學貴知疑 疑中求進

■福州第十五中學 徐榮樹

一、學貴知疑，悟從疑得

明代教育家陳獻章主張“學貴知疑”的教育理念，主張學習應敢于提出疑問，獨立思考，不要迷信先人及權威，強調“提出問題”對于學習的重要性。孔子也倡導學生“每事問”，教師應在教學過程中摒棄“師道尊嚴”的想法，面對學生的質疑應作出恰當的回應，創造一個寬松的環境，讓學生敢于提問，點燃學生思維探索的火焰，使學生圍繞知識本體不斷探索，在質疑中領悟知識真諦，對所學知識進行再認識、再創造，逐步形成自己的能力。現行人教版高中數學必修二教科書（2007年2月第3版）在“§4.2.1直線與圓的位置關系”（第126-128頁）中設置例2如下：

題1：已知過點M（-3，-3）的直線l被圓x2+y2+4y-21=0所截得的弦長為4，求直線l的方程。

教科書中依據垂徑定理及勾股定理計算出弦心距后作出下列表述：“因為直線l過點M（-3，-3），所以可設所求直線l的方程為y+3=k(x+3 )。”這種表述雖然不影響本題兩解的得出，但極易讓學生產生以下疑問：“過定點直線的方程是否都可以用點斜式直接假設？”在教學中筆者對例題適當改編如下：

題2：已知過點M（-3，-3）的直線l被圓x2+y2+4y-21=0所截得的弦長為8，求直線l的方程。

學生參照教科書中的問題解決方法可以求出直線l的方程為4x+3y+21=0，比較題1、題2的結果提出以下疑問：①為什么僅僅改動弦長就能影響解的個數？②弦長分別滿足什么條件，所求直線方程有兩解、一解或無解？（借助幾何圖形探究得出弦長小于、等于或大于直徑時所求直線方程分別為兩解、一解或無解）；③當所求直線方程有兩解時，這兩條直線具備什么圖像特征？（關于過定點的直徑所在直線對稱）；④題2中弦長小于直徑，為什么所求直線方程只有一解？還有一條直線哪去了？（利用對稱性進行圖形演示得出另一條直線與x軸垂直。）；⑤為什么解題過程無法得出這條與x軸垂直的直線？（題中利用點斜式假設直線方程已認定直線與x軸不垂直。）

通過以上追問可見教材編寫存在不妥之處。做如下更改比較貼切：“ ……即圓心到所求直線l的距離為。如果直線l的斜率不存在，那么直線l的方程為x=3，易得圓心到直線l的距離為3，不符合題意（舍去）。如果直線l的斜率存在，不妨設斜率為k，所以可設所求直線l的方程為y+3=k(x+3)。”

在教學過程中，教師應鼓勵學生大膽質疑，敢于質疑，讓學生逐步形成嚴謹的習慣，逐漸培養學生具有求真務實的科學態度。

二、疑中激趣，疑中辨析

疑問能激發興趣，學習以疑貫穿始終，其樂無窮，愛因斯坦一生對學習如癡如醉，其中最重要的原因是總是帶著疑問學習。數學知識有極強的關聯性，各知識點盤根錯節，常常具有共性又互不相同，不斷提出問題不斷辨析，進而澄清知識要點，構建完善的數學大廈。

學生通過這一系列疑問對橢圓與雙曲線的異同展開深入探討，沉浸于兩圓錐曲線的不同變化之中，從中找到探究問題的樂趣，從細小的條件變換領略各自對題目的影響，在探究過程中完成對兩曲線的深度辨析，完善圓錐曲線知識體系。

三、善于質疑，疑中求進

學生從無疑到有疑不可能一蹴而就，教師可根據任務主體設置題組，引導學生如何提出疑問，由淺入深，題題相扣，題題遞進，逐步完善任務主體的方方面面，使學生的思維不斷得到激發和深化，逐漸達到“無疑—有疑—無疑”的不斷循環轉化，進而不斷提高數學水平。現行人教版高中數學選修1-1教材（2007年2月第3版）第62～63頁及選修2-1教材（2007年2月第2版）第71～72頁中均設置如下例題（題3），在教學過程中教師可引導學生結合此題對題4、題5進行探討。

題3：已知拋物線y2=4x，直線l過定點P（-2，1），斜率為k，k為何值時，直線l與拋物線y2=4x：只有一個公共點；有兩個公共點；沒有公共點？

題4：已知拋物線y2=4x，直線l過定點P（-2，1），討論直線l與拋物線y2=4x的位置關系。

題5：求過定點P（0，1）且和拋物線y2=4x有且只有一個公共點的直線方程。

題3聯立方程組消元后學生常順勢馬上計算Δ，此時應引導學生對此做法的合理性進行探討，讓學生注意根的判別式Δ只適用于一元二次方程（要求二次項系數不等于0），因此在二次項系數含參數的情況下必須分類討論。

題3的實質是過定點直線與拋物線公共點個數的探討，若只已知過定點（未涉及斜率），若求公共點個數問題改成直線與拋物線位置關系問題，對問題的解決有什么影響（題4）？若將定點從P（-2，1）改成P（0，1），過定點斜率不存在的直線與拋物線的位置關系有何不同（題5）？通過上述問題的挖掘與解決并不斷引申出新的問題再解決，可完整地掌握直線與拋物線位置關系的相關知識。

疑問是理解知識的前提，疑問是進一步深入學習的催化劑，疑問越多，好奇心就越強，教師應讓學生在不斷提問中學會質疑技巧，集中注意力，在攻克各種疑問中不斷進步。