數學建模在中年女性減脂營養早餐搭配中的應用

錢麗麗

摘? 要：數學建模是利用數學工具解決實際問題的重要手段，它是根據實際問題來建立數學模型，利用軟件程序等方式求解模型并將結果運用到實際生活中。文章從女性所熱衷的減脂話題著手，運用數學建模的思想方法討論中年女性減脂早餐的搭配問題，充分發揮數學建模應用價值。

關鍵詞：數學建模;中年女性;減脂營養早餐;攝入量

中圖分類號：O141.4 文獻標志碼：A 文章編號：2095-2945（2019）34-0164-03

Abstract： Mathematical modeling is an important means to solve practical problems by using mathematical tools. It establishes a mathematical model according to practical problems， uses software programs to solve the model， and applies the results to real life. Starting from the topic of fat loss which women are keen on， this paper discusses the collocation of fat loss breakfast for middle-aged women by using the thought method of mathematical modeling， so as to give full play to the application value of mathematical modeling.

Keywords： mathematical modeling; middle-aged women; fat-reducing nutritional breakfast; intake

1 概述

女性進入中年以后，生理機能開始下降，新陳代謝速度減緩，再加上平時缺乏運動，使得人體攝入的熱量大于消耗，引發肥胖。據一項調查顯示，約80%的中年女性易發福。因此，不管是從形體還是健康角度考慮，大部分的中年女性都有不同程度的減肥需求。健康、安全、有效的減肥一定要做到：均衡的營養+控制攝入的熱量。均衡營養是指遵循膳食指南的要求，豐富食物的品種，根據各食物所含的營養成分協調攝入的比例，保證人體每天所需的營養素;控制熱量的攝入是指在運動減脂的同時控制攝入食物的總熱量。

本文以中國營養學會所提供的各食物所含營養成分、熱量等數據為依據、以其對人體三大主要營養素（蛋白質、脂肪和碳水化合物）及膳食纖維每天需求量的推薦，對身體處于Ⅱ級①、有減脂需求的中國中年女性的早餐進行搭配設計，建立相應的數學模型，運用MATLAB軟件計算出減肥早餐中的各食物的攝入量，以確保健康、有效的減脂效果，充分發揮數學建模的應用價值。

2 概念界定

2.1 數學建模

數學建模是根據實際問題來建立數學模型，利用軟件程序等方式來進行求解，并將獲得的結果運用到實際生活中。本文從模型準備、模型假設、模型構成與求解、模型檢驗、模型修改這幾個步驟來實現數學建模;運用MATLAB數學軟件對構建的模型進行求解和分析。

2.2 減脂營養早餐

減脂營養早餐是在滿足人體早餐所需各營養素的前提下，減少總熱量的攝入。比如可挑選一些低脂肪、低熱量、富含優質蛋白的食物，但至少要包含碳水化合物、脂肪、蛋白質和膳食纖維。所以在早餐中我們只要準備主食、牛奶、雞蛋和蔬果就可以基本滿足營養攝入均衡了。其中主食可以選擇糙米飯、雜糧粥、全麥面包和薯類等，雞蛋最好是水煮或無油煎熟，奶制品可以選擇脫脂或低脂牛奶。

2.3 攝入量

這里的攝入量是指早餐中每一種食物攝入的質量。中年女性在決定健康減脂的同時往往還想知道自己需要堅持多少時間可以減重多少，需要堅持多久能達到自己的理想體重。所以為了保證減脂的時效性，就有必要對攝入的各種食物進行合理搭配并計算其相應的質量。

3 問題提出

假設某人某天的減脂營養早餐搭配為全麥面包、水煮雞蛋、低脂牛奶和菠菜。那么這幾種食物大概各需要攝入多少量可以既滿足營養均衡又能保持在一個理想范圍內的能量攝入？

3.1 模型準備

數據參考1：

（1）根據中國營養學會推薦的處于35～45周歲年齡

段、身體活動水平處于Ⅱ級的中國中年女性一天對食物攝入熱量需求約為1800千卡，對有減脂需求的成年人，建議每天攝入的熱量可減少300～500千卡，即一天攝入1300～1500千卡，如果按照這個數據堅持下來每周能減重1kg左右。

（2）早、中、晚餐建議的熱量攝入配比為30%、40%、

30%，由此可推算出：文中的中年女性減脂營養早餐攝入的熱量在390～450千卡。

（3）中國營養學會還建議減肥人群日常膳食中蛋白質、脂肪與碳水化合物一天的供能比為20%～30%、20%～25%、45%～60%。膳食纖維一天的攝入量為25～35克，減脂早餐中膳食纖維的攝入量約為7.5～10.5克。

