基于微孔參數優化的超流體陀螺噪聲抑制方法

鄭 睿，余 童，程龍閱

（1.安徽師范大學 物理與電子信息學院，蕪湖 241002；2.安徽省智能機器人信息融合與控制工程實驗室，蕪湖 241000）

陀螺儀的精度直接影響慣性導航系統的精度[1-3]。基于薩格納克干涉效應，物質波干涉式陀螺儀是新型的超高精度的陀螺儀[4-5]。超流體陀螺是物質波干涉式陀螺儀的一種，其測量精度預期可達10-10rad/(s?Hz1/2)的數量級，將來可以應用于航天、宇航、深海探測等領域[6-9]。

陀螺儀的精度與其噪聲有密切相關的聯系。研究表明，在不考慮環境干擾的情況下，超流體陀螺內部存在熱能量、薄膜位移檢測系統的誤差等噪聲源，引起其輸出端產生數量級為 10-8～10-7rad/(s?Hz1/2)的近似白噪聲[10]，這嚴重影響了超流體陀螺的測量精度，因此需要開展超流體陀螺噪聲抑制的方法研究。

超流體物質波是基于超流體在弱連接處發生約瑟夫森效應而產生的。因而在超流體陀螺的結構中，存在很多的微孔組成的微孔陣列，這也被稱為弱連接。Sato等[11]在實驗中發現，隨著微孔孔徑、微孔數量等參數的變化，超流體陀螺的噪聲也發生了變化。由此可以表明改變微孔參數可以抑制超流體陀螺的噪聲。但是，當前對于該問題的認識仍處于實驗階段，微孔參數與超流體陀螺噪聲之間的數學模型尚不清楚[6]。

本文在分析了超流體陀螺噪聲的基礎上，構建微孔參數與超流體陀螺噪聲之間的數學模型，提出基于微孔參數優化的超流體陀螺噪聲抑制方法，從改變陀螺結構參數的角度對其噪聲進行抑制，從而挖掘超流體陀螺高測量精度的潛力。

1 超流體陀螺的噪聲分析

超流體陀螺的結構如圖1所示，是由圖中虛線內的超流體干涉儀、溫度控制系統、化學勢能差驅動系統、位移檢測系統、幅值控制系統構成的。其中超流體干涉儀是敏感角速度的核心部件，其它是輔助超流體干涉儀工作系統。

圖1 超流體陀螺結構圖Fig.1 Structure of superfluid gyroscope

圖1中，超流體干涉儀中虛線所示的環形腔內充滿超流體4He，“×”的位置表示數千個微孔組成的陣列，當微孔孔徑d滿足如式(1)所示的關系時為弱連接[6]。

式中，4ξ表示弱連接的臨界孔徑，T表示當前溫度，λT≈2.1716K表示超流體4He的臨界溫度。利用熱阻1加熱，弱連接兩側產生溫度差和壓力差，由此產生化學勢能差。在化學勢能差的作用下，超流體在弱連接處發生約瑟夫森效應，產生兩路超流體物質波（若微孔孔徑d不滿足式(1)，此時微孔陣列是強連接，則不能在化學勢能差的作用下發生約瑟夫森效應）。這兩路物質波可以表示為：

式中，I1和I2為流過1號弱連接和2號弱連接的超流體的質量流量，Ic1和Ic2分別為I1和I2的幅值，Δφ1和Δφ2表示兩個弱連接兩側的相位差。

根據圖1可以看出，總流量I是I1和I2的疊加，因此總流量將同樣以正弦變化，其幅值Im為[6]：

式中，Δφe= Δφ1- Δφ2表示超流體相移，它由薩格納克相移Δφs（角速度矢量 引起）和熱相移Δφh（熱阻2的加熱引起）共同組成[6]：

由式(3)(4)可知，外界角速度變化會引起超流體相移變化，從而使得超流體流量變化。因此檢測超流體流量即可測量角速度，這就是超流體陀螺測量角速度的原理。由于超流體的約瑟夫森效應會引起薄膜位移變化，因此薄膜位移也呈現正弦變化，其幅值xm為：

