論“無窮事物”的定量認知（Ⅷ）
——新、舊無窮集合論和數(shù)學分析基礎理論中的三個不同特征

（閩南師范大學 數(shù)學系，福建 漳州 363000）

新無窮理論體系的產(chǎn)生決定了“新數(shù)學分析理論”和“新集合論”的產(chǎn)生——我們將以經(jīng)典無窮理論體系為基礎的“第一、二、三代數(shù)學分析理論”（標準分析前的數(shù)學分析、標準分析、非標準分析）稱之為“現(xiàn)有經(jīng)典數(shù)學分析理論（舊數(shù)學分析理論）”，將以新無窮理論體系為基礎的新數(shù)學分析理論稱之為“第四代數(shù)學分析理論”[1-6]，將以經(jīng)典無窮理論體系為基礎的現(xiàn)有經(jīng)典無窮集合論稱之為“第一代無窮集合論（舊無窮集合論）”，將以新無窮理論體系為基礎的新無窮集合論稱之為“第二代無窮集合論”[7-13].

1 “半阿基米德性”

研究證明，數(shù)學中存在一種“具有可定量認知性質(zhì)的抽象概念與規(guī)律的數(shù)學載體（比如現(xiàn)有數(shù)學中的虛數(shù)、模糊數(shù)、無窮小變量、單子……）”，這些“數(shù)學載體”可參與有窮數(shù)量形式的任何運算、卻又無法知道它們確切的數(shù)值，我們將這種“數(shù)學載體”定義為：具有“半阿基米德性”的數(shù)量形式.數(shù)學史證明，人們需要對那些具有“阿基米德性”或“半阿基米德性”的數(shù)量形式開展各種各樣必要的定性、定量認知與研究[20-41].

2 新、舊數(shù)學分析基礎理論中的幾個同、異之處

2.1 新、舊數(shù)學分析基礎理論中的主要相同之處

新、舊數(shù)學分析基礎理論中存在相同的定性、定量認知動機和相同的定量認知工具，這兩個主要相同之處決定了“第四代數(shù)學分析理論”保留了“第一、二、三代數(shù)學分析理論”自古以來所積累的許多寶貴知識財富[25-34].

2.2 新、舊數(shù)學分析基礎理論中的主要不同之處

雖然“第四代數(shù)學分析理論”保留了“第一、二、三代數(shù)學分析理論”自古以來所積累的許多寶貴知識財富，但是如下三個主要不同之處決定了許多工作思路、具體操作和認知結果必然是不同的——基礎理論的幾個本質(zhì)性區(qū)別決定了新、舊數(shù)學分析理論之間是不可能完全等價的[13-35].

2.2.1 以不同的“無窮理論體系”為基礎理論

由于新數(shù)學分析以新無窮理論體系為基礎，它必然與“潛無窮、實無窮”概念毫無關系——不同的基礎理論決定了新、舊數(shù)學分析理論之間的不等價性.在新數(shù)學分析中，人們以新的、科學的“無窮載體理論”為基礎，在對“與無窮相關的數(shù)量形式”開展定性、定量認知和研究時，必然會產(chǎn)生一些與舊數(shù)學分析理論不同的過程與結果；最重要的是，在新數(shù)學分析中，不可能產(chǎn)生和滋養(yǎng)芝諾悖論家族的任何成員[13-35].

