基于MATLAB 的鋼-混凝土組合梁截面優化

宗廷博 董芳菲

（1.中國建筑一局（集團）有限公司， 北京 100000）

（2.西京學院土木工程學院， 陜西 西安 710123）

0 引言

近年來，鋼一混凝土組合梁結構以其優越的結構形式得到了廣泛應用，但有關組合梁結構優化的研究僅限于截面尺寸方面的理論研究，且多采用拉格朗日乘子法[1-2]或有限元法[3]求解，文獻[1]進行撓度計算時，采用了換算截面法，沒有考慮滑移效應對撓度的影響。文獻[4]采用折減剛度系數考慮了滑移效應對撓度的影響，但是計算復雜，優化程序調試繁雜，結構優化是實現“安全、經濟、適用”設計目標的有效途徑。本文運用MATLAB 優化函數分析了有效發揮組合梁抗彎承載力和降低截面尺寸的多目標優化問題。并以簡化的折減剛度系數來考慮滑移效應的影響，計算簡單，優化程序容易調試，易于被工程設計人員掌握。

1 構建數學模型

1.1 建立目標函數

組合梁的混凝土翼緣可以帶托板，也可以不帶托板。一般而言，帶托板的組合梁雖然材料較省，但托板的構造復雜。不帶托板的組合梁施工方便。本文選取不帶托板的組合梁。優化參數模型由圖1 所示，控制組合梁截面的設計變量為 ix（i=1，2，3，4，5，6，7，8），將設計變量寫成矢量：

圖1 鋼-混凝土組合梁截面設計

鋼-混凝土組合梁截面優化設計的目的是滿足規范設計要求的前提下，造價最小。故取（只考慮購買材料的費用）造價高低來評價鋼-混凝土組合梁設計的優劣，目標函數為：

式中 pc表示混凝土板的價格， ps表示鋼梁價格，l 為簡支梁的跨長。

1.2 設定約束條件

1.2.1 幾何約束條件

1）鋼梁與組合梁高度比約束

組合梁截面的高度不宜超過鋼梁高度的2.5 倍，即

2）組合梁高跨比約束

組合梁截面的高度與其跨度的比值不應大于 l/15，

3）鋼梁截面板件的寬厚比約束

為保證鋼梁受壓翼緣不發生局部失穩，鋼梁上下翼緣的寬厚比及鋼梁腹板的寬厚比應滿足：

4）設計變量上下限約束

式中 xmin為設計變量的下限， xmax為設計變量的上限。

1.2.2 變形約束條件

組合梁的撓度計算采用彈性理論，施工時鋼梁下有臨時支撐，只考慮長期荷載的作用效應。在均布荷載q 的作用下，鋼-混凝土簡支梁的撓度計算公式為：

文獻[1]進行撓度計算時，采用了換算截面法，沒有考慮滑移效應對撓度的影響。文獻[4]采用折減剛度系數考慮了滑移效應對撓度的影響，但是計算復雜，優化程序調試繁雜。本文采用文獻[5]提出的建議方案進行計算。截面剛度B 可用下式表示：

式中 Ieq為組合梁的換算截面慣性矩；為剛度折減系數；荷載長期作用=0.85；

得：

(11) [f] 為容許的撓度限值，主梁為0.0025l ，次梁為0.004l 。

1.2.3 受彎承載力約束條件

受彎承載力按塑性設計方法計算。按照中和軸在混凝土翼板還是鋼梁可分為一類截面和二類截面，設 x7是混凝土翼板的有效寬度。

一類截面表示塑性中和軸在混凝土翼板中通過，即

二類截面表示塑性中和軸在鋼梁內通過，限制中和軸只在腹板通過，即

在均布荷載q 的作用下，可算得簡支梁產生的最大彎矩 Mmax= 0.125ql2,塑性抗彎承載力約束條件為： M >Mmax

1.2.4 抗剪承載力約束條件

組合梁的塑性抗剪承載力由腹板全部承擔，由下式計算：

其中 fvp為塑性設計時鋼材抗剪強度設計值，取0.9 fv， fv為鋼材抗剪強度設計值。

在均布荷載 q 的作用下， Vmax= 0.5ql ，抗剪承載力約束條件為：V(x)> Vmax(15)

2 優化數學模型的建立

（1）一類截面優化數學模型：

（2）二類截面優化數學模型：

3 優化算例

某鋼-混凝土簡支組合梁（主梁）承受20kN/m的力，計算跨度為4m，混凝土采用C20，造價為300 元/m3，鋼梁采用 Q235，造價為40000 元/m3。按完全剪力連接設計抗剪連接件，只考慮荷載的長期作用，求組合梁的最優截面設計[6]。結果見表2 及表3.

表設計上下限

表2 一類截面程序設計優化結果

表3 二類截面程序設計優化結果

4 結語

從計算結果看，應用基于MATLAB 的優化算法使得兩類截面的優化數學模型均取得很好的優化效果，最終達到了優化的目的，說明這種基于MATLAB 的優化算法應用于優化數學模型時的有效性。

通過運用基于MATLAB 的優化算法，實現鋼-混凝土簡支組合梁高效快速優化設計，該方法在不改變鋼一混凝土組合梁性能的前提下可適當的降低造價，有利于鋼一混凝土組合梁結構的推廣應用。

從優化模型的建立來看，該種方法采用在建立基本目標函數的同時，引進幾何約束條件、變形約束條件、抗剪承載力和受彎承載力等條件進行組合，再建立基MATLAB 優化算法的優化模型，最終得到優化結果，優化過程容易掌握，這種方法也容易推廣。