磁懸浮系統建模與分析

張永立，李欣頎，劉 宇

（1.天津職業技術師范大學自動化與電氣工程學院，天津 300222；2.天津職業技術師范大學天津市信息傳感與智能控制重點實驗室，天津 300222）

磁懸浮技術（electro magnetic levitation，EML）簡稱EML 技術或Maglev 技術，它是利用磁場特性使物體懸浮在空中，目前主要將其運用于城市軌道交通[1-5]。20 世紀60 年代初，以英國、德國為首的西方國家開始投入磁懸浮運輸工具，其中由馬法伊制造出小型磁懸浮列車工程樣機，實現最高時速165 km。日本主要專攻電動型（electro dynamic system）磁懸浮[6-9]，即通過外部磁場，使金屬內感應出渦流，從而產生排斥的電磁力來懸浮物體。1983 年，惠普公司在開發的航空發動機中成功應用了磁懸浮軸承。1997 年高溫磁懸浮軸承在美國研究成功，該磁懸浮軸承可在510 ℃高溫下為航空電機工作，轉速可達22 000 r/min[3]。而我國磁懸浮技術研究起步較晚，20 世紀90 年代末期，中國鐵道科學研究院成功研制出單轉向架低速常導磁浮試驗車，1998 年西南交通大學在青城山建設了一條長425 米的工程試驗示范運營線[10-14]。本研究通過Matlab 仿真，對下推式磁懸浮系統進行機理建模并構造控制器，設計一種多自由度、下推磁場磁懸浮系統，仿真結果表明：浮子可以在僅借助磁場力的作用下穩定地懸浮在指定的位置。

1 下推式磁懸浮系統的結構原理

下推式磁懸浮磁源概念如圖1 所示。由于環形磁體可以產生較大的谷形磁場，使浮子磁體在垂直方向受到與重力作用相反的斥力，所以物體懸浮高度主要取決于環形磁鐵的磁性強弱以及浮子的質量。在水平面上，由于浮子在磁場中受到磁場產生的隨機擾動，使得磁場斥力不對稱，吸引力大的一邊會逐漸增加，吸引力小的一邊也會逐漸減弱，而使其背離中心位置運動；浮子在磁場中還受到旋轉力矩的作用，使其產生旋轉。因此，為了保證浮子在磁場中保持水平穩定，系統需要投入新的微弱的磁場，克服其原先的運動狀態，進而達到穩定控制浮子的目的。

圖1 下推式磁懸浮系統磁源概念

2 系統模型

2.1 浮子磁體所受磁場力分析

柱形磁鐵浮子結構如圖2 所示。

圖2 柱形磁鐵浮子結構

在浮子上面取相對于磁鐵固定的任意參考節點A，若磁鐵的磁化強度為M（x），x 為浮子上某一點相對于參考點A 的矢量。忽略外磁場強度變化對浮子磁體磁化強度的影響，可得磁鐵在磁場中的總勢能為：

式中：V 為使x 取遍整個磁體；B 為磁感應強度。

則浮子磁體在磁場中受到平面方向的力為：

2.2 通電線圈磁場分析

為了簡化分析過程，將線圈中通入經過功率放大器放大后的直流電流，利用疊加原理，將一個通電線圈產生的磁場看作是單位長度內有限個線圈產生的磁力之和。由畢奧—薩伐爾定律可得線圈產生的磁感應強度為：

式中：μ 為真空磁導率；I 為通過通電線圈的直流電流值；R 為距離通電線圈軸線的距離。

根據通電線圈空間對稱原理，選取柱形坐標系進行建模分析。若在原坐標處放置一通電線圈，設其原點坐標為O（r1，φ0，t），則在軸線外一點P（R，φ，z）處磁勢為：

式中：b 為通電線圈半徑；J 為通電線圈電流密度。

將式（4）代入Maxwell 方程組：

可得：

式中：b 為通電線圈半徑；J=ln/t，l 為通電線圈長度，n為線圈匝數，t 為通電時間。

通電螺線管位置示意圖如圖3 所示。根據磁場疊加原理可得2 個通電螺線管在P（R，φ，z）處XY 方向所產生的磁場強度為：

圖3 通電螺線管位置示意圖

運動學第二定律：

式中：m 為浮子質量；x 為相對位置矢量；F 為水平方向物體所受的電磁力。

將式（8）求得磁場強度代入式（2），根據式（9）將其積分項Taylor 展開可得歸一化方程：

系統開環傳遞函數為：

根據勞斯判據可知，下推式磁懸浮開環系統中有一個極點在復平面右半平面，故系統開環不穩定，需要引入控制器對系統進行校正。

2.3 環形磁體磁力模型

下推式磁懸浮系統根據2 個柱形磁環之間的磁力作用原理，其內外2 個環形磁鐵磁化方向相反，軸線平行，浮子中心偏移模型如圖5 所示。

圖4 系統零極點與根軌跡圖

圖5 浮子中心偏移模型

根據圖5 可知，浮子在Z 軸方向產生偏移量e。其中，浮子磁力的半徑和厚度分別為R1和l1，浮子磁體表面磁面磁荷密度為σ1，環形磁鐵的內外半徑和厚度分別為R2、R3和l2，環形磁鐵的磁體表面磁面磁荷密度為σ2。根據同軸裝配磁化方向相反，產生相反斥力，使得垂直方向浮子磁體與重力平衡，進而實現浮子平衡懸浮于空中。圖5 中為2 個磁體軸向相對位移即浮子磁體懸浮高度。