2.2.2 對“與無窮相關的數(shù)學事物（數(shù)量形式）”的定性認知理論與結果的不同

“第四代數(shù)學分析理論”以新無窮理論體系為基礎，新無窮理論體系只承認一種“無窮”概念，與“潛無窮、實無窮”概念毫無關系，與“變量、單子、潛無窮數(shù)、實無窮數(shù)”毫無關系.所以，不存在2500 多年來一直困擾舊數(shù)學分析的如上兩個與“無窮概念—無窮數(shù)量形式”相關的理論問題.在新數(shù)學分析中，參與所有數(shù)量運算的“與無窮相關的數(shù)量形式”是一種用于表示抽象無窮規(guī)律（概念）的存在、具有數(shù)量意義性質(zhì)（半阿基米德性）的“抽象無窮規(guī)律的數(shù)學載體”.它們都是新數(shù)量體系中有明確定義的、具有明確數(shù)量性質(zhì)的數(shù)，而不是將“永遠處于變化中的抽象無窮規(guī)律”作為數(shù)量來運算.這種對“無窮數(shù)學事物”認知與研究思路的改變，解決了舊數(shù)學分析理論體系中無法對“與無窮相關的數(shù)量形式”進行科學、有效與系統(tǒng)的定性認知的致命缺陷.新的“無窮載體理論”決定了在“第四代數(shù)學分析理論”中，人們應該是對具體的“無窮載體”進行定量認知、而非對“既是潛無窮又是實無窮的數(shù)量形式（時隱時現(xiàn)的‘鬼魂’）”進行定量認知；是具體的“無窮載體”之間有數(shù)量上的不同、而非“既是潛無窮又是實無窮的數(shù)量形式（時隱時現(xiàn)的‘鬼魂’）”之間有數(shù)量上的不同.所以，在“第四代數(shù)學分析理論”中，不存在所有芝諾悖論新、舊家族成員，不存在貝克萊悖論家族中的所有成員；根本就不可能存在互相矛盾、五花八門的“無窮”概念及其相關的內(nèi)容.以新無窮理論體系為基礎的“第四代數(shù)學分析理論”依據(jù)“新載體理論”，在對“無窮數(shù)學事物”進行定量認知與研究前，先對“與無窮相關的數(shù)量形式”開展定性研究，分析、了解、確認它們在與無窮相關的數(shù)量類型體系（數(shù)譜）中的位置，它們所具有的數(shù)量性質(zhì)、數(shù)量意義，從而保證了定量研究的科學性與有效性——因為非常清楚的知道它們是什么.所以新數(shù)學分析中不可能存在由于對“無窮事物”定性認知的缺席所必然產(chǎn)生的與定量認知相關的悖論[14-35].

2.2.3 對“與無窮相關的數(shù)學事物（數(shù)量形式）”的定量認知理論與結果的不同

“第四代數(shù)學分析理論”以新無窮理論體系為基礎，所以，新數(shù)學分析中的所有定量認知理論與操作（比如極限論及其相關的操作）不會受到“潛無窮、實無窮”概念的任何不良影響與束縛.新“抽象無窮規(guī)律（概念）的載體”理論的構建與開發(fā)引領我們進入一個新的、系統(tǒng)的對數(shù)學分析中各種各樣“與無窮相關的數(shù)量形式（抽象‘無窮’概念的載體）”的定量認知領域.人類數(shù)學的性質(zhì)與特點決定了人們必須用適合自己的“數(shù)學載體”來表現(xiàn)數(shù)學中所有抽象的“自然規(guī)律、數(shù)學性質(zhì)、概念……”.正是由于這種“抽象事物的載體（比如數(shù)量形式）”的存在，使許許多多“看不見、摸不著的抽象數(shù)學事物”成了“看得見、摸得著的數(shù)學載體”.“無窮”概念進入數(shù)學后，人們只能（必須）用“與無窮相關的數(shù)量載體”來對“無窮性質(zhì)、無窮概念、與無窮相關的抽象事物”進行定量認知.科學家的使命就是不斷研究、了解、完善這種無法拒絕的“抽象事物—抽象事物的載體”科學內(nèi)容，研究相關的載體處理理論與操作技術，使這些科學內(nèi)容可以幫助人類更好的開展對“與無窮相關的客觀事物”的科學、系統(tǒng)定量認知活動.新發(fā)現(xiàn)的“過渡數(shù)、非確切數(shù)”，是人類科學里的一種新的“科學抽象物載體”，是與無窮相關的新數(shù)譜中用來表示“與無窮相關的某類客觀事物”的一種數(shù)量形式、一種“數(shù)學載體”，是極限論所處理的數(shù)學內(nèi)容.“與無窮相關的新數(shù)量體系”是極限論的重要基礎理論之一.新數(shù)學載體“過渡數(shù)、非確切數(shù)”的產(chǎn)生與存在決定了與無窮相關的新數(shù)量體系（數(shù)譜）的產(chǎn)生與存在：零數(shù)、絕對的無0（Number of Zero），無窮小數(shù)（Number of Infinitesimal），過渡小數(shù)（Interim-Small Number，Non-Definite-Small Number），有窮數(shù)Δ（Finite Number），過渡大數(shù)（Interim-Great Number，Non-Definite-Great Number），無窮大數(shù)（Number of Interim-Great），彥數(shù)、絕對的有∞（Number of Yan）.在這個新構建的“與無窮相關的新數(shù)量體系”中：“絕對的無”就是“數(shù)0”的唯一的“數(shù)量性質(zhì)”，就是人們對這類數(shù)量形式的唯一定量認知結果，這決定了人們不需要、不可能對這類數(shù)量形式進行更多的定量認知與研究；由于“有窮數(shù)Δ”是“與‘可定量認知性質(zhì)（阿基米德性）’相關的數(shù)量形式”，這決定了人們必然要對這類數(shù)量形式進行定量認知與各種各樣的研究；由于“過渡數(shù)、非確切數(shù)（比如過渡小數(shù)、過渡大數(shù)”是“與‘可定量認知性質(zhì)（半阿基米德性）’相關的‘無窮規(guī)律’的載體”，所以人們也必然要對這類數(shù)量形式進行定量認知與各種各樣的研究；由于“無窮數(shù)（比如無窮小數(shù)、無窮大數(shù)”是“與‘可定量認知性質(zhì)’無關的‘無窮規(guī)律’的載體”，無法定量認知與研究的“無窮無盡”規(guī)律是這類數(shù)量形式的唯一的“數(shù)量性質(zhì)”，決定了人們不需要、不可能對這類數(shù)量形式進行與“可定量認知載體”相關的任何定量認知與研究；“絕對的有”就是“彥數(shù)∞”的唯一“數(shù)量性質(zhì)”，就是人們對這類數(shù)量形式的唯一定量認知結果，這決定了人們不需要、不可能對這類數(shù)量形式進行更多的定量認知與研究[1-35].

