可以得到其參數估計值分別等于-0.613與-0.2342，且參數均通過顯著性檢驗，說明模型是可行的。

接下來要對殘差進行Q檢驗，殘差對應的各階Prob均未通過顯著性檢驗，說明殘差項為白噪聲序列。

對1998年的工業總產值進行預測，由于選擇的是靜態預測，只能做一期預測(2016M01)

從得出的預測圖中看出：2016年1月的工業總產值為12 000.5億元且預測平均誤差為196.5億元。而經過調查后發現，該地區2016年1月真實的工業產值為11 863.5億元。通過預測值與真實值進行比較發現誤差較小，說明得到的ARIMA模型比較可靠，因此可以利用該模型對當地的工業產值預測。

總結

本文基于某地區的工業總產值歷史數據進行時間序列分析并建立了ARIMA模型，模型各項指標均通過了檢驗，且模型也能夠很好地對未來的工業總產值數據預測。

這也說明，時間序列分析在工業產值、國民經濟、經濟市場等領域有重要的作用，能夠很好地對這些領域的相關數據進行分析與預測。