在細節處,落地生根
——“指數函數”課堂片段實錄及反思

■江蘇省揚州市邗江區蔣王中學 華書春

近期，邗江區高中數學名師工作室圍繞核心素養如何落實這一主題，以“問題引領，自主建構”數學教學模式為抓手，開展了“指數函數第一課時”的同課異構活動?；顒又?，作者精心設計問題情境，重視自主生成和批判質疑，對這一節課進行了再創作，下面是本節課的課堂情境引入和概念生成部分實錄和反思，與大家共同探討。

一、情境引入實錄

教師：同學們，阿基米德曾說過：給我一個支點，我能夠撬動地球。那么今天老師在這里也表達一個：給我一張足夠大的紙，我能夠上月球，你信嗎？（眾說紛紜，教師點名回答）

學生：可以，需要不停地對折。設計意圖：興趣是最好的老師。教師：那么，給你一張紙，你能折幾次呢？試試看。（眾說紛紜，教師點評，引出問題）教師：以一張紙0.01cm厚來計算的話，我們其實只需要折疊42次，厚度就將達到40萬公里，月球將觸手可及。同學們，思考一下，今天我講這個案例是基于怎樣的數學原理呢？學生：是指數，一層變二層，二層變四層……最終會很厚很厚。教師：很好，通過折疊能實現層數的飛速上升，進而厚度也上升。下面，我們把剛才的折紙問題再數學化一點，看看它的背后具體的數學背景。

設計意圖：通過有趣的問題情境，讓學生去探索實踐，引導學生用數學的眼光看世界，用數學的思維思考世界。

情境1：用一張紙對折，觀察：對折的次數x與所得的層數y之間的關系。學生：y=2x。教師：這是不是一個函數？學生：是的。教師：如何判定的？學生：通過函數的定義。教師：那么，你覺得如果這個作為一個函數，我們的表達是否完整？學生：加上定義域x∈N*，表達為y=2x(x∈N*)。教師：很好，這就是折紙背后的力量所在。其實，折紙問題還有一個角度，也很有意思，我們來看另一個問題。

情境2：用一張紙對折，觀察：對折的次數x與折后面積y之間的關系。（記折前紙張面積為1平方米）

設計意圖：從情境中提煉出數學模型，同時讓學生感受生活中的數學。

二、概念生成實錄

問題1：回到數學本身,上述情境中的函數解析式有什么共同特征？

學生：x是指數。學生：底數是常數。教師：這類函數總共就涉及三個量，除y 之外，都被我們考慮過了。還有其他共同點嗎？學生：形式上是指數冪的形式。教師：很好。大家再仔細觀察，老師的表格中所寫的函數，有缺點什么嗎？學生：定義域。教師：恩，我們之前考察的函數定義域都是正整數，回到數學本身，這兩個函數的定義域是不是非得正整數？學生：不是。教師：可以是什么？學生：一切實數。教師：為什么呢？學生：依然滿足函數的定義。教師：很好，在上一節冪的運算內容中，我們已經實現了從初中所學的整數指數冪拓展到實數指數冪了，所以定義域是R 的話，上面兩個關系依然是函數關系。大家模仿一下，舉一些形式上類似的函數，大家要充滿想象？學生（眾人）：y=1x；y=xn；y=an；等等。

