借助二次函數圖像解不等式

文陶建燕

（作者單位：江蘇省南京市江寧區銅井初級中學）

文陶建燕

我們知道，函數、方程、不等式之間存在聯系，研究三者之間的聯系繞不開對函數圖像的研究，今天我們來“透過現象看本質”，借助函數圖像解不等式。

例1已知：如圖1，拋物線y=x2-2x-3。

（1）求該拋物線與x軸的交點A，B的坐標。

（2）x取何值時，y＞0？

圖1

追問：結合圖像，你能描述（1）（2）在函數圖像中的意義嗎？

【解析】（1）求二次函數的圖像與x軸交點坐標，只需令y=0，將二次函數轉化為一元二次方程x2-2x-3=0，求出方程的解x1=3，x2=-1，即交點坐標為A（-1，0），B（3，0）；或者將x軸看成直線y=0，只需求方程組的解即可。

（2）我們知道，只要令y＞0，即可將二次函數轉化為不等式x2-2x-3＞0，可如何解這個不等式呢？目前我們沒有研究過如何解這樣的不等式，因此我們只有借助二次函數圖像。從上下方向看，y＞0表示在x軸（直線y=0）上方的圖像，從左右方向看，y＞0表示在交點A的左側、交點B的右側的圖像。

為了直觀地表示出應變量y＞0對應的圖像，采用“劃線分區”的方法，即分別過交點A、B作平行于y軸的直線，將圖像分為三個區域：A點左側，A、B兩點之間，B點右側。其中拋物線在x軸（直線y=0）上方的是A點左側和B點右側部分。這一方法是依據對應的函數圖像和交點的位置關系產生的，因此應用時關鍵要找準交點再劃線分區。

圖2

由圖2知，x的取值為x＜-1或x＞3。

【小結】“數形結合”最能展現二次函數與一元二次方程、不等式之間的關系：

數形y=x2-2x-3賦今y=0值今y=0 x2-2x-3=0 y=x2-2x-3賦 今y＞0值 今y＞0范 今y＞0圍 今y＞0 x2-2x-3=0拋物線與直線的兩個交點部分函數圖像

理解了二次函數與一元二次方程、不等式之間的本質聯系，掌握了“劃線分區”的小妙法，你會解這一類不等式嗎？我們來試試看。

變式1借助函數圖像解不等式x2-2x-3≤-3。

圖3

【解析】不等式x2-2x-3≤-3表示y≤-3，結合函數圖像，表示拋物線在直線y=-3下方的部分。在拋物線上畫出直線y=-3，求出直線與拋物線的交點C（0，-3）、E（2，-3）。過交點C、E作y軸的平行線，把圖像分成3個區域：交點C的左側，C、E之間，交點E右側。其中交點C、E之間的圖像，表示y≤-3，即自變量x的取值范圍是0≤x≤2。

變式2借助函數圖像解不等式x2-2x-3＜x-5。

圖4

【解析】不等式x2-2x-3＜x-5可看成拋物線y2=x2-2x-3與直線y1=x-5之間的不等關系，即y2＜y1。與變式1不同的是，平行于x軸的直線變為一般的直線，結合圖像表示拋物線在直線的下方部分。同樣用“劃線分區”的方法解題。交點D、E之間的圖像即為所求，自變量的取值范圍為1＜x＜2。