與廣義Bessel函數相關的解析函數類

董秋月，張 恒

(揚州大學 數學科學學院，江蘇 揚州 225002)

1 基本知識

1.1 廣義Bessel函數

第一類廣義Bessel函數w為二階線性齊次微分方程

z2w″(z)+bzw′(z)+(cz2-a2+

a(1-b))w(z)=0

的特解，其表達式為

w(z)=wa,b,c(z)=

其中a,b,c,z∈C,且c≠0。

利用第一類廣義Bessel函數，本文定義函數φa,b,c:C→C為

利用Pochhammer符號[1-3]

(1)

式中：n=1, 2,…；且(k)0=1。φa,b,c(z)可表示為

(2)

(3)

式中：k≠0,-1,-2,…,φk,c(z)在C內解析，并且φk,c(z)滿足二階線性微分方程

(4)

特別地，φk,c(z)具有遞推關系

(5)

1.2 微分從屬與解析函數類

Al-Dhuain等[4-7]借助微分從屬的方法定義和研究了解析函數類，許多學者也證明了解析函數類的包含關系及其他性質，微分從屬被廣泛地運用于多種解析函數類性質的研究。由此，本文考慮與廣義Bessel函數有關的變換φk,c(z)的相應性質。

設A表示在開單位圓盤Δ={z:|z|<1}內具有形式

的全體解析函數構成的函數類。

設函數f(z)和g(z)在Δ內解析，若存在Schwarz函數w(z)，使得f(z)=g(w(z))，則稱f(z)從屬于g(z)，記作f(z)g(z)。進一步，若g(z)在Δ內單葉，則f(z)g(z)?f(0)=g(0),f(Δ)?g(Δ)。

定義1[7-8]設Q表示在?ΔE(q)上的單葉解析函數q(z)構成的函數類，其中

且對于ζ∈?ΔE(q), 有min|q′(ζ)|=ρ>0。

特別地，當q(0)=a時，記Q(a)=Q0。

定義2[9]設Ω?C,q(z)∈Q,n∈N{1}。 若函數ψ:C3×Δ→C滿足條件：

r=q(ζ),

s=mζq′(ζ),

引理1[10-12]設Ω?C,ψ:C3×Δ→C, 并滿足條件：當σ≤-(1+ρ2)/2,σ+μ≤0,ρ為實時，有ψ(iρ,σ,μ+iv;z)?Ω。若p(z)在Δ內解析，p(0)=1且ψ(p(z),zp′(z),z2p″(z);z)∈Ω,則Rep(z)>0。

2 函數屬于函數類的充分條件

(6)

若A,B,k和c滿足不等式

(7)

并且(1+B)φk,c(z)≠1+A, 則有φk,c(z)∈P[A,B]

證明定義p:Δ→C：

則p(z)在Δ內解析，且

(8)

(9)

(10)

根據式(8)—式(10)，微分方程(4)可寫為

(11)

令Ω={0}，定義

(12)

由式(11)得出ψ(p(z),zp′(z),z2p″(z);z)∈Ω。

下面本文證明Rep(z)>0。 根據引理1，只要證明：當ρ為實數，σ≤-(1+ρ2)/2和σ+μ≤0時，有Reψ(iρ,σ,u+iv;z)<0。

設z=x+iy∈Δ，由式(12)可得

Reψ(iρ,σ,u+iv;z)=

(13)

因為

所以

從而

其中

由條件式(6)得

(14)

有Q(ρ)<0。 因為|x|<1,|y|<1,y2<1-x2, 由式(14)可得

(15)

設R(x)=mx2+nx+r,|x|<1,其中

則當|n|≥2|m|時，有

R(x)≥m+r-|n|=

上式即為式(7)。 因此函數ψ滿足引理1的條件，從而Rep(z)>0,由此可得φk,c(z)∈P[A,B]。

定理得證。

令A=-B=1，由定理1可得以下推論。

特別地，當k=2時，zφ2,c(z)是近于凸函數。

若A,B,k和c滿足不等式

(16)

并且(1+B)φk,c(z)≠1+A, 則有φk,c(z)∈P[A,B]。

(17)

并且(1+B)φk,c(z)≠1+A, 則有φk,c(z)∈P[A,B]。

證明由假設及定理1的證明過程，可得

同時,

ReΨ(iρ,σ,u+iv;z)≤

p2ρ2+q2ρ+r2=Q1(ρ)

其余證明同定理1，從略。