以紙為媒：明慧課程的數學實踐

陸軍

摘要：“紙的世界”是以紙為媒介，以操作探究為手段，以思維發展為目的的特色課程。它打破了操作和思維的界限，讓動手做與用腦想得以有機融合。“紙的世界”特色課程開發關注數學學科特點以及兒童認知規律，注重趣味性、探究性、文化性，其課堂實施主要包括問題驅動、操作探究、意義建構和深化拓展等環節。

關鍵詞：紙的世界明慧課程操作探究思維發展

明慧課程是明道課程的三大板塊之一，以“涵養智慧”為核心理念，從人文智慧、數理智慧、科技智慧三個維度創生。其中，“紙的世界”特色課程作為數理智慧課程的一部分，以日常生活中常見的紙為依托，以問題解決、探究發現為主要學習方式，著力培養學生的數學思維品質。

一、“紙的世界”特色課程的教學價值

“紙的世界”特色課程與數學課程相關，建立在相應數學學科內容基礎上。它創造性地以紙為媒介，通過涂畫、折疊、旋轉等活動，幫助學生深化數學理解、探索數學規律，進而提升數學思維品質。這樣的活動使操作和思考深度聯姻，讓學生用操作支撐思考，用思考指導操作。具體說來，“紙的世界”特色課程的教學價值體現在如下三個方面：

（一）“做中學”得以落地

美國教育家杜威首先在《民主主義與教育》一書中提出了“在做中學”的理念，這一理念一經提出便產生了廣泛的影響。在杜威的影響下，陶行知先生提出了“教學做合一”的觀點，這一觀點對于當時乃至現今的教育教學都具有重要的意義。事實上，動手操作既是學生思維的外顯，又是促進學生思維的重要手段。我們開發的“紙的世界”24個課程資源都以動手操作為活動主線，讓學生通過涂一涂、折一折、轉一轉來實現數學理解和規律探索。可以說，“紙的世界”特色課程讓“做中學”得以落地。

（二）“想起來”真正發生

鄭毓信教授認為，我們應由幫助學生“學會數學地思維”轉向“通過數學學會思維”，即應當幫助學生逐步學會更清晰、更深入、更全面、更合理地思考，包括由理性思維逐步走向理性精神。“紙的世界”特色課程不是美術課，也不是手工課，而是數學綜合實踐課。它不是讓學生成為一個熟練的操作工，而是引導學生通過操作領會數學的意義。該課程的操作探究是基于任務的，“動腦想”是課程的靈魂。

（三）“一起學”成為現實

“紙的世界”特色課程實施大多采用合作學習的方式。這一方面是知識學習的內在需要，課程設置的開放性問題，需要集體性思維;另一方面是操作學習的外在要求，很多操作僅憑個人很難完成，需要合理分工、合作完成。該特色課程讓“一起學”成為現實。

二、“紙的世界”特色課程的內容開發

“紙的世界”特色課程是以紙為媒介和載體，以動手作為手段，以思維品質提升為目的的課程。我們以“紙的世界”為研究主題，明確了課程背景、課程目標、課程內容、課時安排，擬定了課程綱要，邊開發、邊實施、邊改進，取得了一定的成效。

（一）內容設置

課程每個年級設置4個研究主題，一共24個主題：

一年級：圖形大家族、探秘平面圖形、神奇的紙圈、有趣的正方形。

二年級：有趣的巧板、走進角的世界、有趣的紙盒、好玩的折紙。

三年級：奇妙的剪紙、多彩的分數條、決勝24點、神奇的周長。

四年級：圖形的密鋪、揭秘特殊三角形、神奇的莫比烏斯帶、紙飛機的研究。

五年級：究竟有多高、加法中的運算定律、數格點算面積、探秘七巧板。

六年級：巧做無蓋長方體、卷紙的秘密、奇妙的五角星、面動成體我來玩。

古德萊德認為“課程”應該劃分為五個層次，即五種不同的課程形態：“理想的課程”“正式的課程”“領悟或理解的課程”“運作的課程”“經驗的課程”。“紙的世界”特色課程如何成為一個可運作的課程，并且成為學生經驗的課程，很大程度上取決于課程的可操作性，它應該成為教師的實踐藍圖。“紙的世界”特色課程每一課時的內容設置包括如下六個方面：活動主題、適合年級、活動背景、活動準備、活動過程、資料鏈接。無論是活動所需要的材料準備，還是課程實施的主要環節，抑或課后相應的知識拓展，“紙的世界”特色課程都做了較為細致的安排。

（二）內容特征

1.趣味性。“知之者不如好之者，好之者不如樂之者。”好奇貪玩是孩子的本性，“紙的世界”特色課程契合學生特點，開發了各種充滿趣味性的活動主題，在折、拼、畫、做等活動中積累活動經驗，發展數學思維。從“紙的世界”課程資源的主題名稱中就能夠發現這種趣味性，如“奇妙的剪紙”“神奇的莫比烏斯帶”“有趣的巧板”“面動成體我來玩”等。

