CPFS 結(jié)構(gòu)理論下的“正弦定理”教學(xué)設(shè)計

（喀什大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，新疆 喀什 844000）

0 引言

新課改的實施，將普通高中學(xué)生數(shù)學(xué)所用的全日制普通高中教材更換為“普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書”，使得高中數(shù)學(xué)課程無論是教材內(nèi)容還是教材結(jié)構(gòu)都發(fā)生了較大的變化.對于“解三角形”這一模塊來說，從結(jié)構(gòu)上新課標(biāo)將其重新整合安排在必修五的第一章節(jié)，在已有三角函數(shù)、平面向量的基礎(chǔ)上進行學(xué)習(xí)；內(nèi)容上相比以往大綱版教材則更加關(guān)注運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何有關(guān)的實際問題[1].相比之下，新教材更加關(guān)注知識的運用，契合新課標(biāo)所提出的“四基四能”.

“解三角形”作為高考中每年必考內(nèi)容，其重要程度可想而知.筆者分析了近幾年的高考試題后，發(fā)現(xiàn)在解題中需要運用正弦定理的頻率非常高.高考試題中選擇、填空題主要考查公式的簡單運用，試題并不算難，學(xué)生解決起來也相對較為容易；而在解答題中，卻主要考查學(xué)生的綜合運用能力，試題綜合性強，具有一定的解答難度.筆者通過試卷調(diào)查發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)學(xué)生對正弦定理公式掌握較好，但是運用并不理想，總會出現(xiàn)一些錯誤.這意味著大多數(shù)學(xué)生對于定理的掌握仍停留在表面，對于一個概念或命題不能尋找與它等價或具有強（弱、廣義）抽象關(guān)系的其它概念或命題，頭腦中沒有形成良好的知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò).

1 CPFS 結(jié)構(gòu)理論概述

2002 年，南京師范大學(xué)的喻平教授，根據(jù)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理特征，創(chuàng)新性地提出了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理的CPFS 結(jié)構(gòu)理論.個體的CPFS 結(jié)構(gòu)包含概念域、概念系、命題域和命題系.它是學(xué)習(xí)者在腦海里內(nèi)化的一種數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)，是對數(shù)學(xué)陳述性知識和程序性知識的一種表征.多項研究表明，學(xué)習(xí)者個體的CPFS 結(jié)構(gòu)對他們的數(shù)學(xué)問題表征、自我監(jiān)控、學(xué)習(xí)遷移、探究問題、數(shù)學(xué)理解等方面都有正向積極的意義.

在概念學(xué)習(xí)方面，一個概念與它所有等價的概念所形成的圖式，叫概念域；一組具有強抽象、弱抽象和廣義抽象關(guān)系的概念網(wǎng)絡(luò)圖示，叫概念系.在命題學(xué)習(xí)方面，個體頭腦中形成關(guān)于一個數(shù)學(xué)命題的一組等價命題的圖式叫做命題域；如果一組命題中，每一個命題都至少與其它命題有推出關(guān)系，那么這組命題的圖式叫做命題系.[2]

個體CPFS 結(jié)構(gòu)是問題解決的基礎(chǔ)，對解題效果有直接明顯的影響.對于概念學(xué)習(xí)，如果學(xué)習(xí)者對概念沒有深度的了解，沒有形成完善的概念域和概念系，那么在面對一個概念從另一個方向來描述的問題，只會不知所措.同樣，在一組等價命題中選出某些命題去解決不同的問題時，理論上說是等價的，但解題的難度卻大相徑庭.[3]

因此，筆者提出基于CPFS 結(jié)構(gòu)理論下“正弦定理”的教學(xué)設(shè)計，幫助學(xué)生構(gòu)建良好的知識網(wǎng)絡(luò)體系，在腦海里形成良好的CPFS 結(jié)構(gòu)，提高解三角形中“正弦定理”的運用能力.

2 基于CPFS 結(jié)構(gòu)理論下“正弦定理”教學(xué)設(shè)計

2.1 教材分析

“正弦定理”內(nèi)容位于“普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書”數(shù)學(xué)必修5 第一章“解三角形”中的第一節(jié).正弦定理是在學(xué)生已有銳角三角函數(shù)、向量及解直角三角形等命題的基礎(chǔ)上，經(jīng)歷進一步對三角形邊角關(guān)系的探索、發(fā)現(xiàn)并習(xí)得的，并為學(xué)生下一步學(xué)習(xí)“余弦定理”奠定了基礎(chǔ).因此，正弦定理在教材中起著承上啟下的重要作用.

