可分離變量微分方程教學再設計①

董艷

(陜西鐵路工程職業技術學院 陜西西安 714000)

1 教學內容分析

可分離變量微分方程是常微分方程中的一種重要類型，學好它對于后續知識的掌握起著關鍵作用。本節課是建立在上節課微分方程概念的基礎上的，因此課前首先借助卡片排序法復習6個概念；其次以名為“蛟龍號”的案例作為課堂引入；接著設置一系列前后銜接的問題，主要通過引導法展開新課講解；再次以解題的邏輯思維為抓手，借助藍墨云進行例題講解；再接著是課堂練習-觸類旁通環節，在此環節中設置“旋轉木馬”的活動，達到學生對知識掌握的目的；接下來是乘勝追擊環節，設置“大家一起來找茬”這個活動，目的是讓學生從細節著手，找到問題的易錯點，熟練掌握本節課的內容；有了前面的鋪墊，課前案例的解答已是得心應手，因此在課程結束之前對此案例進行求解，并對其結果進行分析，在分析中，聯系到了“大國工匠”精神，升華了課堂主題，從課程思政的角度達到了教書育人的目的；為了鞏固課堂內容和拓展知識，課后布置了兩道思考題，以藍墨云實時監控課后延伸環節；最后是課堂小結和課堂評價，課堂評價采取多種評價方式，有效地保障了課堂效果。

2 教學重難點（及措施）

2.1 教學重點

（1）可分離變量微分方程的一般形式。

（2）可分離變量微分方程的求解方法。

2.2 教學難點

利用三步走的方法求解可分離變量微分方程的能力。

2.3 重、難點突破措施

2.3.1 創設情境，案例驅動

通過視頻觀看案例，巧遇實際問題時該如何作答，提出疑問，激發學生學習欲望，從而引出本節課的教學重點，學生自發地深入學習本節課的重點。

2.3.2 分析嚴密，逐層推進

通過對可分離變量微分方程的一般形式的分析，自然過渡到它的求解方法上，自然銜接；創設問題，邏輯性強。

2.3.3 雙活動驅動，攻克難點

設置旋轉木馬活動時，要求兩組學生形成內外兩圈，互相查找問題糾錯，查漏補缺，直至找到正確的做題思路，期間老師作為旁觀者主要任務是歸納學生的問題，最后進行點評和補充，對于同類型問題尋找規律，便于學生自己糾錯，提高做題效率。

設置大家一起來找茬活動時，要求一組做其中的一個題目，然后老師隨機找一個學生的答案（一般是老師觀察做的不是很好的學生）作為大家“找茬”的對象，期間每答對一個給學生加分，但是給小組實行扣分措施，加減分通過藍墨云進行，這樣一榮俱榮，一損俱損，提高學生的責任意識，培養集體主義精神。

3 課程教學創新點

（1）以卡片排序法作為復習手段，快速建立學生邏輯思維能力。

（2）以科技前沿的“蛟龍號”最為課堂引入案例，培養學生愛國主義情懷。

（3）設置“旋轉木馬”和“大家一起來”課堂活動組織形式，實現以學生為中心的教學理念。

（4）將“大國工匠”精神作為案例小結的延申點，將思政融入課堂，達到教書育人的目的。

4 教學過程

4.1 復習舊知

同學們好！本節課我們要學習的內容是可分離變量的微分方程。首先復習一下上節課的內容，那上節課我們學習的內容是什么呢？（可分離變量的微分方程），那好，我將上節課的概念制作成了卡片的形式，現在我的手中有6張卡片，請大家以小組為單位對這6張卡片按照邏輯先后順序進行排序，并將排序的結果擺放在桌面上，要求1min之內完成。好，現在開始。如果哪個隊確定已經完成，請舉手示意，我們給先完成的組加1分。

接下來我將這6張卡片隨機分發給幾名學生，當我回顧到這個概念時，請拿到相應卡片的同學幫我們解釋下。

4.2 課堂引入

本節課將以一個案例作為課堂引入重點學習它的一般形式和求解方法。首先來看一段視頻：（播放視頻）

近日，歷時15個月完成技術升級的蛟龍號在青島國家深海基地管理中心亮相，它是我國載人深潛歷程中的一個重要里程碑！蛟龍號計劃于2020年也就是明年的6月份到2021年6月執行環球航次。此刻，我們由衷地感嘆到：厲害了，我的國！讓我們也預祝這次環球航行圓滿成功！接下來看一個具體問題：（讀題）