式中，fJ為約瑟夫森頻率，ρ為超流體密度，Ad為薄膜表面積。

根據文獻[10]的研究，熱能量、溫度控制系統的輸出波動、化學勢能差驅動系統的輸出波動、幅值控制系統的誤差、位移檢測系統的噪聲是超流體陀螺噪聲的主要來源。而對超流體陀螺影響最大的是位移檢測系統的噪聲，因此位移檢測系統的噪聲被視為超流體陀螺的主要噪聲源。

設位移檢測系統噪聲為δxmn，由式(4)和式(5)可知，角速度測量值Ωd與xm之間存在著非線性關系，利用非線性隨機變量方差的求解方法，由δxmn引起dΩ的噪聲Ωdn為：

由式(4)(6)可得，超流體陀螺的噪聲Ωdn為：

根據通用的參數[10]，超流體陀螺的噪聲為10-8～10-7rad/(s?Hz1/2)的數量級。超流體陀螺預期的測量精度是可以達到10-10rad/(s?Hz1/2)數量級的。因此輸出噪聲較高，使得其高測量精度的潛力不能發揮，這是超流體陀螺需解決的主要問題。

2 微孔參數與超流體陀螺噪聲之間的數學模型

圖2 弱連接處微孔陣列的示意圖Fig.2 Aperture arrays at the weak link

由圖2可以看出，微孔孔徑越大、微孔數量越多，就可使得Ic越大，從而抑制超流體陀螺噪聲。但由于微孔參數與超流體陀螺噪聲之間的定量關系還不清楚，因此本文首先研究微孔孔徑d以及微孔數量N與超流體流量幅值Ic的關系，構建微孔參數與超流體陀螺噪聲之間的數學模型，在此基礎上進一步研究抑制的效果。

2.1 微孔孔徑與微孔流量幅值之間的關系

由于超流體流過單一微孔的速度幅值vc為[6]：

式中，κ4=h/m4，h是普朗克常數，m4是4He原子質量。那么流過單一微孔的超流體質量流量幅值Ic0為：

式中，ρs表示超流體中超流性成分的密度，a表示微孔面積。式(9)表示出微孔孔徑與微孔流量幅值之間的關系。

為了使得Ic變大，單一微孔中的Ic0也應該變大，由式(9)可知，微孔孔徑d應取最大值。由式(1)可知，d的最大值dmax=ξ4。把微孔孔徑用其最大值代替，由式(9)可得：

式(10)表明，當微孔孔徑取最大值時，可以使得Ic0達到最大值。

2.2 微孔數量與微孔流量幅值之間的關系

在弱連接兩側存在化學勢能差的情況下，超流體在弱連接處的每個微孔處發生約瑟夫森效應：

式中，I(1),I(2),…,I(N)表示流過1號微孔、2號微孔、N號微孔的超流體的質量流量；Δφ(1),Δφ(2),…,Δφ(N)表示每個微孔兩側的超流體相位差。

由圖2可知，流過1號弱連接的流量I1是由流過所有微孔的流量之和，即

但在超流體陀螺中，熱噪聲始終存在。受到熱噪聲影響，Δφ(1),Δφ(2),…,Δφ(N)上面疊加了白噪聲，因此它們是相互獨立的隨機變量。為精確研究Ic與N的關系，必須考慮熱噪聲的影響。

因此利用復數表示式(12)中各正弦量，比如，Icsin(Δφ)表示為Ic∠Δφ，Ic0sin(Δφ(1))表示為那么式(12)的復數形式為：

根據復數的運算知識，式(13)等號左邊復數的模為Ic，為計算式(13)等號右邊所描述的復數的模，對式(13)等號右邊所描述的復數采用代數式表示：

式中，j表示復數算子(j2=-1)。式(13)等號左右兩邊的復數的模應相等，因此由式(14)可得：

式(16)表示微孔數量與Ic之間的關系。由式(16)可以看出，Ic隨著N的增大而增大。

2.3 微孔參數與陀螺噪聲之間數學模型的構建

基于上述研究，把式(9)(16)代入式(7)可得，超流體陀螺噪聲與微孔孔徑、微孔數量之間的關系為：

由式(17)可知，隨著微孔孔徑和微孔數量的增加，超流體陀螺輸出噪聲將逐漸減少，因此增大微孔孔徑和微孔數量對超流體陀螺的噪聲有抑制效果。

根據式(10)可知，微孔孔徑的最優值是其最大值ξ4。由于超流體陀螺的管路受到尺寸的限制[12]，因此微孔數量也是要受到限制的，設其最優值也是其最大值，設為Nmax。把微孔陣列參數的最優值代入式(17)，可得此時超流體陀螺的噪聲達到最小值Ωdn(min)為：

