隨機波浪作用下自升式平臺的極值響應估計

許超超，倪 萍，顧 穎，何 軍

(上海交通大學 船舶海洋與建筑工程學院，上海 200240)

作為一種移動式鉆井裝備，自升式海洋平臺在我國海上油氣資源開發中占據著重要地位.在自存和作業工況下，自升式海洋平臺均遭受隨機波浪的作用.平臺運動方程的非線性導致平臺的振動響應往往是非Gaussian分布的隨機過程.由于自升式海洋平臺的可靠性及風險評估是基于平臺的極限狀態進行的，所以確定隨機波浪荷載作用下平臺響應的極值分布，特別是極值分布的尾部(超越概率約為10-5～10-3)，是非常有必要的.基于上述兩個原因，研究隨機波浪荷載作用下自升式海洋平臺的極值響應估計問題，雖然比較困難，但具有非常重要的工程價值.

到目前為止，研究人員已經提出一些結構或海洋平臺的極值響應估計方法.Shinozuka[1]提出簡單結構(如線性結構)極值響應估計的Monte Carlo(MC)模擬方法，但對于非線性結構，MC模擬方法所需的時間較長，且計算精度難以保證.Bucher[2]基于MC模擬方法提出一種漸近抽樣法，該方法僅需較少的樣本數量(幾千個樣本)即可準確地估計線性或非線性結構的極值響應的尾部及微小超越概率.然而，這種漸近關系只對標準正態空間中的極限狀態函數成立，當安全界限發生改變時，需要重新進行抽樣.Luca等[3]采用尾部等價線性化法對一個平穩Guassian波浪過程作用下的自升式海洋平臺進行橫蕩響應分析，結果表明：尾部等效線性化法對海洋結構的平穩響應分析具有良好的適用性；對于具有非平穩響應或高可靠性的結構，尾部等效線性化法的計算精度及效率明顯降低.Balesdent等[4]在Kriging抽樣法的基礎上，提出一種方差縮減的MC模擬方法，工程試驗結果表明，該方法在樣本數量較少時仍有較高的計算精度.文獻[5]假設結構極值響應分布近似服從移位廣義對數正態分布(SGLD)，并結合兩支撐點參數估計法，提出一種估計結構極值響應的加速模擬方法，相比于MC模擬方法，該方法大大提高了計算效率及計算精度.

基于SGLD的極值估計方法已被用于非線性結構的隨機地震響應的極值估計中[5-6].由于自升式海洋平臺運動方程的非線性來源于非線性的波浪力，而不是來源于結構的滯回恢復力，該方法是否適用于隨機波浪作用下自升式海洋平臺的極值響應估計，需要進一步研究.本文通過發展基于SGLD的極值估計方法，提出一種隨機波浪作用下自升式海洋平臺極值響應的估計方法，并通過實際平臺的極值響應分析驗證所提方法的有效性.

1 隨機波浪作用下自升式海洋平臺的運動方程

設O-xyz坐標的z軸垂直向上，x軸垂直紙面向外，y軸水平向右.對于隨機波浪荷載作用下的自升式海洋平臺，其力學模型可簡化為一個單自由度系統，且通常具有類似于結構振動第一振型ψ(z)的整體變形.因此，自升式海洋平臺的隨機振動方程可寫為[7]

(1)

考慮到波浪荷載的隨機特性，需要重點分析平臺隨機振動的極值響應.平臺橫蕩位移的極值響應定義為

(2)

式中：T為平臺振動持時.

對于小尺度海洋結構(D/L≤0.2，D為樁徑，L為入射波波長)，Morison于1950年提出作用在海洋結構物單位長度樁柱上波浪力的計算公式[8]：

(3)

式中：第1項為拖曳力；第2項為慣性力；v(z,t)和a(z,t)分別為水質點的水平速度和加速度；ρ為海水密度；CD為拖曳力系數；CM為慣性力系數.

由式(3)可知，水質點速度項v(z,t)|v(z,t)|使得Morison力表現出非線性的性質.采用隨機等價線性化方法，將式(3)中的速度項作線性化處理，則可得

(4)

式中：σv為v(z,t)的均方差.隨機波浪力的等價線性化表達式為

(5)

當海洋結構位移速度相對于水流速度不可忽略時，Morison方程需做相應修改，修改后的Morison方程可表示為[8]

(6)

(7)

式中：σΔv為Δv的均方差

2 自升式海洋平臺的極值響應分布模型

自升式海洋平臺的非線性性質使得從理論上推導平臺極值響應的精確解變得非常困難，因此需要選擇合適的分布模型來近似估計該平臺的極值響應分布.Low[9]基于移位對數正態分布模型及指數冪分布模型，提出具有4個參數的SGLD模型.對于服從SGLD的隨機變量C，其概率密度函數表達式如下：

(8)

b

式中：s為平臺橫蕩響應位移；b為位置參數；θ為模參數；γ>0,κ>0分別為型參數(雙參數)；系數α的表達式為

(9)

Γ(·)為伽馬函數.由式(8)可得SGLD模型的累積分布函數理論表達式為

(10)

b

式中：

為不完全伽馬函數.

由于SGLD模型綜合了移位對數正態分布及指數冪分布模型在偏態及峰態上的分布特性，在形狀上擁有足夠的靈活性，所以特別適用于近似估計平臺極值響應的分布，尤其是尾部分布.