忽略浮子磁體相對運動，由參考文獻[15]可知浮子表面1 上微元磁荷P 受到環形磁體表面3 上Q 點的微元作用力為：

其中：

則微元在H 方向的投影為：

在Y 方向的投影為：

在Z 方向的投影為：

由式（14）、（15）、（16）、（17）可得系統總軸向力為：

其中

對上式積分，得到總的軸向力為：

根據上式的推導過程，導出浮子磁體和環形磁鐵之間的徑向磁力為：

當e=0 時，浮子處于同軸中心位置。由于系統機械結構對稱，所以浮子磁體處于平衡位置在X 軸和Y軸方向所受環形磁體的力恒為0。

為探究系統浮子懸浮高度與所受磁力之間的關系，對同軸環形磁體系統進行定量分析。根據購置實物，取軸半徑及厚度分別為R1=0.039 4（m）和l1=0.007 0（m），環形磁鐵的內外半徑和厚度分別為R2=0.045 4（m），R3=0.094 5（m）和l2=0.014 0（m）。浮子所受磁力與影響因素的關系曲線如圖6 所示。

由圖6（a）可知，當浮子懸浮高度小于環形磁體厚度時，其所受磁力逐漸增加；由于極化方向相同不產生H 軸力的投影，當浮子磁體懸浮高度增加，浮子磁體剛好離開環形磁鐵時，此時浮子磁體所受磁力最大。當浮子懸浮高度大于環形磁體厚度時，空氣阻力不斷加大，浮子所受磁力不斷減小，最終趨于0。

圖6（b）為探究不同類型浮子懸浮高度與所受磁力之間的關系，將高度浮子磁體重復進行圖6（a）實驗。根據圖像可知，當懸浮高度小于環形磁體厚度時，浮子所受磁力差別較大，隨著懸浮高度的不斷增加，其差異不斷減小，最終均趨近于0。由此可見，浮子磁體類型對系統整體探究并無明顯影響。

圖6（c）為不同半徑環形磁鐵對比實驗。根據實驗曲線可知，雖然不同半徑的環形磁體隨著高度增加磁力均趨向于0，但在相同高度下磁力相差均較大，故可得到環形磁體半徑對系統有著較大影響的結論。

圖6（d）為不同程度偏差量所受縱向力比較分析。當偏心時，對系統進行定量分析。由于浮子磁體在空間發生偏移，所以空間機械結構并不對稱，浮子在Z軸上隨著懸浮高度的改變將會受到隨高度改變的縱向力作用。這也是造成系統不穩定的重要因素之一。由于浮子在不同懸浮高度會受到不同懸浮力作用，在無校正干預下不會自動恢復到平衡位置，所以浮子會向某一方向做加速運動，進而加大偏差量e 的值。

圖6 浮子所受磁力與影響因素的關系曲線

3 控制器設計

下推式磁懸浮系統主要由控制器、執行器、被控對象及傳感器構成，其系統組成如圖7 所示，系統機械結構如圖8 所示。

其中環形磁鐵可產生向上的磁力，用于抵消浮子所受重力作用，使浮子可以穩定懸浮。系統執行器為功率放大器，其通過驅動線圈電流大小的改變校正磁場。系統傳感器可使用2 個垂直放置的線性霍爾傳感器測量浮子位置，并與指定位置數值進行比較，將比較誤差傳送給控制器，進而實現對系統的閉環控制。

圖7 下推式磁懸浮系統框圖

圖8 下推式磁懸浮系統機械結構

由于下推式磁懸浮系統數學模型較為復雜，在工程實際應用中多采用線性化處理，因此模型誤差較大。為保證系統控制效果，控制器多選用靈活性、適應性較高的控制算法。PID 控制調節器對數學模型精度要求較低，技術較為成熟，符合本系統控制情況，因此本系統最終選用PID 控制調節器對系統實現有效控制。PID 控制器的數學表達式為：

式中：Kp為比例調節系數：Ti為積分時間常數；Td為微分時間常數。

根據系統組成框圖在Simulink 下建立基于微元分析得數學模型的仿真系統如圖9 所示，Signal Builder 模塊在t=2 s 時引入沖擊干擾信號如圖10所示。

圖9 Simulink 仿真系統圖

圖10 沖擊干擾信號

為了使系統響應快速，并且具有微小超調量，需合理選擇PID 控制器的參數，這里分別采用4 組PID控制參數進行仿真實驗，系統仿真響應曲線如圖11所示。PID 控制參數及控制效果如表1 所示。

根據表1 和圖11 可知，增大調節微分時間，可以減小系統超調量達到較理想效果，若繼續增大，系統將會出現高頻振蕩，并且微分環節可以實現系統的預判。若減小調節積分時間，可以減小系統的靜態誤差，即較少超調量甚至達到無超調，并且對于磁懸浮來說，減小積分時間，可以避免在較大的外部干擾下，浮子運動超出控制范圍。但是，過于增大積分時間會給磁懸浮系統帶來滯后性，甚至會造成積分飽和不能平衡。調整比例系數，系統響應速度隨著比例系數的增大而逐漸增加，過量調節比例系數會使系統出現振蕩現象，若繼續增大會使系統發散，失去控制。因此，實現系統快速響應，比例作用是不可缺少的環節。

圖11 系統仿真響應曲線

表1 PID 控制器參數整定及控制效果

4 結 語

本文對下推式磁懸浮系統的工作原理及模型進行了分析。采用微元法構建下推式磁懸浮系統數學解析式模型；通過等效磁荷理論分析了浮子磁體在平衡位置所受的磁力；利用勞斯判據分析系統開環不穩定性；設計PID 控制器對系統進行控制，并說明PID各參數之間的影響關系。本研究結果表明，PID控制器可有效快速使浮子處于穩定狀態，達到設計要求。