二元函數求最值的方法探討

李清華 盧艷華

二元函數的最值問題，在近幾年的高考中經常出現，一般難度較大，涉及函數、方程、不等式、線性規劃等知識，綜合性較強. 本文對大家已經很熟悉的運用基本不等式求最值的常見結構不再贅述，主要結合幾道例題闡述幾種形式較為復雜的二元函數的最值問題.解題過程中滲透著重要的數學思想方法：轉化與化歸、函數與方程、數形結合等基本思想方法.下面將結合例題進行闡述，供大家參考.

一、轉化與化歸

轉化與化歸的思想方法，就是在研究和解決數學問題時采用某種方法將問題變換使之轉化，進而得到解決的方法.一般總是將難解的問題轉化分解變形為較容易解決的問題.

例1.已知正實數x，y滿足x+y=xy-1，求x+2y的最小值.

分析：已知兩個變量存在等量關系，可通過代入消元將二元函數的最值問題轉化為一元函數的最值問題，此時一定要注意消元后變量的取值范圍.

當且僅當x=3，y=2時取到最小值7.

例2.已知實數x，y滿足x2+3y2+2xy=1,求x+2y的最大值.

分析：已知條件中存在平方和的結構，可考慮利用三角換元，將二元函數的最值問題轉化為三角函數的最值問題，利用輔助角公式和三角函數的有界性得到目標函數的最值.

解：由已知x2+3y2+2xy=1，

可得（x+y）2+2y2=1，

例3.已知x，y是實數，滿足x2+4y2+2xy=1，求x+2y的最大值.

分析：當兩個變量很難拆分，我們可以利用整體思想統一考慮，觀察已知條件或目標函數的特征，可以轉化為基本不等式整體求解.

解：已知x2+4y2+2xy=1，可變形為

（x+2y）2-1=2xy，

∴（x+2y）2-1=x·2y≤，

∴（x+2y）2≤，

總結：分析問題時，要首先觀察已知條件和目標函數的主要特征，當問題難以直接解決時，我們可以通過消元、換元或整體代換等方法，將復雜的問題轉化與化歸為我們熟知的結論和方法.這是解決的一個方向和角度.

二、函數與方程

函數思想是指用函數的概念和性質分析問題、轉化問題和解決問題；方程思想是將問題轉化為數學模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解.有時，需要通過函數與方程的互相轉化，才能達到解決問題的目的.

分析：分析方程兩個變量的關系是比較復雜的，我們觀察已知條件和目標函數的關系，可以通過換元，將問題轉化為一元二次方程有實數解的問題，利用韋達定理求得目標函數的最值.

即：（t+4）x2-10tx+3t2+2t=0有正數解，由韋達定理可知，只需要即可，

總結：函數與方程的思想方法，是解決變量之間變化規律及求最值問題的通性通法，應用非常廣泛，同學們需要在解決問題的過程中不斷積累和總結.

三、數形結合

數形結合的思想方法就是用聯系的觀點，根據數的結構特征，構造出與之相適應的圖形，并利用圖形的性質和規律解決“數”的問題；或將圖形的部分信息或全部信息轉換為“數”的信息，弱化或消除“形”的推理，從而將“形”的問題轉化為數量關系來解決.

分析：利用已知條件或要研究的目標函數的幾何意義，將問題轉化為分析圖形的幾何特征，從而得到二元函數的最值.

解：由已知條件可得，動點P（x，y）滿足到A（1，0）與B（0，2）的距離之和為，又，所以點P在線段AB上，即在直線y=-2x+2（0≤x≤1）上，且x2+y2+2x=（x+1）2+y2-1的幾何意義即為點P（x，y）到（-1,0）的距離的平方減去1，所以x2+y2+2x的最小值為.

總結：給“數”的問題以直觀的圖形描述，揭示出問題的幾何特征，就能變柚象為直觀；給“形”的問題以數的度量，分析數據之間的關系，更能從本質上深刻認識“形”的幾何屬性.在解決問題的過程中，借助數形結合的等價轉化是一種捷徑.

二元函數的最值問題雖然復雜，但只要組心觀察，認真思考、整合，我們就能找到很好的方向和方法.遇到問題時多思考，解決問題時多總結、反思，這樣的積累和反思，會讓我們的知識結構越來越明朗，思維主線及脈絡越來越清晰，分析和解決問題的能力不斷提高.