新數(shù)譜的開發(fā)與應用解決了2500 多年來在與無窮相關的數(shù)量形式定量認知過程中致命的“無窮數(shù)學載體缺失”缺陷[20-35].在對數(shù)學分析這個數(shù)學分支中的任何內(nèi)容進行實際定量認知操作之前，人們必須先按“與無窮相關的數(shù)學載體理論（數(shù)譜）”對它們進行真正意義上的“數(shù)學分析”，分析那些“與無窮相關的數(shù)量載體”在與無窮相關的新數(shù)譜中所處的位置，它們所具有的數(shù)量性質(zhì)、數(shù)量意義、表現(xiàn)形式，然后才進行有針對性的定量認知操作（比如在新數(shù)量體系中，許多“x→0 無窮數(shù)學事物”屬于“過渡數(shù)”、被稱之為“過渡小”）.我們的研究證明，正是整個“無窮數(shù)學載體理論（無窮載體—與無窮相關的數(shù)量體系）”缺失，才導致人們在舊數(shù)學分析具體的定量認知過程中，往往混淆了“抽象無窮概念”與“抽象無窮概念的載體”這兩種不同類型的數(shù)學事物，混淆了“數(shù)0”、“過渡數(shù)”、“無窮數(shù)”與“彥數(shù)∞”這四種不同類型的數(shù)量形式，使人們根本就不可能對各種各樣與無窮相關的數(shù)量形式開展科學、有效的定量認知與研究活動，這是導致“第一、二、三代數(shù)學分析理論”中那些懸而未決的悖論家族產(chǎn)生并且繁榮昌盛的一個重要原因[15-17].新構建的“與無窮相關的數(shù)譜”的產(chǎn)生（特別是“過渡小數(shù)、過渡大數(shù)、彥數(shù)”三種新數(shù)量形式的發(fā)現(xiàn)），填補了三代舊數(shù)學分析理論體系中對“與無窮相關的數(shù)量形式”性質(zhì)與存在形式認知上的一個空白，解決了自數(shù)學分析理論創(chuàng)立以來對各種“無窮事物”定量認知過程中各種各樣致命的“‘潛無窮—實無窮’混亂”缺陷[1-35].