式(18)是微孔陣列參數取最優值時，超流體陀螺噪聲的數學模型。

3 仿真與分析

為驗證基于微孔參數優化的超流體陀螺噪聲抑制方法的有效性，利用超流體陀螺仿真實驗平臺，開展實驗與分析。首先分析微孔參數的變化范圍，研究在微孔參數的變化范圍陀螺噪聲的變化規律；接著選擇輸入為典型的角速度，在取通用微孔參數和最優微孔參數兩種情況下，分別對角速度測量值誤差進行分析。

3.1 仿真實驗平臺

超流體陀螺仿真實驗平臺的結構如圖3所示。在該實驗平臺中，基于大量的實驗數據，在計算機上模擬超流體干涉儀的工作過程，這部分的主要環節包括熱驅動模塊、熱相移輸入模塊、角速度敏感模塊和薄膜位移產生模塊等幾個部分。超流體陀螺的相移控制系統則由硬件實現，包括角速度信息提取模塊、高精度反饋熱相移處理電路和熱相移控制電路等部分。實驗平臺中各部分之間的關聯如圖3中箭頭指向所示。

圖3 超流體陀螺仿真實驗平臺結構框圖Fig.3 Structure of superfluid gyroscope simulation experimental platform

3.2 微孔參數變化范圍內噪聲的變化規律

基于上述實驗平臺，實驗的基本參數設置為：

① 微孔孔徑[6]：取工作溫度為T=2.1712K，根據式(1)可知在該溫度下dmax=95 nm。另外，由于微孔孔徑最小可以為 50 nm，因此設置微孔孔徑的變化范圍為50 nm到95 nm。

② 微孔數量：弱連接處的微孔必須大于一定數量，否則流過弱連接的超流體流量較少，使得薄膜位移過小而無法被檢測到。當前微孔數量最小為 2500個。受到超流體管路尺寸的限制，微孔的數量也不能很大，當前報道的微孔數量最多為5625個[6]。

除了微孔參數，其它相關參數設置為：

③ 結構參數[6]：超流體管路半徑Rc=2×10-2m,θ= 0，薄膜面積為Ad=5×10-5m2。

④ 工作參數[6]：工作溫度為T=2.1712K，約瑟夫森頻率為fJ=1000 Hz，超流體相移Δφe的鎖定值設置為π/2，系統的測量帶寬為1000 Hz。

⑤ 噪聲源[10]：位移檢測系統噪聲δxmn=10-15m/Hz1/2；

基于上述參數，根據式(17)可得在微孔孔徑和微孔數量的變化范圍內，超流體陀螺的噪聲變化規律如圖4所示。

由圖4可以看出，隨著微孔數量由2500增加到5625，微孔孔徑由50 nm增加到95 nm，超流體陀螺的噪聲從超流體陀螺的噪聲由6.3×10-7rad/(s?Hz1/2)逐漸減小為7.7×10-8rad/(s?Hz1/2)，因此超流體陀螺的噪聲呈現逐漸下降的趨勢。由此表明增大微孔孔徑和增加微孔數量可以有效抑制超流體陀螺噪聲。因此為抑制超流體噪聲，微孔孔徑和微孔數量應盡可能取較大的值。

圖4 微孔陣列參數對超流體噪聲的影響曲線Fig.4 Curve of Influence on superfluid gyroscope noise with aperture array parameters

3.3 兩種典型輸入角速度情況下噪聲的抑制效果

為進一步研究微孔陣列對超流體陀螺噪聲的抑制效果，在兩種典型輸入角速度情況下，取通用微孔參數和最優微孔參數，觀察超流體陀螺的噪聲情況。實驗參數設置為：

① 通用微孔參數：根據3.2節的研究可知，微孔孔徑的變化范圍為50 nm到95 nm微孔數量的變化范圍為2500到5625。在國內外的研究中，最為常見的一組參數是：微孔孔徑為70 nm，微孔數量為4225，如文獻[8]、文獻[10]和文獻[11]都選擇的是這組數值，因此本文把這組參數稱為通用微孔參數。微孔孔徑為70 nm，微孔數量為4225；