2.2 學(xué)情分析

處于這一學(xué)習(xí)階段的學(xué)生具有思維活躍廣闊、注意力穩(wěn)定、學(xué)習(xí)自我意識強等優(yōu)點，同時也具有數(shù)學(xué)思維能力較差、抽象概括能力不足等缺點.但是大部分學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣較高，學(xué)習(xí)適應(yīng)度較高，且在已有三角函數(shù)的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容，應(yīng)該并不困難.

學(xué)生在學(xué)習(xí)正弦定理前，已經(jīng)會用銳角三角函數(shù)解決一些簡單的測量問題，但是在實際生活中，我們還會遇見其他的測量問題.這時候再用原來所學(xué)知識來解決就不夠用，在此基礎(chǔ)上進行正弦定理的學(xué)習(xí)，學(xué)生接受起來更加自然合理.

2.3 教學(xué)目標(biāo)

（1）知識與技能目標(biāo)：掌握和運用正弦定理；

（2）過程與方法目標(biāo)：經(jīng)歷探索—發(fā)現(xiàn)—證明正弦定理的過程，獲得由特殊到一般的思維方式，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)基本思想，獲得基本學(xué)習(xí)經(jīng)驗；

（3）情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)：在正弦定理的發(fā)現(xiàn)和探索過程中，發(fā)現(xiàn)正弦定理蘊含的數(shù)學(xué)美；加強數(shù)學(xué)與實際生活的聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)情懷.

2.4 教學(xué)重難點

重點：正弦定理及其應(yīng)用.

難點：正弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程.

2.5 教學(xué)過程

2.5.1 情境引入

問題1：每年農(nóng)歷八月十五，我們都會過一個傳統(tǒng)的節(jié)日——中秋節(jié).說到中秋節(jié)，就不禁想到古代嫦娥奔月的故事.那同學(xué)們想過嫦娥從地球到月球到底飛了多遠嗎？月球到地球的距離是多少呢？

問題2：其實古時候的天文學(xué)家也思考過這個問題，并且解決了這個問題.法國天文學(xué)家拉朗德及其學(xué)生拉卡伊面對這個問題時，就曾用一種數(shù)學(xué)的“簡便工具”來解決這個問題.大家想知道他們是怎樣解決的嗎？

（教師提問，學(xué)生回答.教師借助地月距離這一典型情景，引出課題.）

2.5.2 探索新知

思考：我們在之前學(xué)習(xí)過三角形的哪些邊角數(shù)量關(guān)系？

（教師提出問題，引導(dǎo)學(xué)生回顧之前所學(xué)的與三角形相關(guān)的概念或命題，為之后構(gòu)建命題系做好鋪墊.）

第一步 探索定理.

問題：我們不能直接得到一般三角形中的邊角關(guān)系，就先考慮直角三角形這一特殊情形.如圖1 所示，在Rt△ABC 中，∠C 是最大的角，他所對的斜邊c 是最大的邊，該怎樣來尋找其中的邊角數(shù)量關(guān)系呢？

圖1

在正弦定理中，有

所以asinB＝bsinA，得到

又∠C＝90°，sinC＝1，所以

思考：在證明過程中我們用到了什么數(shù)學(xué)方法？如果是一般的三角形，上面的式子還成立嗎？

（教師引導(dǎo)學(xué)生利用歸納法證明直角三角形中的正弦定理，之后提出問題，引起學(xué)生思考一般情況下式子是否成立？）

實驗探究：利用幾何畫板做出一個三角形，測量出三角形的三邊邊長和三個角的角度，隨機拖動三角形某個頂點，改變?nèi)切蔚膬蓚€角度和邊長，觀察邊長及其對應(yīng)角的正弦值的比值情況，見圖2.

（教師利用幾何畫板示范，無論三角形的三邊或角度怎樣變化，各邊與其所對角的正弦的比依舊相等.借此以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時也為之后證明一般三角形中的正弦定理做好鋪墊.）

圖2

第二步 證明定理.