2.探究性。首先，“紙的世界”每一課時的課程資源都充滿探究的意味，如“究竟有多高”“卷紙的秘密”“探秘七巧板”“紙飛機的研究”等;其次，課程目標追求也在其中有所呈現，如“神奇的紙圈”就是探究如何撕（剪）紙使得紙的長度最長，再如“卷紙的秘密”就是探索怎么卷紙形成的圓柱體體積最大。

3.文化性。呂林海教授將數學理解性學習的發展層級界定為經驗性理解、形式化理解、結構化理解以及文化性理解。“紙的世界”特色課程也一直在追尋文化性。其一，能夠將數學史的內容融入課程之中，如“探秘七巧板”，介紹了七巧板的起源;“數格點算面積”，介紹了皮格是怎么發現格點與面積之間的關系的。其二，將數學與其他學科有機融合，如“奇妙的剪紙”與美術相聯系，讓學生體會對稱之美、簡約之美;“有趣的巧板”與語文學科相聯系，用七巧板擺出成語故事、寓言故事等。

三、“紙的世界”特色課程的課堂實施

“紙的世界”特色課程的課堂實施主要有四個環節，即以開放性問題為引擎，以操作探究為手段，以意義建構為目標，以深化拓展為延伸。這四個環節既彼此獨立，又相互關聯，既有一定的階段性，又不截然分離。下面以《巧做無蓋長方體》一課為例談談“紙的世界”特色課程的課堂實施。

（一）問題驅動

張奠宙先生曾經提出，數學教育的四條特有原則是數學化、適度形式化、問題驅動、提煉數學思想方法。足見問題驅動的重要性。哈爾莫斯也認為，問題是數學的心臟。“紙的世界”特色課程的課堂實施也是以問題貫穿課堂的始終，既有統領全課的核心問題，也有引領環節的關鍵性問題。《巧做無蓋長方體》一課，在課堂伊始就提出了一個既有開放性又有挑戰性的問題：制作一個無蓋的長方體需要幾張長方形紙？

（二）操作探究

學生思維的過程應該遵循從動作性思維到表象性思維，再到形式化思維的過程。因此，動手操作理應是學生思維的基礎，具有不可替代的作用。不過，我們不能為操作而操作，使學生成為機械的操作工。更為關鍵的是，我們要通過操作引導學生去探究數學的秘密。這一秘密當然要由學生自主獲得。《巧做無蓋長方體》分別讓學生用五張長方形紙、三張長方形紙、兩張長方形紙、一張長方形紙制作一個無蓋長方體。學生在制作的過程中不斷探索邊與邊、面與面之間的關系。在三張長方形紙的研究（見圖1）中，教師追問：除了長12厘米、寬6厘米的小長方形可以與上面的大長方形可以做成無蓋長方體，其他規格的長方形可以嗎？學生在探究中發現，只要小長方形的三條邊之和與大長方形的長或者寬相等就可以了，變與不變的哲學思想由此展露無遺。

（三）意義建構

建構主義認為，知識不是通過教師傳授的，而是學習者在一定的情境即社會文化背景下，借助其他人（包括教師和學習伙伴）的幫助，利用必要的學習資料，通過意義建構的方式而獲得。所要建構的意義包括：事物的性質、規律以及事物之間的內在聯系。《巧做無蓋長方體》一課就是學生利用教師提供的材料，操作、思考、對話、分享，進而尋找制作成無蓋長方體的各長方形之間的內在聯系。如利用一張長方形紙制作無蓋長方體，學生就通過剪、折、移、拼等手段，發現了邊的內在規定性，進而形成多種制作方法（見圖2—下頁圖5）。

（四）深化拓展

學生的學習是一個持續不斷、循序漸進的過程。一堂課的結束并不意味著學生的探究畫上了句號。學生理應帶著問題走進課堂，帶著更多的問題走出課堂。在“紙的世界”特色課程課堂實施的最后環節，我們總是留給學生問題，或者引導學生提出新的問題，進而讓探索走出課堂，走進更廣闊的世界。這些問題可以是對課堂探究的再深化，也可以是學生即將面臨的新挑戰。如《巧做無蓋長方體》一課，我們設計了如下的課堂結尾：“用一張長方形紙做一個無蓋的長方體，是不是任意尺寸的長方形都可以采用上述四種方法？如果把一張長方形紙卷一卷又可以得到怎樣的立體圖形呢？”這些問題有的引發了學生的認知沖突，有的則開啟了學生新的探究歷程。

綜上，“紙的世界”特色課程充分尊重了數學學科的特點和學生的認知規律。教師創造性地開發和實施課程，學生則依托支架性素材，主動探究、積極思考、合作交流，深度學習得以真正發生。

參考文獻：

[1] 呂林海.數學理解性學習與教學：文化的視角[M].北京：教育科學出版社，2013.

[2] 鄭毓信.為學生思維發展而教[J].小學教學（數學版），2017（5）.

[3] 張奠宙.數學教育經緯[M].南京：江蘇教育出版社，2003.

[4] 陶行知.陶行知教育文選[M].北京：教育科學出版社，1981.專題研究【編者按】“用教材教”，首先需要讀懂教材、讀透教材。在此基礎上，則要基于學情，創造性地開發教材、運用教材。本期《專題研究》欄目，一起來看陸軍老師和姜華老師對小學數學教材的解讀與開發。