② 最優微孔參數：根據上文分析可知，微孔孔徑取最大值95 nm，微孔數量取最大值5625，這時的微孔參數達到最優；

③ 輸入角速度Ω設置為兩種典型的類型：第一種是恒定角速度，Ω=2×10-6rad/s；第二種是正弦輸入，Ω=2×10-5sin(2πt) rad/s。仿真時間為 1 s。

④ 其它參數同3.2節中的設置。

根據上述參數模擬超流體陀螺的工作過程，可得兩種典型輸入角速度情況下角速度測量值、角速度測量值的誤差如圖5～8所示。

由圖5可知，角速度恒定的情況下：超流體陀螺輸出的角速度測量值存在隨機波動的噪聲。而取最優微孔參數時，噪聲波動的幅度要小于取通用微孔參數時。進一步由圖6中的數據精確分析可知，取通用微孔參數時，角速度測量值誤差的標準偏差為5.7×10-8rad/(s?Hz1/2)，由于統計時間是 1s，此時超流體陀螺的噪聲是5.7×10-8rad/(s?Hz1/2)；取最優微孔陣列參數時，角速度測量值誤差的標準偏差為 2.8×10-8rad/(s?Hz1/2)，在1 s的統計時間下，超流體陀螺的噪聲為 2.8×10-8rad/(s?Hz1/2)，是取通用微孔陣列參數時的約1/2。

圖5 角速度測量值（角速度恒定）Fig.5 Curve of superfluid gyroscope detecting value(the angular velocity is constant)

圖6 角速度測量值的誤差（角速度恒定）Fig.6 Curve of superfluid gyroscope detecting value error (the angular velocity is constant)

由圖7可知，角速度正弦變化的情況下，超流體陀螺輸出的角速度測量值在正弦變化的基礎上疊加了隨機噪聲。同樣，取最優微孔參數時，噪聲波動的幅度要小于取通用微孔參數時。由圖8中的數據分析可知，由于此時的角速度是時變的，通過超流體陀螺仿真實驗平臺的解算，角速度測量值誤差的標準偏差比測量恒定角速度時要大一些，約為9.2×10-8rad/(s?Hz1/2)。在1 s的統計時間里，超流體陀螺的噪聲為 9.2×10-8rad/(s?Hz1/2)。采用最優微孔陣列參數，角速度測量值誤差的標準偏差約為4.7×10-8rad/(s?Hz1/2)。在1 s的統計時間內，超流體陀螺的噪聲為4.7×10-8rad/(s?Hz1/2)，也是取通用微孔陣列參數時的約1/2。

圖7 角速度測量值（角速度正弦變化）Fig.7 Curve of superfluid gyroscope detecting value (the angular velocity is sinusoidal change)

圖8 角速度測量值的誤差（角速度正弦變化）Fig.8 Curve of superfluid gyroscope detecting value error(the angular velocity is sinusoidal change)

根據以上分析可知，采用最優微孔陣列參數，在角速度恒定和角速度時變兩種典型情況下，超流體陀螺的噪聲得到了有效抑制。

4 結 論

為了使得超流體陀螺能發揮其高測量精度的潛力，提出了基于微孔參數優化的超流體陀螺噪聲抑制方法。由分析結果可知，隨著微孔孔徑和微孔數量的增加，超流體陀螺的噪聲逐漸減小。

微孔孔徑最大只能達到弱連接的臨界孔徑。受到超流體管路尺寸的限制，微孔數量也只能在一定范圍之內。通過對微孔參數變化范圍的研究，當前最優的陣列參數是：微孔孔徑為95 nm，微孔數量為5625。基于最優微孔參數，超流體陀螺的噪聲被抑制為取通用參數（微孔孔徑為70 nm，微孔數量為4225）時的1/2，超流體陀螺的測量精度得到了顯著提高。