設計意圖：緊扣之前學習的函數的概念，抓住定義域這個要素，率先埋下指數函數定義域為R的伏筆。

教師：為了便于研究，我們暫且先都認定定義域為R，先看y=1x，是不是類似的函數？學生：是的。教師：y=xn呢？學生：不是。x 在底數，形式上有點不同。教師：y=ax很有創意，如果是函數，哪個是自變量呢？如果僅僅看式子的話，a和n 理論上都可以。學生：都可以，但是與我們學習的函數類似，應該把n作為自變量。教師：好，我們不妨深入探討一下這個式子，考慮到習慣，我們寫成y=ax，x 作為自變量，顯然最符合我們的目標，但a 作為一個字母存在，作為變量，有沒有要注意的？a的范圍能不能是R？學生：不能，a=0 不行。教師：為什么不行？學生：0 的-2 次方。教師：還有沒有？學生：負數有的時候也不行，如果a 是負數時也不行。教師：很好。不過a如果是負數，y=ax是不是函數？關鍵點在哪里？學生：也可以是函數，關鍵點在函數的定義域要加以限制。教師：對的，a= 0 是不是也是這個道理，y=0x在x為正數時，它也是函數。我們回頭總結一下，一個一般性的函數模型有沒有出現呢？是什么？大聲回答。學生：y=ax。教師：這個里面a和x 情況復雜，作為一個一般性的函數式子，我們是為了x∈R約束a，還是把a分成若干種情況去限制x呢？學生：約束a。教師：是的，其實兩者都有道理，但出于研究的需要和便利，定義這個函數的數學家們和你們作出了同樣的選擇。

問題2:作為一個抽象出來的一般性的式子，a需要做哪些限定？（大家討論，提問）

學生：a＞0。教師：不錯，如果a＞0，y=ax(x∈R)是一個函數。這里要補充講一下，之前的數學家在定義這個函數時，考慮到a=1時為常值函數，沒有太多的研究價值，所以在定義的時候將范圍最終確定為a＞0且a≠0。結合函數的指數形式，也將其名稱定義為指數函數，這也是我們進入高中階段學習的第一個初等函數。請同學們醞釀醞釀，將定義完整表達出來。

設計意圖：依然是圍繞是否是函數，怎樣才是函數，讓學生反復思辨，追根溯源，由特殊到一般，再到特殊，最終實現概念的自主生成，在過程中解決所有疑問。

三、一些思考

形成這一課堂，作為基層教師最易入手的自然是打磨課堂細節。以一堂課的引入部分來說，我所說的細節打磨，不是一定要將情境冗長化處理，也絕不是簡單化處理，而是基于學生的最近發展區，選擇最恰當的處理。

（一）一節課，我們或許更要關注細節

細微處見真章，一節課幾百上千個案例，成千上萬個教師研究過，怎么去整合，怎么去取舍，我們該有怎樣的態度呢？細節處見功夫。例如，本節課的情境拿什么引入最合適？概念生成處a與x 的范圍如何分析？什么時候才最適合交代a≠1？什么時候適合交代（0，1）為定點并問為什么？根據奇偶性得到對稱怎么及時評價？甚至函數研究的路徑要不要提供兩種以及問題的問法？都需要幾經斟酌！基于核心素養下的課堂研究，一線教師究竟有多少時間去吃透，去運用，或成為一種習慣，在我區高中數學名師工作室耗時幾年深入研究的教學模式基礎上，我們或許只要再關注細節，就夠了。

（二）一名教師，我們或許先要關注他的最近發展區

在追求核心素養落實的道路上，是不是年輕教師就要壓擔子？是不是骨干教師就要出成果？教學效果相對落后的教師又該怎樣做才能健康發展？所謂“經師易得，人師難求”，能力的差異，水平的高低是必然存在的，當我們專注于學生的最近發展區時，在進行教師發展培訓時有沒有多關注教師的最近發展區，怎樣讓不同類型、處于不同發展狀況的的教師找到不同的發展目標才是科學的，真正的“以人為本”才是教育上公認的道理。對于一名教師，我們或許先要關注他的最近發展區。

（三）數學作為一種文化，我們依然任重道遠

高中數學作為文化的滲透，該如何去做？一批批學者在努力將數學從簡單的邏輯演繹圈解救出來。回到高中，我們在教科書中見到了一些生活中的數學、歷史中的數學，然而作為一種文化，僅僅是這些嗎？教學不是“抖包袱”，數學文化不僅僅有宏觀的歷史事件，也應有微觀的一些方面，如一些思考方法，軸對稱和古詩、概率和極限思想文化的挖掘都是數學文化的天然案例，還有現代的方面，如人工智能、大數據分析等。作為一線教師，自我審視，任重而道遠。