基于數學核心素養的單元教學研究實踐探索

■天津外國語大學附屬外國語學校 張紫茵

數學單元教學設計，就是在整體思維指導下，旨在提升學生的數學學科核心素養，通過教學團隊的合作，統籌重組和優化相關教學內容，再將優化后的教學內容作為一個相對獨立的教學單元，這樣做的目的是突出數學教學內容的主線以及知識間的聯系性。數學單元教學設計是對教學單元整體進行循環改進的動態教學設計。單元教學的關鍵環節：一是確定單元內容、二是分析教學要素、三是設計教學流程、四是分析教學資源、五是評價反思與修改。下面，我以人教A版高中數學必修第一冊《三角函數公式的認知與應用》為例，進行單元教學研究。

一、確定單元內容

本單元教學內容及課時安排如下：單元分講一：三角函數的概念、同角三角函數關系、誘導公式，共4課時。單元分講二：兩角和與差的正弦、余弦和正切公式、二倍角的正弦、余弦和正切公式，共3課時。單元分講三：簡單的三角恒等變換，共3課時。

二、分析教學要素

確的數學思維方法，掌握變量替換、構造法等思想方法，以及用已知解決未知問題的化歸數學思想。3.正確、熟練、靈活地運用公式進行求值、化簡、證明。

(一)數學分析

本單元的數學要點有以下幾點：1.在直角坐標系中研究角的意義、通過公式的推導、了解公式的來源，掌握它們之間內在聯系和轉化的規律。2.在推導過程中，進一步形成嚴密而準確的數學思維方法，掌握變量替換、構造法等思想方法，以及用已知解決未知問題的化歸數學思想。3.正確、熟練、靈活地運用公式進行求值、化簡、證明。

（二）分析教學要素——課標分析

1.三角函數的概念：借助單位圓理解任意角三角函數的定義，推導出誘導公式。2.同角三角函數的基本關系式：理解同角三角函數的基本關系式。3.三角恒等變換。（1）經歷推導兩角差余弦公式的過程，知道兩角差余弦公式的意義。（2）能從兩角差余弦公式推導出兩角和與差的三角公式，二倍角公式，了解內在聯系。（3）能運用上述公式進行簡單的恒等變換。

（三）分析教學要素——學情分析

具備：本單元學習認知基礎是前面建立的函數一般概念，冪函數、指數函數、對數函數的研究經驗。另外還有圓的有關知識。

欠缺：在三角函數中，影響單位圓上點的坐標變化因素較多，是“α”與“x，y直接對應”，與學生已有經驗距離較大，學生從聯系觀點看問題的經驗不足。

（四）分析教學要素——重難點分析

教學重點分析：1.任意角三角函數的定義，同角三角函數關系。2.利用圓的對稱性探究誘導公式，運用誘導公式進行簡單三角函數式的求值、化簡與恒等式的證明。3.利用圓的旋轉對稱性推導兩角差的余弦公式，兩角和與差的三角函數的其他公式與其內在聯系。

教學難點分析：1.三角函數的定義方式的理解。2.發現圓的對稱性與三角函數的聯系。3.發現圓的旋轉對稱性與兩角和（差）余弦公式的聯系，認識三角恒等變換的特點。

（五）分析教學要素——教材分析

與按照《標準（2003年版）》編寫教科書相比，該單元內容有如下一些變化：1.三角函數的定義：直接從建立周期現象的數學模型出發，利用單位圓上點坐標定義三角函數，然后再建立與銳角三角函數的聯系，刪除三角函數線；2.誘導公式：通過把圓的對稱性“代數化“，獲得誘導公式；3.三角恒等變換：一以貫之地強調單位圓的作用，利用圓的對稱性導出兩角差的余弦公式。

三、設計教學流程

下面以《三角函數的概念》為例，進行教學流程設計。

（一）創設情境，引出主題

問題：已知摩天輪的中心離地面的高度為h0,它的直徑為2r，逆時針做勻速轉動，轉動一周需要360秒，若現在你坐在座艙中，從初始位置點A出發，求相對于地面的高度h與時間t的函數解析式。