（4）1克蛋白質在體內能產生4千卡的熱量，1克脂肪則可產生9千卡的熱量，1克碳水化合物可產生4千卡的熱量，而膳食纖維幾乎不產生熱量。

數據參考2（見表1）。

3.2 模型假設

（1）減脂早餐中蛋白質含量可以多一些，故假設三大營養素供能比按25%，20%，55%計算。（2）中年女性減脂早餐攝入能量按照中間值420千卡計算。（3）減脂早餐中的膳食纖維以9克計算。

現假設中年女性在早餐中對蛋白質、脂肪和碳水化合物的攝入量分別為a克，b克，c克，根據三大營養素的供能比和能量總和，可得方程組①

（1）4a：9b：4c=25%：20%：55%

（2）4a+9b+4c=420

解得：a=26.25b=9.33c=57.75

在中年女性的減脂早餐中對三大營養素的需求量分別為26.25克，9.33克，57.75克。

3.3 模型建立與求解

解決營養餐的搭配問題目前比較常規的方法是用線性方程組。即“把各食物中所含的某種營養素之和=人體對該營養素的所需”作為等量關系來考慮。

設早餐中全麥面包、水煮雞蛋、低脂牛奶和菠菜的攝入量依次為x1，x2，x3，x4克，根據表一中各食物所含營養成分以及模型假設中中年女性的減脂早餐對三大營養素和膳食纖維需求量，建方程組：

0.091×x1+0.133×x2+0.029×x3+0.021×x4=26.25

0.017×x1+0.088×x2+0.013×x3+0.002×x4=9.33

0.433×x1+0.028×x2+0.047×x3+0.028×x4=57.75

0.07×x1+0.014×x4=9

模型求解

>> A=[0.091? 0.133? 0.029? 0.021;

0.017? 0.088? 0.013? 0.002;

0.433? 0.028? 0.047? 0.028;

0.07? ? ?0? ? ? 0? ?0.014];

b=[26.25;9.33;57.75;9];

x=inv（A）*b

x =

85.4591

42.0809

287.9198

215.5618

數據顯示，按照上面的模型，全麥面包、雞蛋、低脂牛奶和菠菜的攝入量約為85.5克、42克、287.9克和215.6克。這里85.5克的全麥面包約為兩片，42克的雞蛋約為一個水煮雞蛋的量（去殼），287.9克的牛奶約為278毫升，215.6克的菠菜大約為一盤子的量。當然，如果不想吃很多菠菜，可以外加一個水果來替換其中一部分，讓早餐的營養更加均衡。

3.4 模型檢驗

用線性方程組解決減脂營養早餐的搭配問題既方便又快捷，但也有弊端。首先，線性方程組必須有唯一解，如果出現無解或者不定解，那必須要增減食物的數量或所考慮的營養素種類來調整解的情況;其次，模型中的變量值代表的是各食物的攝入量，其值必須為非負數，但在方程組中難以把這條件進行限定;最后，方程組中任何一個系數或常數的微調都可能對實際計算出的結果產生較大的影響，比如把方程組①中的第二個方程“4a+9b+4c=420”等式右邊的值“420”用390～450千卡之間的某個數值去替代，計算出的三大營養素的需求量并代入到方程組②，同時把膳食纖維的攝入量用7.5～10.5克的某個值替代，發現求得的結果之間差距比較大。

因此對用線性方程組求解營養餐的搭配問題需要進行修改和完善來避免以上的幾個問題。

3.5 模型修改

減脂早餐的能量攝入只要控制在一定的范圍內都能起到減脂的效果，所以可以考慮用不等式的方法來估算早餐食物的攝入量。在方程組①中，分別用能量攝入最大值450千卡和最小值390千卡替代420千卡，從而計算出當早餐中的蛋白質、脂肪和碳水化合物的含量分別為24.375～28.125克， 8.666～10克， 53.625～61.875克時可以滿足中年女性在減脂期間對三大營養的需求。結合減脂早餐中膳食纖維的攝入量約為7.5克～10.5克，建立新的不等式組③

③

用MATLAB解線性不等式組③，可以轉化為求解線性規劃問題。③式可看成線性規劃問題中的約束條件，再另外擬定一個適當的目標函數。由于問題討論的是在滿足基本營養素需求的基礎上控制能量的攝入值，故可以把這攝入的四種食物產生的總能量擬定為目標函數， 即f=2.27x1+1.44x2+0.43x3+0.21x4，由于線性規劃討論的是在滿足線性不等式組（約束條件）的前提下，求目標函數的最值問題，可并分別計算目標函數的最小值和最大值。其程序編寫如下：

程序編寫1

>> f=[2.27? 1.44? 0.43? 0.21];

