高中數學一題多解的重要性解析
——以橢圓為例

■馬林勇

題目橢圓的焦點是F1、F2，橢圓上一點P滿足PF1⊥PF2，下面結論正確的是( )。

A.P點有兩個

B.P點有四個

C.P點不一定存在

D.P點一定不存在

解法一：根據圓的定理，即圓上任意一點與直徑連接所夾的角都為直角，以F1F2為直徑做圓，知圓的半徑r=c=3＜4=b，因此圓與橢圓無交點。故選D。

解法二：應用三角函數中的正切值來判斷角的大小。由題意知當P點在短軸端點處時∠F1PF2最大，設∠F1PF2=2α，則，所以此時∠F1PF2為銳角，與題設矛盾。故選D。

解法三：依據平面向量成直角時的兩個向量相乘為0來判斷是否為直角。設P(5Conθ，4 sinθ)，由PF1⊥PF2，知。而(5Conθ-3，4 sinθ)(5Conθ+3，4 sinθ)=25Con2θ-9+16 sin2θ=0?con2θ=無解。故選D。

解法四：將橢圓知識與三角函數知識相結合求解。設∠PF1F2=θ。假設PF1⊥PF2，則|PF1|+|PF2|=6Conθ+6 sinθ=，而|PF1|+|PF2|=2a=10，即不可能成立。故選D。

解法五：運用三角函數中的余弦定理計算角的大小。

即∠F1PF2≠90°。所以PF1⊥PF2不存在，應選D。

解法六：運用勾股定理與焦半徑定理相結合求解。設P(x0，y0)。由焦半徑知。假設PF1⊥PF2，于是可得，所以。在橢圓中，|x0|≤5，而|x0|=，故假設不成立，故選D。

從這道例題就能充分看出一題多解的重要性，它是同學們學習數學時不可忽視的一個重要“武器”。

1.一題多解可以提高同學們的學習興趣。數學各部分不是各自獨立的，而是相互呼應的。同學們都有自己的強項和弱項，學習時可以充分利用自己掌握的知識去解決新問題，這樣會增強同學們的自信心，慢慢將弱的環節也轉變成自己擅長的模塊。

2.不同的思考角度為同學們帶來的是不斷提高的思維能力及邏輯分析能力，有助于拓寬同學們的解題思路，培養同學們的數學核心素養。

3.將數學知識形成網絡體系。這與同學們總結出的知識網不同，同學們通過一題多解鍛煉出的解決綜合問題的能力，是通過切身體會和理解形成的，而不是通過記憶去形成的。