基于橡膠等效動態模量的慣導減振裝置設計方法

楊盛林，羋小龍，王曉丹，李德春,3，劉 偉，劉 旭

（1.天津航海儀器研究所，天津 300131；2.海軍裝備部，北京 100841；3.中船重工集團有限公司航海保障技術實驗室，天津 300131 ）

為提升慣性導航系統在諸如艦船作戰時的大沖擊載荷、陸用車輛高速行進中的長時間顛振以及飛機、導彈飛行過程中的高頻振動等各種惡劣環境中的適應性，一方面通過模態分析方法優化慣導系統結構[1]；另一重要方面是為其加裝減振裝置，以提高慣導系統適應范圍的廣度和深度，改善慣性元件的工作條件，保證系統穩定的輸出精度。

橡膠減振裝置具有體積小、重量輕、設計靈活度高以及低成本等諸多優勢，現已被廣泛采用。橡膠減振器作為橡膠減振裝置的重要減振元件其數學模型和力學性能研究還不太充分和深入。近年來，許多專家學者針對減振器用橡膠材料的力學特性進行分析研究。宓寶江等人[2]提出了一套超彈性材料模型的本構方程和材料系數擬合方法，但是該數學模型只能進行靜力學分析，無法模擬減振裝置在振動條件下的整體響應。馬詠梅、黃巍等人[3]給出了基于試驗方法將非扭轉橡膠減振器等效為一維彈簧模型的剛度與彈性模量之間的換算關系。高軍強[4]和Tu Yongqiang[5]等人分別定量分析了橡膠減振器對捷聯系統和雙軸平臺系統輸出的影響。Abrahammsson、Arsla M E和Abdur R等人[6-8]利用有限元方法對含有橡膠減振器的減振裝置進行了仿真分析。而Gong Dao[9]和Zeynali Keyvan[10]等人曾通過試驗方法來擬合減振器的動態公式。綜上，對于橡膠減振裝置的主要減振元件--橡膠減振器的研究主要有兩類：試驗和仿真。傳統的研究方法就是基于試驗測試的結果對減振裝置進行改進，這樣會使結構設計成本增加，周期延長。隨著計算機軟硬件的迅猛發展，基于仿真分析的研究方法被廣泛采用，然而，大部分的仿真分析模型是將橡膠減振器簡化為彈簧-阻尼單元，該模型雖然簡單直接，但是無法將減振器幾何形狀、預緊力以及與結構件的配合關系反映到模型中，勢必會對模型的精度產生影響。

為此，本文針對橡膠減振裝置的設計和應用需求，通過試驗擬合和理論推導相結合的方式構建了包含幾何形狀、預緊力和結構件配合關系的橡膠動態彈性模量數值計算經驗公式，形成了一套適合于分析橡膠減振裝置性能的數學仿真模型，總結出一套切實可行的橡膠減振裝置設計方法，實現了仿真數字化分析指導橡膠減振裝置設計的目標。

1 橡膠減振裝置理論建模

1.1 橡膠減振裝置數學模型構建

橡膠屬于超彈性近似不可壓縮體，基于應變能密度函數的本構理論是描述這種材料特性的有效理論之一，如式(1)所示：

式中：U是應變能密度函數；N是項數；Cij和Di分別為橡膠材料的剪切特性和可壓縮性；Jel是彈性體積比；I1和I2分別是第一、第二偏應變不變量。

從式(1)的復雜度可以看出，由于該公式的建立需要大量的試驗數據支撐，而現實工程應用過程中很難對采購的橡膠膠塊進行多項力學測試，該公式并不適合于工程分析，需要構建更加簡化并且高效的數學模型。

研究證明，拉伸狀態下，橡膠材料先軟化再硬化；壓縮狀態時，材料急劇硬化，且呈線性，顯示出與拉伸不同的力學狀態。橡膠材料制成減振器時為了提高其承載能力和線性度，通常情況下為受壓狀態。而橡膠材料在預壓力的作用下變硬，其等效動態彈性模量會發生變化。對于橡膠材料在受壓狀態下的小變形彈性行為，可通過三維數字仿真分析平臺上帶有預應力的模態分析模型來構建橡膠減振裝置的數學模型，即首先進行非線性的靜態橡膠受壓分析，然后對含有內應力計算結果的三維模型進行動力學分析。

