基于微分等價遞歸算法的橋梁體系耐久性可靠度動態評估

黃海新，孫文豪，李環宇，程壽山

(1.河北工業大學 土木與交通學院，天津 300401；2.交通運輸部 公路科學研究所，北京 100080)

耐久性是體現混凝土橋梁結構正常運營及服役年限的重要方面，能計入影響因素隨機特性的可靠度是耐久性評定的重要指標[1-4]。但對復雜橋梁結構體系而言，大量的組成構件導致其失效路徑眾多且彼此間存在相關性，可靠度求解難度很大[5]，而微分等價遞歸算法[6]是解決這一問題的有效途徑。李昕等[7]對標準導管架平臺進行安全評價，采用微分等價遞歸算法獲得其系統可靠度。劉揚等[8]采用微分等價遞歸算法對一簡支鋼梁在均布荷載下的承載能力進行了分析，快速識別出其主要失效模式。陳向前等[9]采用微分等價遞歸算法高效并精確地生成雙層框架的當量失效狀態。目前，該算法主要限于對結構當前靜態承載能力評定方面的應用，尚未引入到具有明顯時變特征的結構體系耐久性可靠度評估中。

在碳化耐久性評估方面，貝葉斯方法能考慮構件動態變化特性并能做出適時更新，能將橋梁客觀檢測數據與主觀先驗模型相融合，并能計入檢測信息和實際信息的誤差[10-16]。劉均利等[10]通過貝葉斯方法根據檢測信息對各碳化模型權重進行更新，降低了模型的隨機性。李英民等[11]等用貝葉斯方法對混凝土試件的碳化規律進行評測。樊學平等[12]采用貝葉斯動態模型對橋梁中一片主梁進行了健康檢測和評價。可見，貝葉斯方法已構建出了信息動態更新的理論框架，在修正模型以提升橋梁工況預測精度方面已展現出良好的應用前景，但主要集中于構件層次的動態評估。

為實現對結構體系的耐久性可靠度動態評估，本文結合微分等價遞歸算法在體系可靠度求解和貝葉斯方法在信息更新方面各自的優勢，將微分等價遞歸算法嵌入碳化深度動態預測模型中，建立了結構體系碳化耐久性可靠度評估模型和計算流程，并基于MATLAB平臺開發了計算程序。通過對上承式鋼筋混凝土拱橋構件和體系的碳化耐久性分析，初步顯示了所提方法對工程結構體系動態更新、危險構件篩選和維護優先次序確定方面的重要價值。

1 碳化深度貝葉斯動態線性模型的建立

1.1 貝葉斯動態線性模型簡介

貝葉斯動態模型是由英國統計學家Harrison教授和Stevens教授提出的，其功能可實現對未來數據的動態概率預測。模型主要由式(1)、式(2)兩個方程確定[10-12]。

觀測方程：

yt=FtTθt+vt,(vt～N[0,Vt])

(1)

狀態方程：

θt=Gtθt-1+ωt,(ωt～N[0,Wt])

(2)

式中：yt表示t時刻的觀測數據；θt為t時刻的狀態；Ft為t時刻狀態與觀測數據之間的關系；vt為t時刻的測量誤差；Gt描述了狀態參數從t-1時刻到t時刻的變化；ωt則描述了狀態變化過程中的隨機性。對于常用的時間序列動態線性模型，Ft,Gt均具有平穩性。

具體公式可由貝葉斯定理推導。

1)一步預測和后驗分布

①t-1時刻后驗分布

(θt-1/Dt-1)～N[mt-1,Ct-1]

(3)

②t時刻先驗分布

(θt/Dt-1)～N[at,Rt]

(4)

式中：

at=Gtmt-1；Rt=GtCt-1GtT+Wt

③t時刻一步預測分布

(yt/Dt-1)～N[ft,Qt]

(5)

式中：ft=FtTat；Qt=FtTRtFt+Vt

④t時刻后驗分布

(θt/Dt)～N[mt,Ct]

(6)

式中：mt=at+Aet;Ct=Rt-AtAtTQt;At=RtFtQt-1;et=yt-ft。

2)k步預測分布

在已知Dt的情況下，可對未來的狀態進行預測，θt+κ和yt+κ分布為

狀態分布：

(θt+κ/Dt)～N[at(κ),Rt(κ)]

(7)

預測分布：

(yt+κ/Dt)～N[ft(κ),Qt(κ)]

(8)