現在請同學們以小組為單位在組長的帶領下探討一下這個問題該如何解決呢？完了之后請一名同學談下他們小組的思路。

4.3 新課講解

好！這就是一個可分離變量的微分方程，究竟什么是可分離變量微分方程呢？顧名思義, 可分離變量微分方程就是變量可以分離的微分方程，那么在常微分方程中，變量有幾個呢？（兩個），分別是：x和y,自變量和因變量，注意：我并沒有說x和y，因為并不排除這兩個變量用其它字母替代，比如剛才這個案例中，自變量是誰，因變量是誰，變量可以分離意味著自變量和因變量可以分離，究竟怎么個分離法？接下來我們來看下它的一般形式：可分離變量微分方程的一般形式為：讓我們來分析下這個式子：首先來看等號右邊，對于f(x),大家比較熟悉，它是關于x的一個一元函數，可是g(y)是什么意思呢，在這里y是x的函數，外層的g也是一個函數，那么相當于一個函數g里面又套了一個函數，那么g(y)就是關于x的一個復合函數（學生回答），再來看等號的左邊，dy/dx是什么意思呢？學生回答：是y對x的導數，對，它是導數也就是y撇，注意：在這里，dy/dx除了可以看成一個整體表示y對x的導數之外，它還有另外一層身份，就是表示兩項之商，也就是y的微分與x的微分之商，正因為它的這層身份才保證了y與x可以做變量分離，也就是將f(y)與dy寫到一起，f(x)與dx放到一起，這樣以來，可分離變量的一般形式就可以恒等變形為：，分離變量之后然后怎么做呢？接下來我們來看下它的求解方法：可分離變量微分方程求解分三步走：第一步：分離變量，第二步：兩邊積分，只需在第一步的基礎上兩邊各添一個不定積分號即可。最后，求出這兩個積分即得通解為：G(y)=F(x)+C,其中G(y)，F(x)分別為1/g(y)，f(x)的一個原函數，那么最后一句話告訴我們，

從第一步到第二步做起來很容易，可是要做證明并不簡單，在這里我們只來驗證下G(y)=F(x)+C是否為原方程的通解呢？

4.4 課堂舉例

接下來看一個具體的例子：它是一個可分離變量微分方程嗎？是，那么f(x)是誰呢？g(y)呢？好！認清楚形式之后，接下來按照它的求解方法分幾步走。三步.第一步：分離變量，其中d(y)和誰結合呢？那f(x)自然就和6x結合，第二步兩邊積分和第三步求出積分均采取在教師的引導下學生回答的形式進行。

4.5 課堂練習

課堂練習部分，首先讓學生在限定的時間內獨立完成這三道題目，其次讓學生離開座位來做一個旋轉木馬的活動，兩個小組圍成內外兩個圈，然后讓內圈的學生面對外圈的學生，兩人一組進行對照學習，互相糾錯，找到自己的問題，然后讓外圈學生順時針旋轉，內圈學生逆時針旋轉，再相互交流互相對照過程和答案找到自己的問題當場糾正，這個時候老師應該加入進來但是不要打擾學生只是傾聽，待活動結束后：

好！現在同學們各自回自己的座位，通過剛才的互相找問題階段，我了解到大家存在的問題主要有以下幾個方面：（1）不會積分；（2）不是指數對數之間的互化，雖然這兩個知識都是以前學習的內容，但是現在有所遺忘，應該重新撿拾起來存在的第三個問題是有的同學兩邊同時出現加C，如果兩邊加常數，一個用C1，另一個用C2表示，但是我們最后把所有能和C1C2合并的常數都合并為右邊一個C上去，第四個問題是有同學加上對數后面加了絕對值，我們說這里應該加上絕對值，只是因為絕對值若能化簡的話，出現的正負號就和常數C合并了，因此，以后在求解常微分方程時，若出現了ln的原函數形式，在最終結果能化簡的情況下，絕對值可以去掉，不會影響結果。但是這里注意，最后的結果中必須不含有ln才可以這么做。

4.6 乘勝追擊

首先讓學生觀察，第一個問題的g(y)是1要求第一小組做第一個題，第二個小組做第二個題目，這個問題大家在做的時候遇到問題可以討論，此環節采取大家一起來找茬的形式進行，首先教師在藍墨云中分好組，建立上傳任務，學生做完之后隨機抽取每個小組的一名學生作為上傳的對象，然后所有同學一起來找問題，每找到一個問題小組每個成員扣一，找到問題的同學加兩分。

4.7 案例求解

案例的問題求解和前面乘勝追擊的其中一個問題很像，因此案例的求解勢在必得。對案例求解目的是對整個下潛過程實行精細化管理，這正是我們現在提倡的精益求精的“大國工匠”精神的體現。正所謂“工于形，匠于心，十年磨一劍，一劍傳古今”。

課堂思政在案例求解中自然形成，潤物細無聲，達到了教書育人的目的。

4.8 課堂小結

課堂小結采取問答式，課堂氣氛融為一體，重難點重現，加深學生印象，使課堂內容形成一個有機整體，板書、學生、老師渾然一體。

5 課堂評價

5.1 學生對課堂評價

（1）通過藍墨云發起兩個課堂評價任務

選擇題：你認為本節課的上課效果如何？

A．好 B.很好 C.一般 D.不好 E.我沒好好聽，所以不做評價。

答疑/討論題：談談本節課給你印象最深的是哪個環節，為什么？

5.2 教師對學生的評價

（1）通過各小組利用資源平臺課前復習回顧微分方程的概念以及觀看本節課視頻情況給予一定的個人分數，主要看學生對以往知識的掌握熟練程度和對以往知識的歸納總結能力。

（2）以小組為單位“捆綁式”的評分方式，以上課各個環節小組的表現最終評出積分最高的組，課下在藍墨云中給該組的每名學生課堂表現加分。

（3）在“大家一起來找茬”實行個人加分與小組扣分相結合。

（4）在課下思考題目的效果評價中，采取藍墨云答疑討論以及上傳任務的方式給與打分評價計入到個人經驗值中。

（5）將課堂所得的經驗值作為學生期末考試平時成績的主要來源。