在該數學模型中，結構形式、減振器布置方式、負載重量、減振器幾何尺寸等對減振裝置動力學響應有影響的因素都可以直接反映在三維實體模型之中。然而，變化的等效動態彈性模量卻是未知數，需結合橡膠材料硬度、減振器與結構件的配合程度、減振器的預緊位移等因素構建關系式間接反映到減振裝置的數學模型中。因此，構建橡膠等效動態彈性模量關系式是決定減振裝置數學模型準確與否的關鍵因素。

1.2 橡膠減振裝置測試試驗

對于橡膠等效動態彈性模量關系式的構建首先需要進行大量試驗，本文中選取了硬度、配合方式、膠塊約束方式、負載重量完全不同的兩套結構進行試驗測試，并用來與理論推導公式進行數據擬合。

圖1 橡膠減振裝置A和橡膠減振器幾何尺寸Fig.1 Rubber damping device A and its physical dimension

圖2 橡膠減振裝置B和橡膠減振器幾何尺寸Fig.2 Rubber damping device B and its physical dimension

由于橡膠減振器形式多種多樣，本文選擇自主設計程度最高且制作周期最短的T型橡膠減振器作為研究對象。第一種橡膠減振裝置結構如圖1（左）所示，在被減振設備（重約4 kg）四個角處設計上下安裝的四對橡膠減振器，其幾何尺寸見圖1（右）所示。第二種橡膠減振裝置結構如圖2（左）所示，被減振設備重約10 kg，四個角點上下安裝四對橡膠減振器，幾何尺寸見圖2（右）。裝置A分別選取了30度、40度和55度三種不同邵氏硬度（HA）的T型橡膠減振器進行測試，而裝置B分別選取了30度、40度和60度。以上幾種邵氏硬度的T型橡膠減振器基本可以覆蓋工程化應用。

表1列出了橡膠減振裝置A和B的試驗測試數據，根據表中所列數據可以看出裝置A的共振頻率隨著橡膠的邵氏硬度增加而快速升高；然而裝置B的共振頻率雖然與橡膠邵氏硬度也成正比例關系，但是變化幅度與裝置A相差甚大。這說明橡膠邵氏硬度不是影響減振裝置動力學特性的唯一因素，橡膠減振器的幾何尺寸、與結構件的配合關系、預緊力以及負載重量等因素都有密切關系。

表1 膠減振裝置A和B的試驗測試結果Tab.1 Test results of rubber damping device A & B

1.3 橡膠減振器等效彈性模量經驗公式構建

在已有的靜態彈性模量關系式中引入動力影響系數并體現上節中提到的影響減振裝置動力學響應因素。

文獻[1]給出了橡膠初始（靜態）彈性模量與邵氏硬度之間的經驗公式：

式中：HA為橡膠的邵氏硬度；E0為橡膠初始彈性模量。

根據表1的試驗測試結果分析可知，橡膠減振器的邵氏硬度、橡膠減振器的幾何尺寸以及與結構件的配合關系等因素對減振裝置的動力學響應都起著顯著影響。參考應變能密度的表達公式以及減振器等效剛度參數的計算方法，給出動力影響系數KG（與幾何形狀 Geometry相關）和KP（與橡膠受力程度 Pressure相關）的表達式。

動力影響系數KG與橡膠膠塊的幾何形狀有直接關系，可用式(3)表示：

式中：A1表示橡膠膠塊總的表面積大小；A2為橡膠膠塊允許自由變形的表面積大小。

該項參數意味著，當橡膠受來自一個方向的壓力P，則由于材料本身的不可壓縮屬性勢必會使橡膠朝另外兩個方向釋放變形。橡膠受限運動的表面比例越大，則會使橡膠變形釋放不完全，積聚在內部的變形能越大，則橡膠剛度越大。