式中：at(κ)=Gt+κat(κ-1)；Rt(κ)=Gt+κRt(κ-1)Gt+κT+Wt+κ;ft(κ)=Ft+κTat(κ);Qt(κ)=Ft+κTRt(κ)Ft+κ+Vt+κ。

3)濾波遞推

在已知Dt的情況下，可由對過去的狀態進行預測，θt-κ分布為

(θt-κ/Dt)～N[at(-κ),Rt(-κ)]

(9)

式中：at(-κ)=mt-κ+Bt-κ[at(-κ+1)-at-κ(1)];

Rt(-κ)=Ct-κ-Bt-κ[Rt-κ(1)-Rt(-κ+1)]Bt-κT;

Bt=CtGt+1TRt+1-1

1.2 構建碳化深度貝葉斯動態線性預測模型

目前，學者們[17-19]常用的碳化深度模型為

(10)

式中：c(t)為t時刻(單位：年)的碳化深度,mm；而系數K則和材料、環境等因素相關。

為計入碳化過程中的隨機擾動，并考慮測量結果與真實狀態之間的誤差，需將上述碳化模型納入貝葉斯動態更新框架下來描述。但從式(10)可見，碳化深度模型是時間的非線性函數，貝葉斯動態線性模型中的轉化轉換關系Ft和Gt難以直接確定。為此，這里先對原始碳化模型作進行一步轉換。經觀察，對式(10)兩邊取平方，可得

c(t)2=K2t

(11)

引入新的變量函數y(t)，令

y(t)=c(t)2

(12)

yt=y(t)+vt,(vt～N[0,Vt])

(13)

(14)

由式(14)可看出，碳化耐久性貝葉斯動態線性模型在不進行觀測修正時，預測變量均值和t仍成線性關系，即有y(t+1)=y(t)+Δ(t)。據此，結合式(3)～式(6)，可對當前狀態碳化深度進行修正；式(7)～式(9)能根據修正后的結果對過去數據進行濾波以及對將來數據進行預測。

1.3 模型構件層次算例測試

模型的正確性和適用性需通過工程實踐加以檢驗，通過標準碳化實驗來獲得實際碳化數據，見圖1。試件尺寸為100 mm×100 mm×500 mm，碳化箱自動調節二氧化碳濃度為(20±3)%，相對濕度為(70±5)%，溫度為(20±2)℃。每次測量結果的平方作為檢測值，檢測結果見表1。

圖1 試驗照片

表1 碳化深度實測值Table 1 Experimental results of carbonation depth

將每次更新數據進行開方，即可得到碳化深度歷次更新數據，更新結果見圖2。從圖2可見，前兩次檢測數據與牛荻濤模型預測數據差別不大，更新效果不明顯，更新后曲線和先驗模型幾乎重合，但從第3次檢測開始，檢測數據與模型上一次更新數據差別較大，每次更新之后的數據開始趨向檢測值，表明體現結構自身特征的信息逐漸被傳統模型所吸納。

圖2 先驗模型1碳化深度更新結果Fig.2 Update results of carbonation depth based on prior model

圖3 先驗模型2碳化深度更新結果Fig.3 Update results of carbonation depth based on prior model

由圖3可見，因前2次檢測數據均比模型預測結果大，更新后的曲線先向上偏移，而隨著第3次檢測數據的減小，更新后曲線開始向下回落。由于先驗模型2來源于試驗結果的回歸，因此，最終更新后的數據逼近于先驗模型。

為便于進一步辨析兩個先驗模型歷次更新結果的細微差別，表2給出了部分主要數據，其中，檢測數據見表1。

表2 先驗模型1和2碳化深度更新值Table 2 Update results of carbonation depth for prior model 1 and 2

綜合圖2和圖3可見，先驗模型不同，會對更新過程尤其初期產生一定的影響，但隨著檢測數據量逐漸增大，更新的結果卻相差無幾，對比結果見圖4。由此建議，對于某一實際工程而言，當無檢測數據或檢測數據較少時，可基于專家經驗或相近地區類似橋梁結構的檢測結果作為待評估工程的初始先驗模型，而后隨著實測數據的增加，模型會動態地自動修正為能反饋實際結構自身特點的客觀模型，并且可以證明只要實測數據足夠，貝葉斯動態線性模型總能逼近于結構的真實狀態，初始先驗模型對其影響不大。考慮到碳化過程本就是一個隨機過程，在多種因素影響下很難和理論結果完全一致，以動態的模型來處理碳化過程，能更有效的適應檢測數據與理論模型間的偏差。此處更新模型有效性的證實為后面將其應用于拱橋體系可靠度分析奠定了基礎。

