函數概念教學研究

顧思敏 廖運章

[摘? ?要]函數概念是高中數學的核心概念之一.以“對應”為主線展開函數概念教學，能促進學生理解函數概念，掌握函數本質.

[關鍵詞]函數;概念;對應

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）32-0001-02

一、問題的提出

函數作為貫穿高中數學課程的一條主線，其重要性毋庸置疑.函數概念是函數的核心內容，是進一步學習函數的重要基礎，但由于其本身的抽象性，被公認為是最難教的概念之一.《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱“新課標”）的基本理念之一是“把握數學本質，啟發思考，改進教學”.教學函數概念時，必須創設合適的教學情境，啟發學生思考，引導學生把握函數概念的本質.

“對應”是函數概念始終保持不變的屬性.對應指的是對給定的集合[A]和[B]，如果存在一個關系[f]，對于集合[A]的任意一個元素[a]，根據關系[f]，得到集合[B]中的一個（或多個）元素[b]，那么稱這個關系[f]為從[A]到[B]的一個對應.“非空數集”和“單值對應”都不是函數概念始終保持不變的屬性.中學數學中的函數是單值函數，且為了降低中學生的學習困難，將函數限定在數集上，其本質仍然是對應.

本文以“對應”為主線，設計函數概念的教學過程，讓數學概念的教學回歸到數學本質教學中去.

二、教學設計

（一）教學說明

學生在初中已經學過函數定義以及一些簡單的函數，對函數有基本的了解.初中函數是“變量說”定義，高中是“對應說”定義，兩者的描述方式不同，但本質相同.初中描述的兩個變量之間的對應關系，高中強調的是兩個數集間元素的對應關系，并用抽象的符號[f]表示.高中函數概念的核心是對應關系，在教學中要圍繞“對應”關系展開.

（二）教學目標

新課標要求在初中用變量之間的依賴關系描述函數的基礎上，用集合語言和對應關系刻畫函數，建立完整的函數概念，體會集合語言和對應關系在刻畫函數概念的作用.了解構成函數的要素，能求簡單的定義域.此外，掌握函數的本質，并學會利用函數本質去判斷兩函數是否相同.

（三）教學過程

根據教材的編排特點，結合教學目標，將本節課的教學流程設計如下.

1. 實際問題驅動，抽象出函數的概念

問題1： 函數在初中已經學過，大家還能回想起初中的函數定義嗎？能舉幾個函數的例子嗎？

設計意圖：通過回顧初中函數概念，為接下來學習函數概念做好鋪墊.此外，讓學生自己舉例，教師可從中了解學生對函數的理解情況.

問題2： 剛剛同學們列舉了一些函數，能講講你們是如何判斷它們是函數的嗎？

設計意圖：從學生的判斷理由中，教師可以發現學生對函數本質的掌握情況.若學生的理由不恰當，教師可以根據學生對函數的錯誤理解，適時列舉出相應的例子讓學生思考，糾正錯誤，讓學生清楚函數的本質——對應，只有當“每一個[x]值都有唯一確定的[y]值與其對應”時，它才是函數.

問題3： 一枚炮彈發射后，經26秒后落到地面擊中目標.炮彈的射高為845米，且炮彈距地面高度[h]（單位：m）隨時間[t]（單位：s）的變化規律是[h=130t-5t2].當炮彈飛行時間為[3 s]時，炮彈距地面高度[h]為多少？[6 s]，[9 s]呢？炮彈距地面的高度[h]是時間[t]的函數嗎？

問題4： 近幾十年來，大氣層中臭氧迅速減少，因而出現了臭氧層空洞問題，圖1中的曲線是南極上空臭氧層空洞面積的變化情況.當臭氧層空洞面積[S=15]時，時間[t]為多少？此時，臭氧層空洞面積[S]是時間[t]的函數嗎？

設計意圖：當[S=15]時，有3個時間[t]與其對應.此時，通過設置第2問，讓學生知道當[y]是[x]的函數時，可以有多個[x]對應同一個[y].

問題5： 國際上常用恩格爾系數反映一個國家人民生活質量的高低，恩格爾系數越低，生活質量越高.表1中恩格爾系數隨時間（年）變化的情況表明，“八五”計劃以來，我國城鎮居民的生活質量發生了顯著變化.令時間為[t]，恩格爾系數為[k]，當恩格爾系數[k=49.9]時，時間[t]為多少？此時，系數[k]是時間[t]的函數嗎？反過來，時間[t]是系數[k]的函數嗎？

設計意圖：當[k=49.9]時，[t]為1994和1995.通過例2學生知道可以多對一.通過反問，讓學生進一步理解函數本質.當[y]是[x]的函數時，同一個[x]不可以對應多個[y].這時教師強調函數關系中數值之間的對應可以“一對一”“多對一”，但不可以“一對多”.

