論數學思想方法在高中函數教學中的有效滲透

■甘肅省張家川縣第二高級中學 王小剛

數學思想方法作為一種有效的教學手段，在數學知識教學中，數學思想方法的有效滲透，可促進學生數學知識的理解，使學生了解函數本質，引導學生運用數學知識解決現實生活中的問題，有效促進學生數學綜合素養的提高。接下來，我主要以高中函數教學為例，具體分析數學思想方法的有效滲透，旨在有效提高高中函數教學質量，促進學生全面發展。

一、高中函數教學中有效滲透分類討論思想

高中函數教學過程中，分類討論思想方法的有效滲透，其立足點是數學具體對象的本質異同。分類討論主要指對數學具體對象按照本質的異同，進行種類的合理劃分，最終得到最優解。以高中函數定義域試題為例，分類討論思想的有效滲透，可通過函數底數討論，確定函數自變量，然后借助分類討論思想，逐步完成不同自變量對面的函數性質來達到，如此既能保證學生思維縝密，引導學生更加嚴謹地對待函數問題，又有利于函數問題的解決。同時，分類討論可將函數問題整體劃分為若干小問題，隨后對若干小問題進行逐一解決，以此降低函數問題的解決難度，最終幫助學生有效解決函數問題。在此過程中，分類討論思想方法的有效應用，一方面能降低的問題難度，促進學生理解；另一方面還有助于鍛煉學生的思維能力，促進學生能力的發展。

例：已知拋物線y=ax2+bx+c 經過點(1，2)。若a*b*c=4，且a≥b≥c，求|a|+|b|+|c|的最小值。教師在講解此問題時，需基于問題本質，從可能出現的若干種情況進行分類討論，在具體討論過程中，教師需圍繞a*b*c=4，將a、b、c 的值進行分類討論：∵a≥b≥c，若a＜0，則b＜0，c＜0，a+b+c＜0，與a+b+c=2 矛盾?！郺＞0?！遙+c=2-a，b*c=4/a，∴b，c 是一元二次方程x2-（2-a）x+4 a=0的兩實根?！摺?(2-a)2-4×4/a≥0，∴a3-4a2+4a-16≥0，即（a2+4）（a-4）≥0，故a≥4。∵a*b*c＞0，∴a，b，c 為全大于0 或一正二負。①若a，b，c 均大于0，∵a≥4，與a+b+c=2 矛盾；②若a，b，c 為一正二負，則a＞0，b＜0，c＜0，則|a|+|b|+|c|=a-b-c=a-（2-a）=2a-2，∵a≥4，故2a-2≥6 當a=4，b=c=-1 時，滿足題設條件且使不等式等號成立。故|a|+|b|+|c|的最小值為6?；谏鲜鼋忸}過程，可知教師的解題思路，在分類思想的有效滲透下，主要將a，b，c 進行分類討論，并引導學生提出不同假設并進行問題答案的討論，得出不同結果，最終結合題目已知條件，最終確定函數的最小值。在此函數解題的過程中，分類討論思想的應用，主要是根據對象的異同，將復雜函數問題通過劃分為若干小問題，簡單化函數問題，以此促進學生問題分析能力與問題解決能力的提高。同時，問題分類討論有助于鍛煉學生的邏輯思維能力。

二、高中函數教學中有效滲透數形結合思想

高中函數教學過程中，數形結合思想應用十分廣泛。函數關系本身屬于抽象屬性關系，通過直觀方式加以呈現，更有利于解決函數問題。簡單來說，教師圍繞函數問題，通過解讀函數的已知條件，以直觀的數字與圖形相結合的方式呈現出來，讓學生通過觀察圖形得出函數問題的答案。這種方法不僅可以降低函數問題的難度，還有利于學生直觀思維的培養。

