巧解靜力學中動態平衡

趙偉敏 段瓊

摘 要：靜力學動態平衡問題的討論，作為考察中學生物理思維、分析能力和運用數學知識解決物理問題的很好素材，而廣受高中物理教師和高考命題專家的青睞。也因為該問題一般比較繁瑣處理難度大，而成為高中生學習物理的一個痛點。因此，我將解決靜力學中的動態平衡問題的技巧性方法做了以下梳理。

關鍵詞：靜力學 共點力 動態平衡

三力共點平衡的動態分析，主要考察因某個力變化而引起其它力變化的討論。通常采用構造函數討論單調性，一般都比較繁瑣，同時運算量也很大。正是這樣的原因，我們可以借鑒力的圖示，通過用線段長短來表示力的大小，從而把物理上的靜力學問題轉化為較簡單的平面幾何問題，充分利用平面幾何的直觀性，進行問題的解答，回避復雜的代數運算。

下面我將給出常見的三種利用幾何方法討論動態平衡的方法。

一、動態三角形法

三力中，有一個力是恒力，另一個力方向不變，討論這兩個變力的具體變化關系，可采用動態三角形方法進行討論。

[例1] （2016全國卷Ⅱ）質量為m的物體用輕繩AB懸掛于天花板上。用水平向左的力F緩慢拉動繩的中點O，如圖所示。用T表示繩OA段拉力的大小，在O點向左移動的過程中（ ）

A.F逐漸變大，T逐漸變大B.F逐漸變大，T逐漸變小

C.F逐漸變小，T逐漸變大D.F逐漸變小，T逐漸變小

解析：對繩結O受力分析，OB繩拉力等于物塊B的重力是一個恒力，水平拉力F方向保持不變，繩OA拉力在變，但節點O受三力共點平衡，可構造出下面的動態三角形由圖可得，選A

二、相似三角形法

在三力平衡問題中，如果有一個力是恒力，另外兩個力方向都變化，且題目給出了空間幾何關系，并且關系中有一個邊不變，一個邊長短不變時，可采用力的矢量三角形與空間幾何三角形相似，利用相似三角形對應邊成比例進行計算。

[例2]如圖是一個簡易起吊設施的示意圖，AC是質量不計的撐桿，A端與豎直墻用鉸鏈連接，一滑輪固定在A點正上方，C端吊一重物。現施加一拉力F緩慢將重物P向上拉，在AC桿達到豎直前（ ）

A.BC繩中的拉力FT越來越大 ? ? ?B.BC繩中的拉力FT越來越小

C.AC桿中的支撐力FN越來越大 ?D.AC桿中的支撐力FN越來越小

解析：對繩結C受力分析，CP繩拉力等于物塊P的重力是一個恒力，鉸接桿AC只能提供支持力，繩BC拉力沿繩，結點C受三個力，除CP繩拉力為恒力外，另兩力均不能確定，但是AB距離不變，桿長AC不變，可有相似三角形如圖，由力的矢量三角形與幾何三角形ACB相似有，所以選B。

三、輔助圓法

在圓中，同一段弦所對圓周角相等（如圖弦AB）。

我們可以利用圓的這一定理來解決靜力學中這樣一類動態分析問題：一個力是恒力，另外兩個力夾角不變的三力動態平衡問題。

[例3]（多選）（2017全國卷Ⅰ）如圖，柔軟輕繩ON的一端O固定，其中間某點M拴一重物，用手拉住繩的另一端N，初始時，OM豎直且MN被拉直，OM與MN之間的夾角為α（α>）。現將重物向右上方緩慢拉起，并保持夾角α不變。在OM由豎直被拉到水平的過程

中（）

A.MN上的張力逐漸增大B.MN上的張力先增大后減小

C.OM上的張力逐漸增大D.OM上的張力先增大后減小

解析：輕繩只能提供沿繩拉力，而題目要求兩繩夾角α不變，對重物

M受力分析，其受三個力，其中重力是恒力，另外兩個沿繩拉力，夾角不變，

畫出M受力分析圖，θ+α=π由圖可知，選AD

以上為解決三力共點平衡的動態分析常用三種幾何方法，不同方法對應不同動態特點，而根據不同特點，構造相應幾何環境，采用平面幾何的方法，可以直觀簡潔地給出變力的變化規律，回避了繁瑣的數學分析和運算。以上各題也可采用純粹的數學計算，有興趣的讀者可自行完成。