硅微諧振加速度計的模態分析與實驗

張秀麗，何曉飛,，尹永剛，方政翔，韓豐田

（1.北京交通大學 機械與電子控制工程學院，北京 100044；2.清華大學 精密儀器系，北京 100084）

硅微諧振加速度計因其精度高、體積小、功耗低以及能夠實現準數字化輸出的特點[1]，成為國內外高性能微機電加速度計的研究熱點之一。美國Draper實驗室是最早研制成功硅微諧振加速度計的單位之一，報道的樣機性能已達到戰略級精度水平[2]。國內從21世紀初開始對硅微諧振加速度計開展了持續研究[3-6]，報道的樣機性能已展現出高精度的潛力。

目前，與硅微諧振加速度計結構相關的文獻中，研究重點是低溫漂、高靈敏度器件結構的設計及參數優化，噪聲分析以及樣機的性能測試結果等，對其結構設計中諧振器振動模態的選取及其理論依據均提及較少或未提及。有少部分文獻曾介紹過硅微諧振加速度計的振動模態[7]，但僅是進行了概述或仿真分析，還缺乏對不同振動模態下的加速度計性能進行深入的分析比較和實驗驗證。在結構設計時，諧振器振動模態的選取是設計者需要考慮的關鍵因素之一。選取的振動模態不同，諧振器所呈現的振動特性也不同[8-9]。

本文采用理論建模、仿真分析以及實驗驗證的方法，對比分析了一種典型的硅微諧振加速度計結構在不同振動模態下所呈現出的特性，有助于指導硅微諧振加速度計的敏感結構與驅動方案設計。

1 模態分析

典型的硅微諧振加速度計是由兩部分完全相同的對稱結構構成，其工作原理為：當外界沿敏感軸方向（x軸）有加速度輸入時，一側結構中的諧振器受拉力而使諧振頻率增加，另一側結構中的諧振器受壓力而使諧振頻率減小，通過測量兩個諧振頻率的差值可反映外界輸入加速度的大小和極性。圖1給出了沿y軸對稱的加速度計結構中的右側結構示意圖。

圖1 諧振加速度計結構示意圖Fig.1 Schematic of the resonant accelerometer structure

圖1中藍色虛線框內為諧振器，諧振器由耦合梁、振梁、連接梁、梳齒組成。其中上下兩根振梁通過耦合梁連接，與振梁相比，耦合梁的梁寬大、長度小，設計的耦合梁剛度遠大于振梁剛度，可將其視為剛體。因此，諧振器沿豎直方向（y軸）可簡化為三自由度振動模型，如圖2所示。

圖2 諧振器簡化振動模型Fig.2 Simplified vibration model of the resonator

對圖2模型使用剛度法建立運動微分方程如下：

式中，

m0為連接梁和耦合梁的等效質量，meq為振梁的等效質量，k0為連接梁和耦合梁在豎直方向上的等效剛度，keq為振梁的等效剛度，和y分別為諧振器振動時的加速度矢量和位移矢量。

驅動振梁做簡諧運動時，其運動方程為：

由式(1)(2)解得上述諧振器模型的特征頻率為：

式中，b=k0meq+keqm0+2keqmeqarcsinθ。

從式(4)可看出，諧振器簡諧振動時，系統有三個主要模態，其中：ω1為振梁的特征頻率，對應反相振動模態，其振型如圖3(a)所示；ω2略小于ω1對應同相振動模態，其振型如圖3(b)所示；ω3遠大于振梁特征頻率，其振型不唯一。當諧振器尺寸變化時，ω3的振型隨之變化，故不可作為硅微諧振加速度計結構設計時的選用模態。同相和反相振動模態均能夠以特定的振型來反映諧振器的振動情況，可以作為結構設計時的選用模態，因此下面對其進行重點分析。

圖3 反相和同相振動模態示意圖Fig.3 Schematic of anti-phase and in-phase vibration modes

當振梁被施加x軸向力F時，振梁在同相模態和反相振動模態下的角頻率如下：

將式(5)進行泰勒展開并忽略高階項后，可得兩種模態所對應的諧振頻率：

將F=Mg代入式(6)，即可分別得出兩種模態所對應加速度計的標度因數。標度因數是硅微諧振加速度計結構設計時需考慮的關鍵性能之一，將兩模態對應的標度因數作差，可得到同一個硅微諧振加速度計在不同工作模態下的標度因數差值與諧振頻率差值間的關系模型：

其中，S為標度因數，M為檢測質量塊的質量，E為硅的楊氏模量，I為振梁的轉動慣量。從式(7)中可以看出，對于同一硅微諧振加速度計，其同相模態和反相模態所對應標度因數的差值與諧振頻率的差值呈線性關系。對同一硅微諧振加速度計結構，其M、E、I為定值，通過改變連接梁梁寬來改變兩種模態諧振頻率間的差值進行ANSYS仿真，可以得到兩模態所對應標度因數差值與諧振頻率差值間的關系，如圖4所示。