圖3中A、B、C、D四幅圖顯示了T型橡膠減振器的主要約束形式。其中黑色輪廓線表示未受力的自由狀態，而粉紅色輪廓線表示受力之后的狀態。P表示來自結構件給橡膠施加的預應力。用橡膠總面積除以自由面積則表示橡膠形變能轉化為動力能量的程度。其中裝置A的橡膠減振器屬于圖3中的A型；裝置B的橡膠減振器屬于圖3中的B型。

圖3 T型橡膠減振器受力的四種基本形式Fig.3 Four basic types of applied forces on T-type rubber damper

動力影響系數KP是與橡膠膠塊的預緊量以及橡膠膠塊與減振支架的裝配過盈量來定義的：

式中：Δh是橡膠所受預緊量；h為受預緊量作用后的總高度；A是受過盈影響的總的截面積；ΔA為受過盈量影響的截面積改變量（如圖3中A型所示）。

通過初步推導，可以將上述兩項動力學影響系數KG和KP與初始彈性模量E0相乘，既可以得到等效動力學彈性模量E t1，如式(5)所示：

表2列出了A和B兩套減振裝置中對應的不同邵氏硬度的橡膠減振器初始靜態彈性模量E0和等效動力學彈性模量Et1。

然而，將Et1的對應數值代入到減振裝置A和B的數學模型中進行仿真計算，發現所得的諧振頻率f（見表2中所列數據）在低邵氏硬度范圍內遠遠大于實際測試結果（見表1中所列數據），而高邵氏硬度范圍內又比較接近或者略低于實際測試結果，說明式(5)給出的等效動力學彈性模量沒有完全反映出兩套減振裝置不同的動力學響應趨勢，需要進一步修正。在此，引入動力影響系數KM（與橡膠本身材料Material屬性相關），如式(6)所示：

表2 兩種減振裝置的等效動力學彈性模量Tab.2 Equivalent dynamic elastic modulus of two rubber damping devices

得到等效動力學彈性模量Et2：

將通過式(2)得到的靜態彈性模量、式(2)～(5)得到的等效動力學彈性模量Et1以及式(2)～(4)(6)(7)得到的修正過的動力學彈性模量Et2計算得到的結果均列在表3中進行對比。修正過的Et2公式可以有效改善靜態彈性模量偏柔以及解決Et1無法覆蓋兩套減振裝置不同的動力學響應趨勢的問題。

表3 隨邵氏硬度改變的等效動力學彈性模量Tab.3 Equivalent dynamic elastic Modulus with hardness changing

圖4顯示了初始靜態彈性模量E0和等效動力學彈性模量Et1以及修正的動力學彈性模量Et2與橡膠邵氏硬度之間的變化關系（動力影響系數KG和KP取值來自裝置A）。

圖4 邵氏硬度與等效彈性模量關系示意圖Fig.4 Relationship between hardness and elastic modulus

從圖4中可以看出等效動力學彈性模量Et1通過引入動力影響系數KG和KP可有效將橡膠所受約束和與結構件的配合關系等影響因素引入到計算模型之中，將等效動力學彈性模量數值提高，即橡膠所受的約束和預緊會使橡膠變硬。而在此基礎上引入動力影響系數KM所得到的修正后的等效動力學彈性模量Et2可以真實反映出邵氏硬度對動力學響應變化趨勢的影響。因此，式(2)～(4)(6)(7)構成了T型橡膠減振器的等效動力學彈性模量的經驗公式。利用Et2得到仿真數值解與試驗測試值的對比結果，見表4。

其中，符合度P定義為：

表4 試驗測試結果與數值計算結果的對比Tab.4 Test results and simulation results

表4中仿真值與試驗值之間的符合精度均大于80%，準確程度高。本文提出的橡膠減振裝置的數學模型將高度非線性材料利用經驗公式等價為線性分析方法，將原來無從下手的減振器動力學仿真分析變為可能，同時還提高了求解精度和效率。