問題6： 剛剛我們在判斷兩個變量[x]與[y]之間是否構成函數時，我們根據的是每一個[x]值是否有唯一確定的[y]值與其對應.這時，兩變量之間有什么關系呢？

設計意圖：目的是引出“對應關系”，在上述問題中，變量之間形成一種對應的關系，它們是這樣對應：對于[x]的每一個值，按照某種確定的對應關系，[y]都有唯一確定的值與其對應.

問題7： 初中函數概念是從變量角度來描述的，但是隨著數學的發展，數學家對函數概念的理解不斷深入，函數概念已經不僅僅只能從變量的觀點出發.在本章我們學習了集合，是否可以用集合與對應關系的語言來描述這三個函數，將自變量與因變量的取值范圍用集合來表示？

設計意圖：通過讓學生自己用集合與對應關系的語言來描述函數，讓學生了解到不同角度的函數概念，兩者只是描述方式不同，本質并無區別.

問題8： 剛剛我們用集合與對應關系的語言來描述上述函數，它們之間有什么共同點和不同點？

設計意圖：通過分析、歸納概括出它們之間的共同屬性，進而抽象出函數概念.

2. 視覺化呈現，理解“對應是函數概念始終保持不變的屬性”

一般地，設[A]，[B]為非空的數集，如果按照某種確定的對應關系[f]，使對于集合[A]中的任意一個數[x]，在集合[B]中都有唯一確定的數[f（x）]和它對應，那么就稱[f：A→B]為從集合[A]到集合[B]的一個函數.記作[y=f（x）b ，x∈A].其中，[x]叫作自變量，[x]的取值范圍[A]叫作函數的定義域.與[x]的值相對應的[y]值叫作函數值，函數值集合[{f（x）x∈A}]叫作函數的值域.顯然，值域是集合[B]的子集.

“對應關系[f] ”是數集[A]與數集[B]中元素之間的一種關系，根據對應關系[f]，對于任意一個[x∈A]，都有唯一確定的取值[f（x）∈B]和它對應.對應關系[f]強調的是對應的結果，而不是對應的過程，即對應的建立方式是多種多樣的，可以是解析式、圖像與表格，甚至解析式也不是唯一的.由于對應關系的表現形式多種多樣，統一用符號[f]只是表示對應關系，也可以是[g]、[h]等.函數定義可由圖2表示.

設計意圖：高中函數定義之所以被公認為教學難點，其中一部分原因是函數定義中大量的非本質屬性的概念和符號，使學生對函數概念的形成產生困難.因此，為了凸顯出函數的本質——對應，用圖2來簡單表示函數定義，促進學生理解函數概念，掌握函數本質.

3. 把握函數相等，鞏固函數概念

由函數的定義及圖2可得，定義域、對應關系和值域構成一個函數，稱其為函數的三要素.其中值域由定義域和對應關系確定.因此，如果兩個函數的定義域相同，并且對應關系完全一致，我們就稱這兩個函數相等.其中“對應關系完全一致”指的是：相同的[x]值對應相同的[y]值.

4.舉例

設計意圖：“函數相等”是根據函數三要素來定義的，而函數三要素是函數定義的概括、濃縮，通過“判斷兩個函數是否相等”能夠促進學生對函數概念的理解.由“函數相等”定義可知，定義域和對應關系是決定兩個函數是否相等的關鍵因素.定義域不同，兩個函數一定不相等，學生對于這一點掌握得較好.需要重點掌握的是對應關系，不少學生存在經驗性的解析式認知，把解析式等同于對應關系.解析式相同，對應關系一定相同，但是解析式不同，對應關系也可能相同.運用函數相等，讓學生進一步認識到對應關系強調的是對應的結果，而不是對應的過程.不管兩個函數的表達形式如何，只要數值間的對應是相同的，那么這兩個函數的對應關系就相同.

5. 設計說明

本文緊緊圍繞函數的本質“對應”展開教學.首先回顧初中函數概念，并通過讓學生在判斷函數的過程中，一步一步地讓學生知道中學函數的本質——對應，以及對應的類型是“一對一”“多對一”，但不可以“一對多”或“多對多”;接著讓學生用集合與對應關系的語言來描述函數，初步接觸高中函數概念的描述方法，分析歸納出函數概念的共同屬性，形成完整的函數概念;然后借助圖2來表達抽象的函數定義，以幫助學生理解函數描述的是數集間元素的對應關系.

最后，在“函數相等”中，進一步體現函數的本質，讓學生清楚函數的本質是解題的關鍵，與函數的表示方法無關.由此讓學生理解“對應”才是函數概念始終保持不變的屬性.

（責任編輯 黃桂堅）