例：已知點(-1，y1)(-3，y2)(2，y3)在y=3x2+6x+2 的圖像上，則y1，y2，y3的大小關系為( )。

分析過程：教師指導學生結合函數：y=3x2+6x+2=3(x+1)2－1畫出圖像，引導學生結合圖像觀察，最終得出拋物線對稱軸為直線x=-1，進而得出當x=-1時，y 存在最小值。隨后由圖像得出：x=2 時y3的值，比x=-3 時y2值大。因此，本函數題正確答案為y2＞y3＞y。

函數問題解決過程中，所運用的數學思想方法，即數形結合的思想，教師引導學生將拋物線y=3x2+6x+2 畫成圖像，將問題與圖像相結合，最終通過圖像確定y1，y2，y3三個點數值大小關系。數形結合主要是將問題中的數量關系與直觀圖像相結合，一方面有助于學生理解函數問題；另一方面有助于培養學生的抽象思維能力，為學生的全面發展夯實基礎。

三、高中函數教學中有效滲透函數與方程思想

高中函數教學過程中，函數與方程思想的有效滲透，便于教師更好地引導學生解決函數問題，豐富學生函數問題的解決方法，促進學生函數問題解決能力的提高。

例：倘若曲線y=2x+1與直線y=a沒有公共點，求a的取值范圍。

分析過程：教師在講解此函數問題時，可以基于方程角度畫出方程y=2x+1 與方程y=a 的圖像，通過觀察兩個方程圖像，就可以得出a的取值范圍。除上述數形結合的方法之外，還可以將其轉化為方程a=2x+1 無解的問題?！吆瘮祔=2x+1 值域為(1，+∞)，∴當a≤1，－1≤a≤1 時，方程a=2x+1 無解，以此得出a 的取值范圍。在此函數問題解決的過程中，以數形結合思想進行求解，主要通過方程轉化為具體圖像，然后通過觀察圖像，得出最終答案。而在此函數問的題解答過程中，則是以方程思想來解決問題，以已知方程條件為依據，組成新的方程解決問題，能夠有效培養學生的應變能力。

四、高中函數教學中有效滲透舉一反三思想

高中函數教學中，舉一反三思想的有效滲透，便于教師更多地接觸典型例題，且有助于學生從多個維度思考一個問題，從中找到有效的解題方法。尤其是在函數教學中，舉一反三思想方法的有效運用，可以讓學生更加熟練地掌握一類函數的解題方法。同時，數學教師在授課過程中，也需要盡可能給學生拓展一些解題方法，讓學生在解題過程中，真正學會舉一反三，能夠將數學思想方法靈活運用到函數問題的解答過程中。

例如，求直線y=x與函數y=sinx的圖象的交點個數。

分析過程：數學教師在講解此類函數問題時，可以從舉一反三的角度延伸問題，將所求函數圖像交點個數延伸到交點具體坐標，或者交點是否在同一個平面上，交點組成方程及其圖形等。此時，數學教師在對上述延伸問題分析時，需鼓勵學生獨立思考，想一想還有什么問題可以由函數圖像交點延伸而來。同時，數學教師鼓勵學生在原先題目的基礎上添加與之相關的條件，或者直接運用原題目的已知條件進行求解問題的答案。這樣一來，學生即可在數學教師的指導下，多維度地思考數學函數問題，快速解決函數問題：設f(x)=x-sinx，x≥0，對f(x)求導得f′(x)=1-cosx，故f(x)單調遞增，所以f(x)≥f(0)=0；當x＞0時，f(x)＞0，又因為y=x與y=sinx都是奇函數，所以x＜0時，無交點，故只有一個交點。在整個過程中，學生的思維得到充分發散，函數問題的解決十分順利，且有效鍛煉了學生的思維能力。

五、結語

總之，高中函數教學過程中，數學思想方法的有效滲透，能夠有效降低函數問題的難度，進而促進學生函數解題能力的提高。但是高中函數問題涉及的數學思想方法并不唯一，需教師融合多種數學思想方法，有效解決函數問題，才能有效促進學生數學能力的提高。