2 慣性導航設備的橡膠減振裝置設計方法

利用本文提出的橡膠材料的等效動力學彈性模量經驗公式，結合減振裝置數學模型的構建方法，橡膠減振裝置設計采用下述方法進行：

① 根據被減振慣性設備的重量、重心位置以及所對應的力學環境計算目標共振頻率f0；

② 慣性設備減振器的分布盡量空間對稱。根據輸入條件，確定減振器設計大致方案以及橡膠膠塊的大概布置形式；

③ 預先給定膠塊幾何參數和裝配關系，進而利用式(3)(4)確定KG和KP。

④ 將常用的邵氏硬度參數帶入到式(2)(6)中，確定E0和KM。

⑤ 利用式(7)得出Et2，與泊松比一起帶入到減振裝置數學模型中進行仿真計算。將計算得到的f與設計目標共振頻率f0相對比。如果不相同可以從材料邵氏硬度、幾何形式和裝配關系以及橡膠布置形式等四個方面進行微調，最終得出最佳方案，并將與目標要求最接近的模型完善設計細節，最終出圖投產。

需要特別指出的是，在橡膠減振器裝配完成以后，由于新采購的橡膠塊存在著不穩定的力學性質，需要對橡膠減振器進行多次重復的加-卸載試驗循環以后才能保證橡膠減振器在與之加-卸載相同的力學環境中E0的穩定性。因此，在橡膠減振裝置交付使用之前須對其分別進行不低于 5次的加-卸載試驗以及實際試驗條件的力學環境試驗以保證橡膠減振裝置處于穩定的狀態。同時應該注意的是，應該對每塊T型橡膠減振器進行標記，保證每塊橡膠減振器在每次加-卸載過程中安裝位置的一致性。

3 橡膠減振裝置振動試驗驗證

為了驗證本文所提出的橡膠減振裝置數學模型以及設計方法的正確性，現有一重量約為4 kg，目標共振頻率為50 Hz的減振裝置的設計輸入，根據上述設計方法，設計了一套三點上下支撐的橡膠減振裝置C，見圖5所示，其橡膠減振器約束形式為圖3中的D型。利用經驗公式計算得到的等效彈性模量以及仿真和試驗值的對比見表5所示。

通過表5中列出的試驗測試值和仿真數值解對比的符合精度遠遠大于80%，數值模型能夠滿足工程化分析需要，可以指導橡膠減振裝置的設計。

從表5中的數據可以看出，裝置C配置30度的T型橡膠減振器可以滿足設計輸入的需求。將裝配了30度橡膠減振器的裝置C進行實際系統測試，在實際測試環境中，系統精度滿足使用要求。

圖5 減振裝置C和減振器幾何尺寸Fig.5 Rubber shock absorber C and physical dimension of rubber damper

表5 裝置C的材料參數和數值/試驗結果Tab.5 Elastic modulus of rubber damper in device C and test/simulation results

圖6 減振裝置C的系統測試試驗Fig.6 The system test of device C

因此，利用本文所提出的橡膠減振裝置數學模型可準確估計減振裝置的動力學響應，基于本文提出的設計方法可有效縮短設備研制周期。

4 結 論

為了使慣導系統適應小尺寸、大動態、強沖擊等惡劣力學環境，提高系統適應性，對慣導系統加裝的減振器必須有清晰的認知并且盡量縮短設計周期以達到快速響應市場需求的能力。本文基于等效動力學彈性模量公式構建了可靠的工程化橡膠減振裝置數學模型；基于此模型，總結出切實可行的橡膠減振裝置的設計方法。對利用該方法指導設計的數學模型和實物進行了仿真和試驗測試。從將近90%的數學模型符合精度以及慣導系統在各項力學環境測試中的良好表現可以得出以下結論：

① 經過數值與試驗對比驗證，本文所提出的橡膠邵氏硬度與等效動力學彈性模量的經驗公式是具有可靠性和高效性的橡膠材料參數等價公式；

② 基于橡膠材料的等效動力學彈性模量所構建的含有非線性應力的預應力模態分析數學模型能給出準確的橡膠減振裝置的動力學響應分析結果；

③ 基于本文提出的數學模型，所提出的減振裝置的設計方法具有很強的可操作性，可大幅度縮短橡膠減振裝置的研制周期、降低研制成本，提升慣性系統的耐振、抗沖環境適應性。