問題1：這種運動如何通過數學模型來刻畫？如果我們先從特殊情形入手。例如，過了20s后，此時人距離地面的高度是多少？

問題2：你能試著闡釋這個數學式子嗎？

問題3：隨著摩天輪的轉動，從銳角推廣到了任意角。如何定義任意角α？

設計意圖：通過實際問題引入任意角三角函數概念，突出研究問題的“周期性”特點，為給出三角函數的定義做好準備。

（二）概念生成、理解定義

問題：當點P在圓周上運動時，∠POA隨之變化，任一個∠POA，對應著唯一點P，進而有唯一| |MP，得到能否用一個量去代使上述表示形式更簡單？

設計意圖：引導學生將坐標系引入到任意角三角函數的定義中。

以單位圓的圓心O為原點，以射線OA為x軸的非負半軸，建立直角坐標系，點A的坐標為（1，0），點P的坐標為(x,y)。射線OA從x軸的非負半軸開始，繞點O按逆時針方向旋轉角α，終邊位置為OP。

（2）利用信息技術，任意畫一個角α，觀察終邊OP與單位圓的交點P的坐標，有什么發現？

設計意圖：通過實例，由特殊到一般，使學生理解三角函數的對應關系。

問題（1）正弦函數、余弦函數、正切函數的對應關系分別是什么？問題（2）符號sinα，cosα，tanα分別表示什么？以往的學習中有類似的引入特定符號表示一種量的經歷嗎？問題（3）正弦函數、余弦函數、正切函數的定義域分別是什么？

設計意圖：在“問題串”引導下，使學生明確三角函數的“三要素”，引導學生理解三角函數符號的意義。

問題：初中我們學習銳角三角函數，知道它們都是以銳角為自變量，以比值為函數值的函數。設x∈(0,)，把按銳角三角函數定義求得的銳角x的正弦記為z1，并把按本節三角函數定義求得的x的正弦記為y1。z1和y1相等嗎？對于余弦和正切也有相同的結論嗎？

設計意圖：建立銳角三角函數與任意角三角函數的聯系，讓學生體會兩個定義的和諧性。

（三）概念運用，典例示范

設計意圖：通過概念的簡單應用，明確用定義求三角函數值的基本步驟。

例2，設α是一個任意角，它的終邊上任意一點P（不與原點O重合）的坐標為(x,y)。點P與原點的距離為r。求證：sinα=y/r，cosα=x/r，tanα=y/x。

追問：例2給出了任意角三角函數的另外一種定義，而且這種定義與已知定義是等價的。你能用嚴格的數學語言敘述一下這種定義嗎？

設計意圖：加強學生對三角函數定義的理解。

（四）及時反饋，目標檢測

已知角θ的終邊過點P(-12,5),求角θ的三角函數值。

設計意圖：考查學生對三角函數定義的理解情況。

（五）小結提升，布置作業

作業：完成本節學案。

小結：讓學生回味本節課生成知識和應用的方法,積累數學知識和活動經驗。

四、分析教學資源

教師在本單元教學活動的實施過程中運用了GGB軟件。利用信息技術建立任意角、角的終邊與單位圓的交點、角的旋轉量、交點坐標等之間的關聯，加強學生對單位圓上點的坐標隨角（圓心角）變化而變化的直觀感受。

五、結語

單元教學評價標準有三點：一、全面了解學生單元數學學習的歷程和成效；二、發現和發展學生的數學潛能、激勵學生的數學學習；三、對數學學習的“知識與技能”“過程與方法”“情感、態度與價值觀”進行全面評價。全面評價學生在本單元數學學習中的學習態度、知識和技能掌握、數學學科核心素養的發展等情況。單元教學設計應以立德樹人為根本任務，站在數學課程標準和數學學科核心素養的培育高度下，以培養學生四基，提升四能為根本目的，做到把握數學本質，優化課堂結構。