思考：剛剛我們利用幾何畫板得出了三角形中各邊和它所對角的正弦的比相等，那我們該如何證明它呢？

問題1：如圖3 所示，當(dāng)△ABC 是銳角三角形時，該如何證明呢？依據(jù)三角函數(shù)的定義，是否可以構(gòu)造直角三角形來解決？

圖3

設(shè)BC 上的高是AD，如圖3 所示.根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義有，

所以bsinC＝csinB .類比直角三角形中正弦定理的證明方法，可得，在△ABC 中，

問題2：如圖4 所示，在鈍角三角形中呢，是否可以同樣根據(jù)構(gòu)造直角三角形來證明？請同學(xué)們獨立探索，能夠證明出正弦定理嗎？

圖4

設(shè)BC 的延長線上的高是AD，如圖4 所示.根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義有

所以bsinC＝csinB.

類比直角三角形中正弦定理的證明方法，可得在△ABC 中有

第三步 知識歸納.

正弦定理 在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即

一般地，把三角形的三個角A，B，C 和它們的對邊a，b，c 叫做三角形的元素[4].已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形[4].

思考：利用正弦定理，可以解決一些什么樣的解三角形問題？請大家小組之間相互討論，歸納出你們發(fā)現(xiàn)的問題.

（教師引導(dǎo)學(xué)生利用類比的數(shù)學(xué)思想方法，證明出一般情況下的正弦定理.之后，引導(dǎo)學(xué)生歸納出相關(guān)的知識點，在已有命題的基礎(chǔ)上，通過一系列的證明過程，推出新的命題.）

2.5.3 典型例題

例1 已知河的對岸分別有兩棵大樹，現(xiàn)在工作人員只有卷尺和測角儀，在不過河的情況下，如何測得A、B 兩樹之間的距離？

圖5

假設(shè)AB＝12 m，∠A＝60°，∠C＝75°，你能計算出樹之間的距離嗎？

例2 在△ABC 中，已知a＝25 cm，b＝32 cm，A＝45°，解三角形.

由教師給出例題，并帶領(lǐng)學(xué)生計算，歸納出解題步驟和解題類型.

2.5.4 練習(xí)鞏固

練習(xí)題：

（1）在△ABC 中，已知a＝30 cm，c＝60 cm，A＝30°，解三角形.

（2）在△ABC 中，已知A＝45°，B＝30°，c＝30 cm，解三角形.

教師給出練習(xí)，學(xué)生自行作答.教師觀察學(xué)生的做題情況，給予及時的點撥和糾正.

2.5.5 課堂小結(jié)

教師提問：

（1）通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你知道什么是正弦定理嗎？

（2）正弦定理是怎么來的？

（3）在證明過程中，你使用了哪些數(shù)學(xué)思想方法?

由教師提問，學(xué)生回答.教師對學(xué)生的回答進行歸納，引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)知識，加深學(xué)生對正弦定理的理解.

2.5.6 作業(yè)布置

基礎(chǔ)題：

（1）教材上相關(guān)課后練習(xí)題.

（2）尋找其他證明正弦定理的方法.

能力題：

（1）教材上相關(guān)課后練習(xí)題.

（2）已知△ABC的兩邊a，c和∠B的大小，你能解三角形嗎？

作業(yè)分基礎(chǔ)題和能力題，體現(xiàn)因材施教的教學(xué)原則.基礎(chǔ)題中留下任務(wù)，讓學(xué)生在尋找其它的證明方法的過程中，進一步豐富命題域，加強對命題的掌握；能力題中留下思考，為下一節(jié)學(xué)習(xí)余弦定理做好鋪墊.

3 總結(jié)

本文基于CPFS 結(jié)構(gòu)理論下“正弦定理”的教學(xué)設(shè)計，注重正弦定理的產(chǎn)生和證明過程，將一組具有內(nèi)在聯(lián)系的命題按等價關(guān)系、強抽象關(guān)系、弱抽象關(guān)系和廣義抽象關(guān)系進行梳理，建立了該組命題的陳述性知識網(wǎng)絡(luò)[5].利用幾何證明的方法，引導(dǎo)學(xué)生去經(jīng)歷正弦定理的產(chǎn)生過程，理清不同情況下如何證明三角形的正弦定理.課后作業(yè)讓學(xué)生自己去尋找其他的證明方法，既鍛煉了他們的自學(xué)能力，又可以豐富他們的命題域.本設(shè)計基于學(xué)生已有的三角函數(shù)知識體系，繼續(xù)學(xué)習(xí)新的知識，形成如圖6 所示的知識體系.本文基于CPFS 結(jié)構(gòu)理論下的教學(xué)設(shè)計，能夠幫助學(xué)生構(gòu)建良好的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，提高知識表征能力.

圖6