圖4 兩種先驗模型最終更新結果對比Fig.4 Final update results between two prior

2 體系耐久性可靠度模型和求解

2.1 體系耐久性可靠度模型的建立

實際工程中，體系往往由若干個構件組成，因此在計算體系可靠度時，通常需先計算構件的可靠度。若以碳化深度達到鋼筋表面作為正常使用極限狀態，則可取抗力R為保護層厚度C0，效應S為碳化深度c(t)，考慮碳化深度的時間效應，則

構件功能函數為

Xi(t)=R-S=C0-c(t)

(15)

失效概率

Pfi(t)=P[c(t)>C0]

(16)

可靠度指標

(17)

對于橋梁結構耐久性而言，首先，要保證整體結構處于相對安全狀態，同時亦應保證各個構件均處于安全狀態，即各個構件碳化深度均未達到鋼筋表面。反之，若結構中任一構件因碳化到鋼筋而失效，則結構體系可認定已處于非安全狀態,故整個耐久性結構體系可視為一個串聯體系。同時，各構件并非相互獨立，構件間的相關性不應忽略，由此，合理的體系耐久性可靠度計算模型可構建如下。

PfS(t)=1-Φn(…，βi(t),…,βj(t),…,γij(t),…)

(18)

式中：βi(t)、βj(t)分別為構件i和構件j可靠度指標；γij(t)為其相關系數；Φn(·)為n維標準正態概率分布函數，當隨機變量為非標準正態分布時，可將其先轉化為標準正態分布。

2.2 體系可靠度求解算法

當失效構件為n個時，在求解體系可靠度時需要對n維概率密度函數進行整體積分，計算較為復雜，而微分等價遞歸算法能有效地解決這一問題[6]，其原理是，采用逐次遞歸的方式將n維概率函數計算問題最終變成僅需對一個一維失效概率來處理。鑒于該算法目前主要集中于對并聯體系承載能力可靠度的分析，故需給出作為串聯體系的橋梁結構體系耐久性可靠度的求解過程。其求解思路是，先對失效事件取對立事件，將串聯化為并聯求解，最終再取對立，得到串聯體系可靠度。具體為，設Ei表示構件i的失效事件，即i構件碳化深度達到了鋼筋表面，則一個串聯體系的失效事件為

Es=E1∪E2∪…∪En

(19)

串聯體系不失效事件為

(20)

可以看出，串聯體系不失效事件為各構件不失效事件的并聯，由此可利用對立事件使用微分等價遞歸算法。這里定義前n個極限狀態方程的等價方程為

(21)

式中：具體實施時E(n)由等價遞推方程獲得。

則體系不失效概率為

(22)

進而可求得體系的可靠度指標

βs=-Φ-1(1-Prs)

(23)

2.3 體系可靠度動態更新流程

在求解結構體系可靠度時，若結合碳化深度貝葉斯動態線性模型，即計算構件可靠度時，先利用檢測數據對各構件碳化深度進行動態更新，再根據更新后的結果，采用微分等價遞歸算法計算結構體系可靠度，則可獲得結構體系耐久性可靠度動態分析模型，具體更新流程見圖5。

圖5 體系可靠度動態更新流程Fig.5 Dynamic update process of system

圖5中，Ci(t,κ)表示構件i在k時刻更新后在t時刻的碳化深度預測值；y(i,κ)為構件i在k時刻的檢測值；βi(t，κ)為構件i在k時刻更新后在t時刻的可靠度指標；βs(t,κ)為k時刻更新后在t時刻的體系可靠度指標。從流程圖中可見，貝葉斯動態線性模型完成了對碳化深度的動態更新修正，即

Ci(t,κ)=F1[Ci(κ,κ-1),y(i,κ)]

(24)

構件可靠度計算可表示為

βi(t,κ)=F2[Ci(t,κ)]

(25)

微分等價遞歸算法則完成了構件層次可靠度到體系層次可靠度的計算，即

β(t,κ)=F3[β1(t,κ),…，βi(t,κ)，…]

(26)

其中,F1、F2和F3分別經由式(3)～式(9)、式(15)～式(17)和式(21)～式(23)獲得。由此，最終實現利用檢測數據對橋梁體系耐久性可靠度的動態更新，計算程序采用MATLAB平臺編制。

