利用主元變更解題

單和平

數學思想方法是數學的本質，是數學教學的精髓。主元變更思想是近幾年數學解題流行的較重要數學思想。所謂主元變更是對于含字母較多的式子轉換思維角度，選擇另外的字母為主元從而使問題豁然開朗，文章通過近年的教學實踐，系統總結了處理哪些問題可以通過主元變更，如何進行主元變更化難為易。

對于一個含有多個字母的式子、函數或方程，由于思維定勢從表面看我們往往會先入為主，把它當成某一個或兩個字母的常規表達式，這樣解決問題時往往一時無法下手，利用已有的知識捉襟見肘，但是如果我們轉換思維角度，變更主元，即重新選擇其中的一個或兩個字母作為主元，問題的思路就會明晰，問題的本質就會豁然開朗，問題的解決就非常順利，這種思想叫主元變更的思想。

近幾年，該思想的應用在數學競賽和各類考試中屢見不鮮，而這種思想在中學數學教學過程中，往往重視不夠，學生遇到這類問題常常束手無策或用很繁瑣的方法解決，本文結合個人的教學實踐，談談如何利用主元變更解決問題。

1 處理方程問題

上述兩例一個設常數為主元，一個換成另一個字母為主元，目的都是將高次轉化為低次從而易于分解，順利求解。

2 解決有解或整解問題

分析：解決整數解問題一般采用判別式法、韋達定理法、求根法中一種或幾種方法綜合使用，本題這些方法都失效，轉換思維角度，若把

上述兩例直接求解分類較繁，若變更主元則很順利求出參量的范圍，題目迎刃而解。

3 求參數范圍

上述兩例都是函數問題，處理函數問題一般利用其性質解題，但有時若正面處理就會對參數進行繁瑣的討論，如果我們換一個思維角度，把函數視為另一個變量的函數，則豁然開朗，問題很快得到解決。

4 證明不等式或利用不等式處理問題

分析：該題最傳統的證法是構造邊長為1的等邊三角形，用面積法很快得證。我們還可以整理成以為主元的一次函數，即構造

例8.各項均為實數的等差數列，其公差為2，其首項的平方與其余各項的和不超過33，這樣的數列最多有多少項？（2015年南京一中等五校聯考題）

分析：由題意得

上述兩例都與不等式有關，處理多元不等式問題常常選擇一個變量為主元，再利用性質解題往往能事半功倍。

5 求多元函數最值

分析：變量較多且與整數有關，一般先排序，再用不等式放縮，使得變量減少，再選擇主元求解。

上述三例如果不采用主元變更的思想則很難求解，若采用了該思想則問題變得較為簡潔，而且思路一下子打開了。江蘇的高考尤其重視思想方法的考查，特別在填空壓軸題上必有一題是數學思想方法的考查，即思想方法想到了，問題馬上就能解決，否則很難短時間找到其他解法。

新課程標準指出：數學的教學要掌握四基，其中數學思想是中學數學教學的重中之重，因為“題海無邊，總結是岸”，題目隨著高考的研究層出不窮，只有不斷總結有限的數學思想方法才能以不變應萬變，才能在高考中立于不敗之地。

項目名稱：2016-2019年度校級重點課改課題“本科生《數學思維訓練》課程教學內容改革與研究”，課題編號：2016JGA05。

（作者單位：泰州學院數理學院）