3 “第一代無窮集合論”和“第二代無窮集合論”基礎理論中的同、異之處

以新的無窮理論體系為基礎，我們得到新的無窮集合定義；

（1）每一個“無窮集合”由“無窮多個元素（無窮載體）”構成；

（2）每一類“具有特殊性質(zhì)、特殊存在條件、特殊表現(xiàn)形式和特殊關系的無窮載體（無窮元素）”構成了“每一個與眾不同的無窮集合”[13-31].

我們的研究證明，新、舊兩代無窮集合論基礎理論中存在著同、異之處.

3.1 新、舊集合論基礎理論的兩個主要相同之處

新、舊集合論基礎理論有相同的定性、定量認知動機和相同的定量認知工具，這兩個主要相同之處決定了“第二代無窮集合論”保留了“第一代無窮集合論”自古以來所積累的許多寶貴知識財富[25-34].

3.2 新、舊集合論基礎理論的三個主要不同之處

雖然“第二代無窮集合論”保留了“第一代無窮集合論”自古以來所積累的許多寶貴知識財富，但是如下三個主要不同之處決定了新、舊集合論的許多工作思路、具體操作和認知結果必然是不同的——基礎理論的幾個本質(zhì)性區(qū)別決定了新、舊兩代無窮集合論之間不可能是完全等價的[25-34].

3.2.1 以不同的“無窮理論體系”為基礎理論

由于“第二代無窮集合論”以新無窮理論體系為基礎，它必然與“潛無窮、實無窮”概念毫無關系，所以必然不存在“第一代無窮集合論”中無法避免的與“潛無窮、實無窮”概念共存的如上那些導致悖論的因素.“第二代無窮集合論”以新的、科學的“無窮載體理論”為基礎，必然會淘汰“第一代無窮集合論”中的許多錯誤的內(nèi)容、必然會產(chǎn)生一些新的過程與結果.最重要的是，在“第二代無窮集合論”中不可能產(chǎn)生和滋養(yǎng)任何與“潛無窮、實無窮”概念相關的羅素悖論家族成員[24-35].

3.2.2 對“與無窮相關的數(shù)學事物”定性認知理論與結果的不同

由于以經(jīng)典無窮理論體系為基礎的“第一代無窮集合論”無法擺脫“潛無窮、實無窮”概念混淆的束縛，在許多場合中，人們不得不將無窮集合中各種各樣“與無窮相關的數(shù)學事物”都當做由“潛無窮、實無窮”這兩個概念所衍生的“潛無窮數(shù)學事物、實無窮數(shù)學事物”混雜在一起的數(shù)學事物.在“第一代無窮集合論”中，人們無法自圓其說的回答如下兩個與“無窮數(shù)學事物”性質(zhì)相關的認知問題：

（1）應該如何科學認知無窮集合的第二個性質(zhì)——不知如何科學認知互相矛盾的“潛無窮數(shù)學事物、實無窮數(shù)學事物”?

