數學美在大學數學教學中的作用

趙 良

(安徽工業大學 數理科學與工程學院，安徽 馬鞍山 243002)

一、數學美的含義與作用

美是客觀事物的一種自然屬性，數學同各門自然學科一樣, 也有其獨特的美學特征。 數學家羅素說過，“數學，如果正確地看，不但擁有真理，而且具有至高的美。”數學美本質上反映的是數學對象蘊涵的美學屬性。數學家亞里士多德也認為:“雖然數學沒有明顯地提到善和美，但善和美也不能和數學完全分離。因為美的主要形式就是秩序、均稱和確定性，這些就是數學所要研究的范疇。所以，數學和美不是沒有關系的。”一般認為，數學美是通過數學的符號、公式、理論、結構、方法、應用等表現出來的，其基本形式有簡單性、對稱性、統一性、和諧性、奇異性、思維性等。

數學是一門比較抽象的學科, 特別是大學數學又具有高度的抽象性和信息量大等特點。對于某些數學對象來講,其內在的美只有通過學生的學習活動才會體現。教師在課堂教學時如果單純地照搬課本，那么學生就會感到枯燥乏味，進而會影響到他們的審美情趣和學習態度。但是，如果教師能在所講內容的基礎之上，將數學美應用到大學數學的課堂教學中，讓學生充分感受到數學的內在美，那么就會讓學生產生強烈的求知欲，并對所學內容產生濃厚的學習興趣。同時，學生也就會將被動學習轉變為主動學習，他們的學習積極性也會被極大地調動起來。這就要求教師在課堂教學中，要不斷培養學生的審美意識，不斷增強他們的學習興趣，使課堂展現出更強的活力和魅力。

二、數學美的分類與應用舉例

(一)數學的簡潔美

自從數學符號被引入到數學中以來，數學公式和結論的簡潔性便一直貫穿數學的發展。 數學美的簡潔性是指通過最少的符號和內容，給出一個盡可能完美的結論和結果。在給學生講授一些數學知識特別是一些比較抽象的數學概念時，結論和概念的簡潔性往往有助于學生理解。當然，簡潔的概念和結論不一定簡單，但是當把這些向學生解釋清楚，學生理解消化后往往給人的感覺又特別奇妙，從而給學生一種美的享受。 例如，著名的歐拉公式，表達式簡潔明了，但包含的意思卻比較廣泛。 簡單多面體的頂點數V、面數F及棱數E間有關系式：V+F-E=2，這個公式就叫歐拉公式。

歐拉公式描述了簡單多面體頂點數、面數、棱數特有的規律。 它的意義在于證明的思想方法創新，揭示了圖形從立體圖到拉開圖，雖然各面的形狀、長度、距離、面積等與度量有關的量發生了變化，但頂點數、面數、棱數等不變。

(二)數學美的對稱性

數學中的對稱性, 既是一種思想，又是一種方法, 往往在解決問題時會產生出人意料的結果。它的主要作用在于，對于處理一些關于對稱性的數學問題時，我們往往可以只考慮其局部的性質和結論，而不必考慮整個復雜的整體性質，這樣就達到了化繁為簡的目的。 具體到教學中，我們在講授一些關于對稱性的問題時，首先要向學生講明處理這類問題的方法和條件，其次要提醒其注意適用范圍，否則就會適得其反。 一旦學生掌握了這類關于對稱性的數學問題的處理方法后，就會有一種成就感，就會增強學習積極性。

例如，利用對稱性可以大大簡化對三重積分的計算。在向學生講解利用對稱性計算三重積分時，首先要強調以下兩點，以免張冠李戴：(1)積分區域關于坐標面的對稱性；(2)被積函數在積分區域上的關于三個坐標軸的奇偶性。 然后讓學生計算三重積分：

其中積分區域為：Ω={(x,y,z)|x2+y2+z2≤1|}。通常學生都會利用三重積分的常規方法進行計算，但計算過程復雜而且結果往往有誤。等學生用常規方法做完上述三重積分后向學生提問：有沒有更簡單的其它方法？鼓勵學生積極思考問題，最后分析本題的特征，給出利用對稱性計算方法后再給出正確答案為零。

(三)數學美的統一性

統一與和諧, 是數學美的又一重要特征。數學上的好多結論和公式都可統一為一個比較簡單的形式。數學家希爾伯特曾經指出:“數學是一個有機整體, 它的生命力的一個必要條件是指所有各部分的不可分離的結合。 數學的有機統一, 是這門科學固有的特點, 因為它是一切精確自然科學知識的基礎。”因此，我們可以這樣理解數學的統一性，即統一性是數學發現與創造的重要方法之一。

例如，牛頓—萊布尼茲公式、 格林公式、 高斯公式、 斯托克斯公式這四個微積分學中的重要公式, 都是描述了“區域內”的積分與“區域邊界”上相應積分的統一關系。 通過對這些統一性的理解與掌握，學生可以很清楚地理解積分的本質：即所有的各種積分都是和式的極限。 同時，也給出了各種積分之間的聯系，說明了任何知識點都不是孤立地單獨地存在，而是與其它知識密切相關的。 這樣，通過總結學生就可以站在一定的高度來理解和把握這些內容，從而有整體上駕馭和運用這些知識的能力。