顯見，圖4中兩個模態下的標度因數間差值與諧振頻率間差值近似為線性關系，與式(7)的模型預測基本一致。

圖4 仿真的標度因數差值隨諧振頻率差值變化Fig.4 Simulated scale factor varies with the difference of resonant frequency

2 能量分布分析與實驗

當諧振器在同相模態振動時，如圖3(b)所示，兩根振梁的振動方向相同，諧振時振梁的振動幅值較大，對質量塊施加有力的作用，使檢測質量在豎直方向上運動，從而分擔部分振動能量。因此，同相模態振動時能量分布主要包括振梁振動、阻尼消耗、質量塊運動三個部分。

諧振器反相模態振動如圖3(a)所示，兩根振梁振動方向相反，作用于質量塊上的力相互抵消，由于檢測質量不產生相對運動，故不分擔能量。此時，系統能量分布主要有兩方面，即振梁振動和阻尼消耗兩部分。

對于微機電加速度計而言，阻尼消耗能量的大小主要受真空度制約[10]，而用于實驗的樣機真空度目前已經達到較高水平（小于0.1 Pa）。因此，阻尼消耗的能量極小，可認為一個振動周期內兩種振動模態下阻尼消耗的能量差別不大。

兩種振動模態下，單根振梁振動一個周期所存儲的能量可表示為：

其中，T為振梁振動周期，Psinωt為靜電激勵力，yi和ya分別為同相與反相振動模態下振梁的振動位移。

在圖1所示結構中，當振梁諧振時，質量塊在豎直方向的振幅主要受三部分剛度影響，即杠桿錨點梁彎曲剛度，連接梁彎曲剛度以及支撐梁沿豎直方向的剛度。三部分的剛度計算公式如下：

式中，t為結構厚度，wa和la分別為杠桿錨點梁寬度和長度，wl和ll分別為連接梁寬度和長度，wss和lss分別為支撐梁寬度和長度，wsc和lsc分別為支撐梁連接處寬度和長度。

得到三部分共同作用下的總剛度為：

兩根振梁在諧振狀態下對檢測質量施加的合力為：

檢測質量等效的位移為：

檢測質量振動一個周期所需能量為：

硅微諧振加速度計的品質因數Q表示一個振動周期內，諧振器存儲能量與消耗能量的比值。同一結構在兩種振動模態下，阻尼消耗的能量基本相同，當輸入驅動電壓相同即提供相同的能量時，兩種振動模態下，品質因數與振梁振動一個周期所存儲能量間的關系應滿足下式：

由式(8)(14)可以得到相同驅動力下，兩種振動模態的品質因數與振梁振幅之間的關系如下：

即同一硅微諧振加速度計在同相、反相兩種振動模態下，品質因數比值等于振梁振動位移比值。

從能量分布來看，同相振動模態下引起檢測質量振動會分擔部分能量，在外界供能相同的情況下，同相振動模態下振梁振動幅值應小于反相振動模態下的振梁振動幅值，且兩振動模態下能量分布滿足下式：

即檢測質量振動一個周期所分擔能量的大小等于兩振動模態下兩根振梁振動一個周期所存儲能量的差值。

為了驗證上述結論，對所設計的硅微諧振加速度計結構在相同驅動力下進行模態仿真和實驗研究。將同一加速度計樣機分別連接在同相模態和反相模態穩幅控制電路中，設定相同的驅動電壓，利用動態信號分析儀在諧振頻率附近（1 Hz范圍內）進行開環掃頻測試。將掃頻數據轉換為振梁振幅，得到兩種模態下的實驗曲線。將該驅動電壓轉換為等效靜電力后，用ANSYS軟件在樣機結構諧振頻率附近（1 Hz范圍內）進行頻率-振幅分析。通過仿真和實驗得到兩種模態下振梁振幅如圖5所示。

由圖5可以看出，同相振動模態下振梁振幅最大值的仿真值和實驗值分別為4.07×10-2μm和3.92×10-2μm，反相振動模態下振梁最大振幅分別為 8.2×10-2μm 和7.86×10-2μm，將其代入式(8)(13)中可以得到兩振動模態下各部分能量的仿真值和實驗值，如表1所示。

圖5 兩種模態下的振梁振幅比較Fig.5 Comparison on vibration amplitudes of resonant beams operating at two modes

表1 兩種振動模態下各部分能量的仿真和實驗結果Tab.1 Simulated and experimental energy for two vibration modes