這必然導致互相矛盾的兩種認知行為：一方面否認無窮集合第二個性質(zhì)中“元素—集合”之間的必然關系（完全不知道是因為“具有不同特性的元素”的存在才導致不同無窮集合的存在？），堅決否認不同無窮集合中各自所含元素所具備的存在意義、表現(xiàn)形式、存在條件、相互關系等方面的本質(zhì)性區(qū)別，構造出一種與無窮集合的第二個性質(zhì)相悖的“二次抽象”基數(shù)理論；通過“二次抽象”，將許多無窮集合中各自所含的元素都變成了一堆堆“毫無性質(zhì)區(qū)別、毫無存在條件區(qū)別、毫無表現(xiàn)形式區(qū)別和相互關系區(qū)別、毫無數(shù)量意義的、抽象存在的無窮無盡的‘幾何點’”，保證它們都具有相同的“基數(shù)”而使許多不同的無窮集合中所含的元素數(shù)量都相等.集合中所含的元素經(jīng)過“二次抽象”以后，就都失去了它們原有的各種性質(zhì)（包括“數(shù)量”性質(zhì)），“無窮無盡”成了許多不同無窮集合中各自所含元素數(shù)量的唯一性質(zhì)（正如我們所知道的那樣，所有線段上的點都只是一堆堆“毫無性質(zhì)區(qū)別、毫無存在條件區(qū)別、毫無表現(xiàn)形式區(qū)別和相互關系區(qū)別、毫無數(shù)量意義的、抽象存在的無窮無盡的事物”，所有線段上的點都具有相同的“基數(shù)”，它們的數(shù)量都統(tǒng)一是“無窮無盡”）.所以，在現(xiàn)有經(jīng)典集合論中，通過“二次抽象”后，許多子集與母集中所含的元素數(shù)量都一樣多——許多集合中所含的元素都具有相同的“基數(shù)”，沒有數(shù)量區(qū)別的“無窮無盡”成了它們所含元素數(shù)量的唯一性質(zhì).另一方面卻是突然承認無窮集合第二個性質(zhì)中“元素—集合”之間必然關系，堅決承認無窮集合中元素的性質(zhì)、表現(xiàn)形式、存在條件、相互關系的本質(zhì)性區(qū)別的重要性，承認正是因為“具有不同特性的元素”的存在才導致不同無窮集合的存在；突然否認“二次抽象”理論，不打算對所要認知的無窮集合中所含的元素進行“二次抽象”，從而保證可以應用與“二次抽象”完全無關的T={x|x?x} 理論來找到某些無窮集合中沒有經(jīng)過“二次抽象”、仍然具備其原始特殊性質(zhì)的元素，完成某些無窮集合比另一些無窮集合含有更多元素的證明.比如，實數(shù)集合中所含的無窮多元素比自然數(shù)集合中所含的無窮多元素更多、任何無窮集合中所含的無窮元素比其冪集中所含的無窮元素更少——無窮實數(shù)集合比無窮自然數(shù)集合更無窮、任何無窮集合比其冪集更不無窮…….實際上，在人類數(shù)學現(xiàn)有的數(shù)量體系（數(shù)譜）中根本就不存在沒有具體數(shù)量意義的“基數(shù)”這類數(shù)量形式.研究證明，經(jīng)典無窮理論體系中無法擺脫的“潛無窮、實無窮”概念混淆，決定了康托的“二次抽象”基數(shù)理論與操作無法自圓其說、不具科學性與系統(tǒng)性，這必然導致人們根本就不可能對不同無窮集合中所含元素開展科學、有效、系統(tǒng)的定性與定量研究.

（2）為什么會有互相矛盾、五花八門的“無窮”概念？

由于“第一代無窮集合論”以經(jīng)典無窮理論體系為基礎，人們可以用“生成原理”制造“超窮數(shù)、超超窮數(shù)、超超超窮數(shù)……”的“無窮”概念，也可以用“冪集定理”編造“比較無窮、比較不無窮、更無窮、更更無窮、更更更無窮……”的“無窮”概念.幾百年來，人們一直在努力研究、編造各種各樣的“無窮概念”，在努力研究、編造與“互相矛盾、五彩繽紛的‘無窮’概念”相關的各種形式邏輯、形式語言與“流水線”操作.“第二代無窮集合論”以新無窮理論體系為基礎，新無窮理論體系只承認一種“無窮”概念，與“潛無窮、實無窮”概念毫無關系.“第二代無窮集合論”不僅認為必須對不同無窮集合中的元素進行定量認知與研究，而且認為最重要的是必須對它們的各種性質(zhì)開展科學的定性認知與研究.它始終如一的承認無窮集合第二個性質(zhì)的必要性和科學性，承認“正是與‘二次抽象’完全無關的各種不同類別的無窮元素的存在，才構成各種不同無窮集合”這個科學事實.所以，新集合論中淘汰了“二次抽象”的基數(shù)理論，肯定不同無窮集合中元素的表現(xiàn)形式、存在意義、之間關系的本質(zhì)性區(qū)別與無窮集合之間的必然關系.這種對“元素—集合”之間關系的認知與研究思路的變革，根除了“第一代無窮集合論”沒有對集合中所含元素進行科學、有效與系統(tǒng)的定性認知的致命缺陷.新的“無窮載體理論”決定了在“第二代無窮集合論”中，人們應該是對具體的“無窮載體”進行定量認知、而非對“既是潛無窮又是實無窮的抽象物（時隱時現(xiàn)的‘鬼魂’）”進行定量認知；是具體的“無窮載體”之間有數(shù)量上的不同、而非“既是潛無窮又是實無窮的抽象物（時隱時現(xiàn)的‘鬼魂’）”之間有數(shù)量上的不同.所以，在“第二代無窮集合論”中，必然存在許許多多數(shù)量上“大—小，多—少”不同的“無窮載體”；實數(shù)集合中的元素（無窮載體）比自然數(shù)集合中的元素（無窮載體）多，任何集合中的元素（無窮載體）比其冪集中的元素（無窮載體）少，許多母集中的元素（無窮載體）必然會比子集中的元素（無窮載體）多…….集合論中根本就不應該存在各種各樣的“無窮”概念、不應該存在“超窮數(shù)、超超窮數(shù)、超超超窮數(shù)……”、“更無窮、更更無窮、更更更無窮”……這類內(nèi)容.“第二代無窮集合論”在新無窮理論體系的框架內(nèi)承認如上所述無窮集合的三個性質(zhì).依據(jù)“新無窮載體理論”，人們在對集合論中與“無窮”概念相關的數(shù)學事物進行定量認知與研究前，必須先對它們開展定性研究，從而保證了定量認知的科學性與有效性——因為人們可以非常清楚的知道集合論中與“無窮”概念相關的數(shù)學事物是什么，所以新集合論中不可能存在由于對“無窮事物”定性認知的缺席所必然產(chǎn)生的與定量認知相關的悖論[19-34].