(四)數學美的奇異性

數學的奇異美，是指數學結論或解決問題方法的新穎、奇巧、出乎意料，往往勾起思想上的震動，引起人們的贊賞與嘆服。這種方法當你不理解時感覺在意料之外，但當你理解了之后感覺又在情理之中，從而一旦有新的奇特的方法發現可以解決問題時，往往會給人以喜出望外的感受。例如，在講正項級數：

的收斂性時，為了調動課堂的氣氛，可以給學生提一個相關的正項級數問題：這個級數的特征是什么？答案比較容易，即它的每一項是自相似性，即它的每一項都是自然數的次方。 然后讓學生拿出紙和筆，開始和學生畫一個有趣的圖形——科赫雪花，而與科赫雪花有關的周長和面積則得到兩個相應的正項級數。

它的構造方法如下：(1)任意畫一個正三角形，并把每一邊三等分；(2)取三等分后的一邊中間一段為邊向外作正三角形，并把這“中間一段”擦掉；(3)重復上述兩步，畫出更小的三角形；(4)一直重復，直到無窮，所畫出的曲線叫做科赫曲線。 圖1是這一過程前幾步的圖形：

圖1 科赫雪花構造

上述結果表明，科赫雪花圖形的面積是有限的，但周長卻是無窮大的！這個結果絕對出乎學生的意料，也與我們通常的經驗相矛盾，這就激發了學生的好奇心和求知欲，增加了對正項級數收斂性判別方法的興趣，學習的積極性也會增強。

(五)數學的思維美

我們知道，數學的邏輯思維嚴密，能夠使我們全面考慮問題，從而正確地解決問題。 如果在課堂上講授一些內容之前，先將這些知識的背景和來龍去脈講清楚，使學生能夠充分理解這些知識的意義，就會激發他們積極考慮問題的熱情和興趣，使他們在情感上得到數學美的感受。這樣既加深了學生對知識的了解，培養了他們的學習興趣，又提高了課程的教學效果。 點集拓撲學是一門很抽象的學科， 是建立在一般的距離空間的基礎之上的，所涉及的內容和概念都高度抽象，它推廣了一般距離空間上的諸如連續、收斂、開集、聚點等的相應概念，從而具有更廣泛的適用性和包括性。 為了增加學生對該課程的興趣，讓他們了解該課程的由來及發展，調動他們的學習積極性，可以講一下在拓撲學發展中重要而有趣的哥尼斯堡七橋問題：18世紀在哥尼斯堡城(今俄羅斯加里寧格勒)的普萊格爾河上有7座橋，將河中的兩個島和河岸連結，如圖2(a)所示。 城中的居民經常沿河過橋散步，于是提出了一個問題：能否一次走遍7座橋，而每座橋只許通過一次，最后仍回到起始地點。

這個問題看起來似乎不難，但人們始終沒有能找到答案，最后問題提到了大數學家歐拉那里,歐拉很快證明了這樣的走法不存在。 歐拉是這樣解決問題的：把圖中被河隔開的陸地看成四個點，7座橋表示成7條連接這4個點的線，如圖2(b)所示。

圖2 哥尼斯堡七橋問題

這樣問題可以轉化成從四個點中的任意一個出發，每條線只能走一次，最后回到這一點。 所以從每一點出發的線的條數只能是偶數，而圖中每一點處都只有奇數條線，故不可能。

此時再向學生提問：上述問題的本質特征是什么？經過討論后得出的結論是：所討論問題與圖形的大小、形狀無關，只與圖形的連接關系有關，這也即是點集拓撲學的特征。 經過這一問題的討論，既增加了學生對該課程的興趣，也對本課程的處理問題的方法和特征有了一定的認識和了解。

(六)數學的和諧美

數學是一門嚴謹的學科，對于某些內容，在不同的研究范圍同一個概念和定理的表達形式可能不同，但其本質上卻是一樣的，即不會產生矛盾，它們是和諧統一的。和諧性也是數學美的特征之一。這就要求我們在上課時，在講解一些比較抽象而且不易懂的內容時，可以通過先講解該抽象概念的特殊形式，讓學生理解其本質。最后，再引入新的概念，把新的知識與學生已有的知識統一起來，達到既掌握新知識又復習老知識的目的。

例如，我們已知歐式空間和距離空間都是拓撲空間的特例，而且歐式空間和距離空間的連續性是學生已經熟悉的內容。 這些空間的包含關系如下：

為了講解拓撲空間的連續性這一抽象的概念，我們可以先復習歐式空間和距離空間連續性的定義，然后歸納總結其本質，再給出拓撲空間連續性的定義。 然后分析這三個定義的本質，最后再指出它們本質上是一樣的。

三、結語

在教學過程中，教學效果很大程度上取決于學生的學習積極性，因此如何調動學生的學習積極性是課堂教學的重要目標之一。在課堂教學中，教師如果能利用數學美來培養學生的審美能力，讓他們充分地感受和欣賞數學中的美，就會不斷激發他們的學習興趣。 更重要的是，利用數學美還可啟迪學生思維和開發他們的創造力，例如統一性可對命題作出類比、推廣和引伸，奇異性可激發學生探索和創新精神。總之，在教學過程中教與學是兩個密不可分的過程，如何通過教師的教來調動學生的學習積極性，是學生培養過程當中非常關鍵的一環。 教師若能夠積極挖掘和應用教材中的各種美學因素，使每一節課的內容都豐富多彩并充滿趣味性，就會極大地提高學生的學習積極性和創造力，并提高他們分析問題和解決問題的能力，這與我們教學的根本目的是一致的。