全國名校導數測試卷（A 卷）

■河南省汝陽縣第一高級中學

一、選擇題

1.函數y=f(x)的圖像如圖1 所示,下列數值排序正確的是( )。

圖1

A.f'(1)＜f'(2)＜f(2)-f(1)

B.f'(1)＜f(2)-f(1)＜f'(2)

C.f'(2)＜f(2)-f(1)＜f'(1)

D.f'(2)＜f'(1)＜f(2)-f(1)

2.曲線y=cosx+ex在x=0處的切線方程是( )。

A.x+y+2=0

B.x-y+2=0

C.x-2y+1=0

D.2x-y+1=0

4.設函數f(x)=alnx+bx2,若函數f(x)的圖像在點(1,1)處的切線與y軸垂直,則實數a+b=( )。

5.對于函數y=ex,曲線y=ex在與坐標軸交點處的切線方程為y=x+1,由于曲線y=ex在切線y=x+1的上方,故有不等式ex≥x+1。類比上述推理：對于函數y=lnx(x＞0),有不等式( )。

A.lnx≤x-1(x＞0)

B.lnx≥x+1(x＞0)

C.lnx≥x-1(x＞0)

D.lnx≤1-x(x＞0)

6.若函數y=f(x)的圖像上存在不同的兩點,使得函數y=f(x)的圖像在這兩點處的切線互相平行,則稱函數y=f(x)具有“同質點”。給出下列四個函數：①y=sinx;②y=ex;③y=x3;④y=lnx。其中具有“同質點”的函數有( )。

A.1個 B.2個

C.3個 D.4個

A.(1,+∞) B.[1,+∞)

C.(1,2) D.[1,2]

9.已知實數a,b滿足a2-3lna-b=0,c∈R,則(a-c)2+(b+c)2的最小值為( )。

10.已 知f(x)= (lnx)2-,恰有3個不同零點,則a的值為( )。

12.已知曲線f(x)=2lnx+ax2+bx在點(1,f(1))處的切線方程為y=x-3,則函數f(x)的零點所在的大致區間為( )。

13.關于x的方程kx=sinx(k∈(0,1))在(-3π,3π)內有且僅有5個根,設最大的根是α,則α與tanα的大小關系是( )。

A.α＞tanαB.α＜tanα

C.α=tanαD.以上都不對

14.若f(x)+3f(-x)=x3+2x+1對x∈R 恒成立,則曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為( )。

A.5x+2y-5=0

B.10x+4y-5=0

C.5x+4y=0

D.20x-4y-15=0

15.過點P(2,-6)作曲線f(x)=x3-3x的切線,則切線方程為( )。

A.3x+y=0或24x-y-54=0

B.3x-y=0或24x-y-54=0

C.3x+y=0或24x-y+54=0

D.24x-y-54=0

A.(e2,+∞) B.(1,+∞)

C.(1,e2) D.(0,1)

18.已知函數f(x)=ex+x2+lnx與函數g(x)=e-x+2x2-ax的圖像上存在關于y軸對稱的點,則實數a的取值范圍為( )。

19.已知函數f(x) =若函數g(x)=f(x)-ax+a存在零點,則實數a的取值范圍為( )。

20.設函數y=ax2與函數y=的圖像恰有3個不同的交點,則實數a的取值范圍為( )。

21.設點P,Q分別是曲線y=xe-x(e是自然對數的底數)和直線y=x+3 上的動點,則P,Q兩點間距離的最小值為( )。

22.已知y=f(x)(x∈R)存在導函數,若f(x)既是周期函數又是奇函數,則其導函數( )。

A.既是周期函數又是奇函數

B.既是周期函數又是偶函數

C.不是周期函數但是奇函數

D.不是周期函數但是偶函數

23.設點P在曲線y=lnx上,點Q在曲線上,點R在直線y=x上,則|PR|+|RQ|的最小值為( )。

24.已知函數f(x)=x3+mx2+(m+6)x+1既存在極大值又存在極小值,則實數m的取值范圍是( )。

A.(-1,2)

B.(-∞,-3)∪(6,+∞)

C.(-3,6)

D.(-∞,-1)∪(2,+∞)

25.如圖2,可導函數y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線方程為y=g(x),設h(x)=g(x)-f(x),h'(x)為h(x)的導函數,則下列結論中正確的是( )。

圖2

A.h'(x0)=0,x0是h(x)的極大值點

B.h'(x0)=0,x0是h(x)的極小值點

C.h'(x0)≠0,x0不是h(x)的極值點

D.h'(x0)≠0,x0是h(x)是的極值點

26.下列函數中,既是奇函數又存在極值的是( )。

27.設f(x),g(x)分別是定義在R 上的奇函數和偶函數,且f'(x),g'(x)分別是f(x),g(x)的導數,當x＜0時,f'(x)g(x)+f(x)g'(x)＞0 且g(6)=0,則不等式f(x)g(x)＜0的解集是( )。

A.(-6,0)∪(6,+∞)

B.(-6,0)∪(0,6)

C.(-∞,-6)∪(0,6)

D.(-∞,-6)∪(6,+∞)

28.設定義在R 上的函數f x（）的導函數為f'(x),若f(x)+f'(x)＞2,f(0)=2 020,則不等式exf(x)＞2ex+2 018(其中e為自然對數的底數)的解集為( )。