A=[0.091? 0.133? 0.029? 0.021;? -0.091? -0.133? -0.029? -0.021;? 0.017? 0.088? 0.013? 0.002;? -0.017? -0.088? -0.013? -0.002;? 0.433? 0.028? 0.047? 0.028;? -0.433? -0.028? -0.047? -0.028;? 0.07? 0? 0? 0.014;? -0.07? 0? 0? -0.014;? 2.27? 1.44? 0.43? 0.21;? -2.27? -1.44? -0.43? -0.21];

b=[28.125; -24.375; 10; -8.666; 61.875; -53.625; 10.5; -7.5; 450; -390];

lb=zeros（4，1）;

[x，fval]=linprog（f，A，b，[]，[]，lb）

Optimization terminated.

x =

100.2733

69.3606

27.7196

248.6334

fval =391.6321

程序編寫2

>> f=[-2.27? -1.44? -0.43? -0.21];

>> A=[0.091? 0.133? 0.029? 0.021;? -0.091? -0.133? -0.029? -0.021;? 0.017? 0.088? 0.013? 0.002;? -0.017? -0.088? -0.013? -0.002;? 0.433? 0.028? 0.047? 0.028;? -0.433? -0.028? -0.047? -0.028;? 0.07? 0? 0? 0.014;? -0.07? 0? 0? -0.014;? 2.27? 1.44? 0.43? 0.21;? -2.27? -1.44? -0.43? -0.21];

b=[28.125; -24.375; 10; -8.666; 61.875; -53.625; 10.5; -7.5; 450;-390];

lb=zeros（4，1）;

[x，fval]=linprog（f，A，b，[]，[]，lb）

Optimization terminated.

x =

87.3351

38.3492

331.8714

256.2938

fval =-450.0000

數據顯示，當全麥面包、雞蛋、牛奶和菠菜的攝入量約100克、69克、28克和249克時可以產生最小的能量391.6千卡;當攝入量約為87克、38克、332克和256克時可以產生最大的能量450千卡。我們發現，在同等約束條件下，對目標函數分別求最大值和最小值，計算出的這四種食物對應的攝入量相差較大。為了縮小這種差距，得到更為標準的食物攝入量，我們考慮把約束條件中所有不等式的取值范圍向中間縮小，即縮小了不等式組可行解的區域，這樣不管是求目標函數的最大值還是最小值，所得變量的值都不會相差很大，如把上面程序中“b=[28.125;-24.375;10;-8.666;61.875;-53.625;10.5;-7.5;450;-390]”設置成“b=[26.125;-26;9.5;-9.2;58;-57.5;9.2;-8.9;423;-418]”（看每對數字絕對值的差距），分別計算得到目標函數的最大值和最小值，得到對應四種食物的攝入量分別為89.2克、47.1克、254.6克、205.9克和87.5克、44.2克、260克、219.6克這兩組相似的數據，因此，我們認為攝入量控制在在這兩組數據之間或附近的都是較為有效的減脂餐。和最初的建立的方程組模型②相比，用不等式組的模型來表達營養配餐問題既避免了方程組模型中可能會出現的諸多問題，同時也體現了減脂營養早餐搭配的靈活性。

以上模型討論的減脂營養早餐的搭配比較簡單（搭配種類在5種以下），如果要想營養更豐富均衡，也可以增加早餐的種類，但同時也要增加考慮其他營養素的標準攝入量。模型越復雜，用線性規劃模型求解的優勢就越明顯。

4 結束語

本文用數學模型在大數據下解決了有減脂需求的中年女性的營養早餐搭配問題。當然，考慮的營養因素越全面，模型也會越復雜，早餐搭配也就變得越精細、標準。另外，該模型還可以推廣：對一些飲食比較特殊的人群，如糖尿病人、孕婦以及生長發育期的少年兒童等，他們的飲食除了要營養均衡外，對食物的攝入量都有一定的限制。我們需要查閱相關的資料，收集數據，根據實際需要設定好一定的約束條件，建立與該模型相類似的數學模型，計算出食物相應的攝入比和攝入量。讓更多的人都來關注自己的飲食，養成科學、健康的飲食習慣。

注釋：

①以坐著工作為主，但由于上下班或工作要求，可以走路或接待顧客等.每天也會做一些家務和簡單的運動。

參考文獻：

[1]中國營養學會.中國居民膳食指南[M].人民衛生出版社，2016.

[2]姜啟源，謝金星，葉俊.數學模型[M].高等教育出版社，2011.

[3]馬提寶.數學建模在高職數學教學中的應用分析[J].吉林廣播電視大學，2012（8）：79-80.

[4]張穎.線性規劃模型中MATLAB的求解實現[J].通化師范學院學報，2009（12）：13-14.