3 拱橋耐久性體系可靠度貝葉斯動態分析

3.1 工程簡介和檢測數據的獲取

某上承式鋼筋混凝土箱型拱橋，計算跨徑81 m，計算矢高13.5 m。由于該橋梁檢測數據缺乏，難以收集到其歷年檢測數據，因此，采取在試驗室開展混凝土碳化試驗，以試驗數據來代替橋梁實測數據，二者間的對應關系按照二氧化碳濃度比采用等量代換的原則進行。雖然，室內碳化與野外工程實際環境碳化存在一定的差異，但本文著眼于檢測數據能否對先驗模型進行融入并加以修正，重點在于考證更新后預測模型的預測結果向實際數據趨近的能力，故檢測數據此時主要起到導向靶的功能，其室內外數值的差異并不影響對模型修正能力及對處于同一種碳化環境下結構體系和構件耐久性可靠度變化規律的探究。

對于鋼筋混凝土拱橋而言，主要構件為橋道系、拱上立柱和主拱圈，考慮實際橋梁均是帶載荷工作，各構件受力不盡相同，而這可能會對碳化速率帶來一定的影響，故試驗中也以承載混凝土為研究對象來模擬受載下不同構件的碳化。拉壓加載方式如圖6所示，施加荷載大小依據有限元模型計算結果。

圖6 加載裝置

碳化試驗中，在分別到達3、7、14、28 d時將試件取出切割，并測量其碳化深度，結果如圖7和表3所示。

圖7 拱橋各構件碳化深度對比Fig.7 Carbonation depth comparison of each component of the arch

表3 各構件碳化試驗結果Table 3 Carbonation experimental results of each component

從圖7和表3可見，對于簡支橋道板而言，其下緣受拉應力，甚至存在微裂縫，導致二氧化碳更加容易進入混凝土內部參加反應，其碳化速率應大于無應力時碳化速率；而主拱圈和拱上立柱則為偏心受壓構件，在適當的壓應力作用下，混凝土更加密實，一定程度上阻礙了二氧化碳的進入，減緩了碳化速率。

3.2 動態更新結果分析

圖8給出了構件和體系碳化耐久性可靠度指標歷次更新結果。

圖8 耐久性可靠度更新結果Fig.8 Update results of durability

隨著檢測數據對先驗模型的不斷融入，各構件和體系可靠度指標均產生了不同幅度的修正。從構件層面，對比圖8(a)、(b)、(c)可發現，拱圈和立柱可靠度指標曲線更新后變緩，可靠度指標變大，而橋面板更新后曲線則變陡，可靠度指標變小，主要與各構件自身的受力特性對碳化速率的影響有關。相對于存在彎拉區碳化速率快的橋面板而言，以受壓為主碳化速率較慢的拱圈和立柱，其在相同時間內混凝土碳化深度較小(見表3)，由式(17)可知其對應的可靠度指標自然相對較大。

相比于構件，體系可靠度修正幅度相對較小。究其原因在于，體系可靠度需計入構件間的相關性，致使雖然更新后拱圈和立柱可靠度變大，橋面板可靠度指標變小，但相互融合后結果對整體可靠度的修正則較為平緩，這再一次說明構件只是體系的一部分，其更新幅度并不能完全代表體系的變化程度。圖9進一步給出了更新后構件與體系間可靠度指標的對比圖。

圖9 更新后構件與體系耐久性可靠度對比Fig.9 Durability reliability comparison of components

從圖9可見，構件可靠度總會大于體系可靠度。若以構件可靠度評價體系可靠度，不僅會因構件選取不同導致評價結果差異較大，且不論如何選擇，都會對工程運營帶來一定的風險。因此，在評價橋梁結構耐久性時，建議應以體系而非以構件為標準進行可靠性評定，這也是后期維修加固指導的重要依據。

4 結論

為實現耐久性可靠度動態評估從構件層次到體系層次的提升，利用貝葉斯動態線性模型對混凝土碳化預測先驗模型進行了動態更新，考慮構件間的相關性建立了體系耐久性評估模型，據此對拱橋體系耐久性可靠度進行了分析，主要結論及建議如下：

1)構建的混凝土碳化貝葉斯動態線性模型，能不斷吸收檢測信息并自動修正為能反饋實際結構自身特點的客觀模型，且隨著實測數據的增加，更新后模型的預測結果對先驗模型的依賴度降低。

2)將微分等價遞歸算法嵌入貝葉斯理論框架，建立了具有明顯時變特征的體系耐久性可靠度動態評估方法，計算流程明晰，易操作。

3)具有碳化耐久性串聯特點的拱橋體系可靠度始終低于拱圈、立柱和橋面板的可靠度，表明僅依據單一構件可靠度來評價體系耐久性可靠度工程中存在風險，此點在結構健康評定和維修加固時應予以注意。