目前，估計SGLD模型中的4個參數常采用矩方法、最大似然法等方法.但是，這些方法的計算量大且效率不高，對微小首次穿越概率問題的尾部估計不夠準確，并不適用于非線性隨機振動系統.He等[5]提出“兩支撐點參數估計法”用以提高計算效率.該方法的基本思想：由隨機模擬方法估計出兩個較大的超越概率P1≈10-1，P2≈10-2及兩者對應的樣本點s1、s2；在兩個支撐點(s1,P1)和(s2,P2)已知的情況下，分別用1-P1和1-P2替換式(10)中的FC(s)，并用s1、s2替換變量s，得到下列非線性方程組：

(11)

式(10)中的b及θ可由γ及κ確定[9]，故非線性方程組式(11)實際上含有兩個獨立變量γ和κ，可由牛頓迭代法求解，進而得到自升式海洋平臺極值響應的近似SGLD.由于超越概率P1和P2可通過較少的響應樣本進行估計，使得該平臺的極值響應及其尾部分布的估計效率大大提高，加快了隨機模擬的收斂速度.

3 隨機波浪譜和自升式海洋平臺的響應樣本

大量海浪實測記錄統計分析表明：近海結構物所受的隨機波浪力是均值為0的平穩隨機過程.因此對于一般海況，可以認為其波高是服從Gaussian分布的.這里考慮線性長峰波，則η(y,t)為[7]

(12)

式中：εi為相位差；ωi和ki分別為離散頻率和波數，

單位長度樁腿上作用的波浪力q(y,z,t)可以通過修改后的Morison方程計算，代入相應參數后可得

|v(y,z,t)-vleg(y,z,t)|

(13)

式中：v(y,z,t)為y處水質點的水平速度；vleg(z,t)為自升式平臺樁腿的速度，

φ(y,z,t)為波勢.對于線性單向波，位于φ(y,z,t)處水質子的水平速度為[7]

v(y,z,t)=

(14)

vi(y,z,t)=

圖1 平臺響應樣本計算流程圖Fig.1 Calculation flowchart of platform response sample

4 算例分析

4.1 自升式海洋平臺模型及其響應樣本

研究所用自升式海洋平臺為文獻[10]中使用的平臺，其簡化示意圖如圖2所示.假定：d=90 m；平臺主體位于3條具有相同結構的樁腿上，每條樁腿長Lleg=80+35.2=115.2 (m)；考慮單項波流向位于y=0 m處的2條樁腿，上波腿和下波腿間的水平距離Δy=52 m.

圖2 簡化后的自升式海洋鉆井平臺模型(m)Fig.2 Simplified model of jack-up platform model (m)

由于樁腿下部屬于鉸接構造，而上部與船體之間屬于剛接構造，故其基本振型取為[7]

(15)

圖3為y=0 m和y=52 m樁腿處的5個隨機海浪波高樣本；由4階Runge-Kutta法求得的、與這些波高樣本相對應的自升式海洋平臺橫蕩響應樣本如圖4所示.

圖4 5個平臺響應樣本Fig.4 Five platform response samples

4.2 極值響應及超越概率估計

重復上述數值模擬求解過程105次.假設平臺橫蕩的安全界限ζ=3.7 m，則在10萬個樣本容量下得到平臺橫移的超越概率Pf=9×10-5，相應的可靠度指標β=3.745 55.

假設兩個支撐點處的超越概率為P1=10-1，P2=10-2，由 2×103～5×103個極值樣本確定兩個超越概率較大的支撐點(s1,P1)和(s2,P2)，利用兩支撐點參數估計法估計移位廣義對數正態分布模型的4個參數，從而近似得到結構響應極值的尾部分布函數FC(s).平臺橫蕩位移s>ζ表示失效，故超越概率Pf=1-FC(ζ).由基于樣本數N=2×103，3×103，4×103，5×103的SGLD模型獲得的超越概率和直接由MC模擬方法計算得到的超越概率對比如圖5所示.由圖5可見：當ζ≤2.3 m時，MC模擬方法獲得的計算結果與基于SGLD模型得到的近似結果較為吻合；當ζ>2.3 m時，由于樣本容量(2×103～5×103個)太小，MC模擬方法并不能給出合理的超越概率估計值.

圖5 不同N下SGLD模型與MC模擬方法對比Fig.5 The comparison of SGLD model MC simulation method fitting curves at different N

圖6 SGLD模型擬合結果與N=1×105時MC極值分布對比Fig.6 Comparison of SGLD model fitting results and 105 times MC extreme value distribution

5 結論

本文提出一種估計隨機波浪作用下自升式海洋平臺極值響應的加速模擬方法.以某自升式平臺為例，具體論述了該方法的分析流程及平臺響應樣本的計算方法，并驗證了該方法的計算精度和計算效率.研究的主要結論有：

(1) 在估計自升式海洋平臺的極值響應時，本文方法一般只需2×103個響應樣本即可非常準確地估計出超越概率為10-5～10-3的平臺極值響應尾部分布；而直接MC模擬方法則至少需要106個樣本數據，才能粗略估計具有相同超越概率的尾部分布.因此，與直接MC模擬方法相比，本文方法具有很高的計算效率.

(2) 為了得到超越概率介于10-5～10-3的尾部分布，兩個支撐點的超越概率可近似選為P1=10-1，P2=10-2.

(3) 在計算精度大致相同的條件下，如果需要進一步提高本文方法的計算效率，可以采用Sobol抽樣或者拉丁超立方方法來估計兩個支撐點的超越概率.