3.2.3 對“與無窮相關的數(shù)學事物”定量認知理論與結果的不同

由于“第一代無窮集合論”以經(jīng)典無窮理論體系為基礎，互相矛盾的“潛無窮、實無窮”概念使人們在對無窮集合中的元素進行定量認知、研究時，根本就不可能知道所認知的數(shù)學事物是“潛無窮數(shù)學事物”或“實無窮數(shù)學事物”或是二者的混合物或者二者都不是的數(shù)學事物.所以，人們在“第一代無窮集合論”中對數(shù)學事物進行定量認知、研究時，非常自由、隨心所欲：既可以證明有理數(shù)集合中所含元素與自然數(shù)集合中所含元素一樣多，也可以證明有理數(shù)集合中所含元素比自然數(shù)集合中所含元素多；既可以用T={x|x?x}理論來制造羅素悖論，也可以用T={x|x?x}理論來制造“冪集定理”、編造“永遠有空房間的希爾伯特旅館”故事——將羅素悖論家族中的所有悖論成員都“嚴格數(shù)學化”而將它們都變成各種各樣的“羅素定理”！由于與應用數(shù)學關系不大，人們根本就無法驗證集合論中許多實際定量認知操作與結果的科學性.所以，在現(xiàn)有經(jīng)典無窮集合論的定量認知過程中所存在的不科學內(nèi)容遠比現(xiàn)有經(jīng)典數(shù)學分析中的多、定量認知行為可以更隨心所欲[1-35].

在以新無窮理論體系為基礎的“第二代無窮集合論”中，“無窮載體理論”是人們在對無窮集合中的許多“與無窮相關的數(shù)學事物”進行定量認知、研究的基礎理論.新數(shù)學載體“過渡集（Non-Definite-Set，Interim-Set）”的產(chǎn)生與存在決定了新集合類型體系（集合譜系）的產(chǎn)生與存在：空集（Empty Set），有窮集（Finite-Set），過渡集（Non-Definite-Set、Interim-Set），無窮集（Infinite Set），彥集（Yan Set）[7-41].在這個新構建的“與無窮相關的集合譜系”中，由于“空集”中不含有任何元素，“元素數(shù)量為零”就是人們對這類集合中所含元素數(shù)量的唯一認知結果，決定了人們不需要、不可能對這類集合中所含元素數(shù)量進行更多的定量認知與研究；由于“有窮集”中含有“與‘可定量認知性質(zhì)（阿基米德性）’相關的數(shù)學載體”，許多不同的有窮集合中含有數(shù)量不同的元素，人們必然要對這類集合中所含元素數(shù)量進行定量認知與各種各樣的研究；由于“過渡集”中所含的元素是“與‘可定量認知性質(zhì)（半阿基米德性）’相關的‘無窮規(guī)律’的載體”，所以人們也必然要對這類集合中所含元素數(shù)量進行定量認知與各種各樣的研究；由于“無窮集”中所含的元素是“與‘可定量認知性質(zhì)’無關的‘無窮規(guī)律’的載體”，無法定量認知與研究的“無窮無盡”規(guī)律是這類集合中所含元素的唯一的“數(shù)量性質(zhì)”，決定了人們不需要、不可能對這類集合中所含元素數(shù)量進行更多的定量認知與研究；而在“彥集”中，“毫無類別、性質(zhì)之差的宇宙萬物”就是這種集合所含的元素（只承認萬物的存在），決定了人們不需要、不可能對這類集合中所含元素數(shù)量進行任何定量認知與研究.我們的研究證明，“第一代無窮集合論”中整個“無窮數(shù)學載體理論（無窮載體—集合譜系）”缺失，導致人們在具體的定量認知過程中，往往混淆了“抽象無窮概念”與“抽象無窮概念的載體”這兩種不同類型的數(shù)學事物，混淆了“過渡集”、“無窮集”與“彥集”這三種不同類型的集合，使人們根本就不可能對各種各樣無窮集合中所含的元素開展科學、有效的定量認知與研究活動，這是導致“第一代無窮集合論”中那些懸而未決的悖論家族產(chǎn)生的重要原因之一[15-17].

