從中國版《幾何原本》研究測度與積度

程碧波

摘要：本文基于徐光啟版《幾何原本》重新審視測度問題，并提出積度原理和方法。根據徐版《幾何原本》，0與無窮小具有本質區別，線不能由點構成，線只能由無窮小的線段構成;面不能由線構成，面只能由無窮窄的面構成;體不能由面構成，體只能由無窮薄的體構成。由此出發，對測度進行重新研究，并利用祖暅定理，提出積度的理論和方法。

關鍵詞：測度;積度;幾何原本;祖暅定理

本文基于徐光啟版《幾何原本》（以下稱中國版《幾何原本》）重新審視測度問題，并提出積度原理和方法。

三、數的表達

理論上說，任何實數均可用無窮級數來表達。但只有有理數和整數能表達為有規律的部分和與增項，無理數的部分和與增項并無規律可言。換言之，無理數是不可用級數來精確表達的。使用等形式可以精確地表達無理數，但這只能表達極少數的無理數。既然無理數不可用級數來精確表達，自然亦不可用級數表達來證明其是否可數。而十進制就是級數表達。由于目前尚未找到通用的如同一樣精確表達的無理數表達方法，所以無理數既不可證為可數，亦不可證為不可數。事實上，凡是可以用有限符號表達的無理數，都必然可以建立與整數的一一對應關系。

四、0、無窮小與

（一）在實分析中，常把0與無窮小混同。例如實分析認為，對于連續單射，。但事實上此等式并不成立。因為，而。

（二），但是當時，的值則不一定為0。譬如設，則。這也正是趨于0的微分dx可以積分為非0數值的原理。假設因為而直接寫作，則，其數值就完全錯誤了。

（三）在實分析中是無窮大的數值，是沒有意義的。但是事實上還存在著低階無窮大和高階無窮大的區別。例如，，都是的例子。

五、點、線、面和體的關系

在實分析中，點的集合構成線，線的集合構成面，面的集合構成體。但是在中國版《幾何原本》卷一說：“點者無分，無長短廣狹厚薄”，“線有長無廣”，“線之界是點”，“面者止有長有廣，體所見為面”，“面之界是線”。卷五第一界中說：“分者，幾何之幾何也。小能度大，以小為大之分。以小幾何度大幾何謂之分。曰，幾何之幾，何者謂非？此小幾何不能為此大幾何之分也。如一點無分亦非幾何，即不能為線之分也。一線無廣狹之分，非廣狹之幾何，即不能為面之分也。一面無厚薄之分，非厚薄之幾何，即不能為體之分也”。因此依照中國版《幾何原本》，點的大小為0，點只是線的分界，線并非由點的集合所構成;線的寬度為0，線只是面的分界，面亦并非由線的集合所構成;面的厚度為0，面只是體的分界，體亦并非由面的集合所構成。因此中國版《幾何原本》否定了實分析關于點、線、面和體的關系，認為線只能由線來構成，面只能由面來構成，體只能由體來構成。

六、大幾何與小幾何：測度

中國版《幾何原本》闡述了大幾何與小幾何的關系。小幾何是測量工具的最小刻度，亦即最高測量精度，則大幾何則是被測量的物體。若令為對被測物體所測量的數值，則的實際數值必須為最小刻度的整數倍，才會滿足測度的可加性，否則只有測度的次可加性。

但是實分析的測度與測量工具的最小刻度無關，也即與測量工具的精度無關，事實上其與測量工具根本就無關。其直接將點集里點與點之間的坐標距離定義為測度。但這就出了邏輯矛盾：按此定義，任何一點的測度均應為0，而無理數的各點會被有理數點隔離，因此無法直接應用兩個無理數之間的距離來作為此兩數間的無理數測度值，而需要將兩數間所有無理數點的測度進行加總來得到其無理數測度值。但無理數點集里所有點的測度加總應為0。而有理數點集里所有點的測度加總亦應為0。所以無理數點集與有理數點集加總后在整個實數集上的測度還是為0。這與點集中點與點之間的坐標距離為測度的定義矛盾。所以實分析認為有理數集可測而無理數集不可測，由此得到結論：單個有理數點的測度為0、有理數點集的測度亦為0，滿足測度的可加性。而單個無理數點的測度為0、無理數點集的測度為兩點之間的距離，不一定為0，不滿足測度的可加性，而只滿足測度的次可加性。從而試圖在邏輯上自圓其說。

綜合來看，中國版《幾何原本》中有測度的可加性和不可加性，其取決于測量工具的精度和被測物體真實值是否可被最小刻度量盡。而實分析中也有測度的可加性和不可加性，其測度與測量工具無關，而是物體真實值（例如點集）的函數，其依賴于對無理數集不可數的研判，來構造不具有可加性的無理數測度，以滿足實數集上的測度定義。但事實上無理數集的可數性是無法證明亦無法證否的。從測度的本義來看，正如中國版《幾何原本》所說，直線不是點的集合，直線只能是線段的集合，因為點只是線之邊界，點的長度為0，任意無限多點的集合，其長度仍然為0。長度無窮小的線段跟長度為0的點，有天壤之別：前者可以通過無窮累加而成一非零數值，后者則無論如何累加均為0。線與面、面與體的關系亦同理可推。只有在有限項相加時，高階無窮小項才能等價于0。實分析混淆0與無窮小，認為線段的測度為點的測度之加總，面的測度為線的測度之加總，體的測度為面的測度之加總，違反了中國版《幾何原本》“一點無分亦非幾何，即不能為線之分也。一線無廣狹之分，非廣狹之幾何，即不能為面之分也。一面無厚薄之分，非厚薄之幾何，即不能為體之分也”的闡述，必然會出邏輯矛盾。