由表1可以看出，各部分能量的仿真值和實驗值具有較好的一致性，根據式(16)，檢測質量振動一個周期所分擔能量的大小應等于兩振動模態下兩根振梁振動一個周期所存儲能量的差值，而從表中數據可以看出兩者具有3.5%的差異，分析表明二者的差異主要來源于工藝誤差導致剛度計算用的設計參數與樣機實際結構參數不完全一致。

3 噪聲分析與實驗

加速度計的頻率噪聲主要由三部分組成，即非線性振動噪聲fn1、頻率測量噪聲fn2以及與振幅無關的噪聲fn3。噪聲計算公式如下[11]：

其中，K3為非線性剛度系數，σ(Am)為閉環后振幅的標準差，aVF為輸入電壓與驅動力之間的轉換系數，B為阻尼系數，Vi為輸入驅動電壓，E(Vc)為實驗儀器本身的測量噪聲，E(Vo)為輸出信號噪聲功率譜密度，Keσ(Vc)為與頻率計相關參數。

總體噪聲可表示為：式中，fn3包括機械熱噪聲、儀器噪聲、地基噪聲以及諧振時結構產生不穩定振動引起的噪聲。由于兩種振動模態實驗均在相同環境條件下進行，且采用同一套實驗設備，因此兩種振動模態下，fn3的主要區別在于諧振時結構產生不穩定振動引起的噪聲。

通過實驗對相關參數進行測試和計算，得到驅動電壓幅值在36 mV時兩種振動模態的各個噪聲分量及總噪聲的理論值如表2所示。

表2 各類噪聲分析結果Tab.2 The analysis results of various noises

從表2中可以看出，兩種振動模態在相同驅動電壓下噪聲的主要區別在于非線性振動噪聲以及與振幅無關的噪聲。

為了研究兩種振動模態下，驅動電壓幅值對非線性振動的影響，將同一樣機在兩種振動模態下采用不同驅動電壓進行開環掃頻實驗，兩種振動模態下的實驗結果如圖6所示。

圖6 不同驅動電壓下的振動非線性實驗結果Fig.6 Nonlinear vibration responses with different driving voltage settings

從圖6可以看出，同相振動模態在驅動電壓為60 mV附近時出現明顯的振動非線性，而反相振動模態在驅動電壓為10 mV附近時就開始出現明顯的非線性。因此，當驅動電壓為36 mV時，同相振動模態仍處于線性振動區域，非線性振動噪聲對總體噪聲的影響較小，而反相模態已處于非線性振動區域，其非線性振動引起的噪聲影響較大。

同相振動模態下與振幅無關的噪聲相比于反相振動模態較大，其原因在于諧振在同相振動模態下，如第2節所述振梁的振動會引起檢測質量塊的位移從而導致結構產生不穩定振動使噪聲增大。

當驅動電壓設為36 mV時，對樣機進行閉環穩幅并進行了噪聲測試，總測試時間為1 h，取測試開始半小時后的1800個點，每60個點計算一次標準差作為噪聲，可以測得兩振動模態下的噪聲如圖7所示。

圖7 兩種振動模態下的頻率噪聲Fig.7 The measured frequency noises in two vibration modes

由圖7可以看出，同相振動模態下的實測頻率噪聲均值為5.97×10-5Hz，反相振動模態下的實測頻率噪聲均值降低至4.75×10-5Hz，與理論計算值相近。

4 實驗結果

總結同相振動模態和反相振動模態下的樣機實驗結果如表3所示。

表3 兩種振動模態下的樣機實驗測試結果對比Tab.3 Comparison on experimental results of the MRA prototype in two vibration modes

5 結 論

本文對硅微諧振加速度計工作在兩種不同振動模態時，其關鍵性能參數進行了分析比較與實驗驗證，為硅微諧振加速度計設計人員確定振動模態提供了參考依據。結果表明：同相和反相兩種振動模態均可以用于檢測輸入加速度，兩者標度因數的差別與所設計諧振頻率的差別呈線性相關關系，樣機實驗及仿真結果中當反相模態諧振頻率與同相模態諧振頻率相差 1.4×103Hz時，兩者標度因數相差28 Hz/g；當無外界加速度輸入時，同相模態振動會引起檢測質量運動而消耗更多能量，導致振梁振動的位移幅值減小，品質因數下降，也正是由于檢測質量的運動消耗能量，導致同相振動模態下諧振器的線性振動區較反相振動模態更寬，非線性噪聲更小，但檢測質量的運動也會產生不穩定的振動噪聲，從而使同相振動模態下的總體噪聲略大于反相振動模態。本實驗結果中同相模態的總體噪聲為5.97×10-5Hz，反相模態總體噪聲低至4.75×10-5Hz。