A.(0,+∞)

B.(2 018,+∞)

C.(2 020,+∞)

D.(-∞,0)∪(2 018,+∞)

30.設a=sin 1,b=2sin,c=3sin則( )。

A.a＜b＜cB.a＜c＜b

C.c＜a＜bD.c＜b＜a

31.已知函數f(x)=ex(x-aex)恰好有兩個極值點,則a的取值范圍是( )。

32.已知函數f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零點x0,且x0＞0,則實數a的取值范圍是( )。

A.(1,+∞) B.(2,+∞)

C.(-∞,-1) D.(-∞,-2)

33.已知f(x)=x+1,g(x)=lnx,若f(x1)=g(x2),則x2-x1的最小值為( )。

A.1 B.2

C.2-ln 2 D.2+ln 2

34.已知函數f(x)=x2·e-x,g(x)=,若?x1∈(0,+∞),?x2∈[1,3],使f(x1)=g(x2)成立,則c的取值范圍是( )。

35.已知,若存在α∈M,β∈N,使|α-β|＜n,則稱函數f(x)與g(x)互為“n度零點函數”。若f(x)=32-x-1與g(x)=x2-aex互為“1度零點函數”,則實數a的取值范圍為( )。

二、填空題

37.圖3是函數y=f(x)的導函數y=f'(x)的圖像,給出下列命題：

圖3

①-3 是函數y=f(x)的極值點;

②-1是函數y=f(x)的最小值點;

③y=f(x)在x=0處切線的斜率小于零;

④y=f(x)在區間(-3,1)上單調遞增。

則正確命題的序號是____。

38.函數f(x)=-x2+ax-lnx(a∈R)。則“函數f(x)既有極大值又有極小值”的充要條件為_____。

39.若函數f(x)=(lnx-ax)lnx-x2存在三個不同零點,則實數a的取值范圍是____。

40.已知函數y=ex上任意一點P(x0,),在P點處的切線l1交x軸于點A,l2過點P且l1⊥l2,l2與x軸交于點B,則線段AB的長度的取值范圍為____。

42.設函數f(x)是定義在(-∞,0)上的可導函數,其導函數為f'(x),且有3f(x)+xf'(x)＞0,則不等式(x+2 019)3f(x+2 019)+27f(-3)＞0的解集是____。

46.函數f(x)=(x2-x-1)ex(其中e=2.718…是自然對數的底數)的極值點是____;極大值=____。

47.設f(x)與g(x)是定義在同一區間[a,b]上的兩個函數,若函數y=f(x)-g(x)在x∈[a,b]上有兩個不同的零點,則稱f(x)和g(x)在[a,b]上是“關聯函數”,區間[a,b]稱為“關聯區間”。若f(x)=xlnx與在[1,3]上是“關聯函數”,則實數m的取值范圍是_____。

48.要設計一個容積為π 的下端為圓柱形、上端為半球形的密閉儲油罐,已知圓柱側面的單位面積造價是下底面積的單位面積造價的一半,而頂部半球面的單位面積造價又是圓柱側面的單位面積造價的一半,儲油罐的下部圓柱的底面半徑R=_____時,造價最低。

49.將一邊長為a的正方形鐵片的四角截去四個邊長均為x的小正方形,然后做成一個無蓋的方盒,當x等于____時,方盒的容積最大。

51.函數f(x)的定義域和值域均為(0,+∞),f(x)的導數為f'(x),且2f(x)＜f'(x)＜3f(x),則的范圍是____。

52.已知函數f(x)=3x3-2x+ex-其中e 是自然對數的底數,若f(a)+f(a2-2)＜0,則實數a的取值范圍是____。

53.若函數f(x)=kx-ex有零點,則k的取值范圍為____。

54.已知函數f(x)=ex-ax有兩個零點x1,x2,則下列判斷：①a＜e;②x1+x2＜2;③x1·x2＞1;④有極小值點x0,且x1+x2＜2x0。則正確判斷的個數是____。

55.形如f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的函數,其圖像對稱中心為M(x0,f(x0)),記函數f(x)的導函數為f'(x),f'(x)的導函數為f″(x),則有f″(x0)=0。若函數f(x)=x3-3x2+1,則

三、解答題

57.已知a＞0,函數f(x)=xlnxax+1+a(x-1)2,g(x)=

(1)求g(x)的單調區間;

(2)討論f(x)零點的個數。

58.已知f(x)=ax-1-xlnx(a∈R)。

(1)若f(x)≤0恒成立,求a的取值范圍;

(2)證明：當x＞1時

(1)求f(x)的單調區間;

(1)試比較2 0182019與2 0192018的大小,并說明理由;

(2)若函數g(x)=f(x)-k有兩個不同的零點x1,x2,證明：x1·x2＞e2。

61.已知函數f(x)=ln(x+1)。

(1)設y=g(x)是函數f(x)在(0,0)處的切線,證明：f(x)≤g(x);

62.已知函數f(x)=e1-x(-a+cosx),a∈R 。

(1)若函數f(x)在[0,π]內存在單調遞增區間,求實數a的取值范圍;

63.已知函數f(x)=x2(6lnx-4x+6a-3)有兩個極值點。

(1)求a的取值范圍;

(2)設x1,x2(x1＜x2)是f(x)的兩個極值點,證明