可以研判，西方各版本《幾何原本》沒有意識到中國版本《幾何原本》的測度問題，而后來的實分析發現了中國版《幾何原本》中關于測度的闡述，但仍未理解測度的真正含義。

按照中國版《幾何原本》的邏輯，由于點的測度為0，所以點是不占據空間的，研究一個空間中有多少無理數點或有理數點，并無意義。如果我們真要從點的層面來研究線段，例如對康托爾三分集的研究，我們也必須寫出無窮小線段的無窮小表達式，構建無窮小線段的集合，然后進行計算。在計算中可以按照高低階無窮小混合計算的舍棄法則來合理舍棄高階無窮小。只有這樣的計算才是順暢的。否則若把無窮小線段直接等同于測度為0的點，則必然出現邏輯矛盾。又如區間套定理，其認為所有嵌套的閉區間只有唯一公共點，這就是錯誤地把無窮小閉區間等同于測度為0的點（根據中國版《幾何原本》，區間的邊界是無窮小區間而不是點）。

七、祖暅定理與積度

（一）積分的本質

積分的本質就是累加。所有的積分都可以寫為累加的形式：

（二）祖暅定理

祖暅定理說：“冪勢既同，則積不容異”。有人解釋“勢”為高，這不正確。“勢”的含義是極限。祖暅定理是說：“若（兩函數值）極限相同，則兩函數值的加總亦相同”。也即，若，則。使用祖暅定理可以簡化積分的計算。利用此定理可得：

以上式子利用了：所以cosdx-1是sindx的高階無窮小，可以在（8）式中直接加上去而極限值不變。又，所以dx可以替換為sindx而極限值不變。這樣就有。注意，idx=x，并非dx的函數，這在使用dx對極限通過洛必達法則求導時需要注意的。

由上可知，祖暅定理賦予了積分極大的自由度，只要保證極限相同，就可以任意更換為各種函數，以及加減各種高階無窮小項。通常是希望能構成等差數列相加，此等差數列即黎曼積分中的原函數。（3）或（5）式加上祖暅定理，遠比黎曼積分更靈活。例如：

可以通過累加和祖暅定理而很容易計算出來，但卻難以通過黎曼積分來直接計算。脈沖函數亦可表達為。

（三）積度

更一般地，可將（3）式寫為（多重積分亦類推）：

但由（9）可知，dx即中國版《幾何原本》中所說的（最小）刻度。積分所得數值，是以dx為最小刻度而度量出來的，比dx更小的數值無法通過dx度量出來。例若出現dx+（dx）2，則（dx）2是dx的高階無窮小，無法用dx度量出來，所以需要舍棄高階無窮小（dx）2。換個視角，若用（dx）2作為最小刻度，則可以度量dx+（dx）2，也即不舍棄（dx）2，但是（dx）2/dx→0，所以是否舍棄（dx）2，對于計算結果的影響是無窮小。但必須意識到，這個無窮小畢竟不等于0，是其極限等于0。假如不舍棄（dx）2，則最終計算結果中會含有（dx）2要素，若對計算結果再無窮累加（譬如累加1/（dx）2次），則（dx）2項將會累加出非無窮小的數值，而這與0是不同的。當然，此時dx項通常會被累加到無窮大。所以在積分中被舍棄的無窮小，事實上是有精細的結構的。因此中國版《幾何原本》卷一第四求中說：“長者增之可至無窮，短者減之亦復無盡。當見莊子稱一尺之棰，日取其半，萬世不竭，亦此理也。何者，自有而分，不免為有。若減之可盡，是有化為無也。有化為無，猶可言也，令已分者更復合之，合之又合，仍為尺棰。是始合之初，兩無能并為一有也。兩無能并為一有，不可言也”。這段話是說，將一尺長度永不停歇地去掉留存長度的1/2，留存長度永遠不會為0（而為無窮小）。倘若認為留存長度為0，與無窮小的確可以等價。但如果進行逆操作而復合，則無窮小的留存長度不斷乘以兩倍，乘之又乘，終能又成一尺長度。而數值為0的留存長度則無論怎么乘都為0，不可能回復為一尺長度。再如有限覆蓋定理的前提是任何區間套最后只有一個公共點，因此此點必然能被有限覆蓋，與區間套內無限覆蓋矛盾，從而得證可以有限覆蓋。然而根據中國版《幾何原本》，區間套的公共部分是無窮小的區間，而不是點。如果覆蓋的開集也無窮小甚至高階無窮小，此時有限覆蓋定理就不可能成立。

中國版《幾何原本》卷五第一界說：“若不盡分者，當稱幾分”。而現有之積分，實際上恰恰是舍棄了不能盡分的高階無窮小（幾分），留下以dx所度量的度數（幾何），是以應稱為積度。而現有之微分亦應稱為微度。“積度”一詞亦是《數書九章》中用以指“度數之和”。《數書九章》在“綴術推星”中說“累減前段積度，以益后段積度”。

相應地，極限亦須根據本文重新定義：若存在，其中A為實數，為無窮小量或0，對任意給定的，總能找到，使當時滿足，則稱為函數在點的勢，記成。