以新無窮理論體系為基礎的“第二代無窮集合論”中的所有定量認知理論與操作（比如“一一對應理論”和“極限論”）不可能受到“潛無窮、實無窮”概念的任何不良影響與束縛.新“無窮載體（比如與無窮相關的新集合譜系、新數(shù)譜）”理論的構建與開發(fā)引領我們進入一個新的、系統(tǒng)的對“無窮集合中所含元素數(shù)量”的定量認知領域，使我們可以對集合論中各種各樣的“‘無窮’載體”開展科學、有效、系統(tǒng)的定量認知與研究.在對“集合論”這個數(shù)學分支中的任何內(nèi)容進行實際定量認知操作之前，人們必須先按“無窮載體理論”對它們進行真正意義上的“數(shù)學分析”，核對、分析這些以“無窮數(shù)學載體”形式存在的“與無窮相關的數(shù)學事物”在與無窮相關的數(shù)量類型體系（數(shù)譜）、集合類型體系（集合譜）中的位置，它們所具有的數(shù)量性質(zhì)、數(shù)量意義、表現(xiàn)形式，然后才進行有針對性的定量認知操作（比如有理數(shù)集合、實數(shù)集合、自然數(shù)集合就屬于，它們各自所含的元素數(shù)量不同；而由“幾何點”、“常數(shù)1”所構成的無窮集合就都屬于，“無窮無盡”是這類無窮集合中所含元素的唯一“數(shù)量性質(zhì)”）.新構建的與無窮相關的數(shù)譜和集合譜的產(chǎn)生，填補了“第一代無窮集合論”中對“與無窮相關的數(shù)學事物”性質(zhì)與存在形式認知上的一個空白，解決了自無窮集合論創(chuàng)立以來對各種“無窮事物”定量認知過程中各種各樣致命的“‘潛無窮’—‘實無窮’混亂”所導致的缺陷.

4 結論

我們的研究證明，自古以來人們一直沒有注意到以“潛無窮、實無窮”為基礎的現(xiàn)有經(jīng)典無窮理論體系基礎理論中的缺陷.所以，不可能了解到以經(jīng)典無窮理論體系為基礎的現(xiàn)有經(jīng)典無窮集合論和經(jīng)典數(shù)學分析理論中存在完全相同的“無窮事物”定量認知缺陷，不可能了解到這兩個數(shù)學分支中與“無窮”概念相關的各種懸而未決的悖論家族之間的必然關系，根本就不可能找到解決這些悖論家族成員的科學方法——第二次、第三次數(shù)學危機在以經(jīng)典無窮理論體系為基礎的現(xiàn)有哲學和數(shù)學理論體系中是不可解的.以新無窮理論體系為基礎的第四代數(shù)學分析和第二代無窮集合論的產(chǎn)生，是人類科學中正常（必然）發(fā)生的新陳代謝活動，而非對現(xiàn)有經(jīng)典數(shù)學分析與集合論的全盤否定.但是，不同的基礎理論決定了新、舊數(shù)學分析之間不可能完全等價，決定了新、舊無窮集合論之間也不可能完全等價.