交流電機矢量控制中變換解耦的研究與仿真

張漢勛 ，張永平

（1.寧波工程學院 信息與電氣工程學院，寧波 315211；2.長安大學 電子與控制工程學院，西安 710082）

隨著微電子技術、電力電子器件、新型電機控制理論、數字控制技術的發展，交流調速系統相關的控制策略相應也得到了發展[1]。最初，V/F控制是交流電機最簡單的控制方法。但V/F控制具有非常差的低電機轉矩率和速度動態特性。特別是低速時，可能會導致系統變得不穩定。把速度閉環引入滑差頻率控制更容易使系統穩定。它們都屬于標量控制，只能對電機定子的電壓幅度和頻率進行控制，從而導致電機的動態性能不佳成為其主要缺陷[2]。

20世紀70年代提出的AC電機矢量控制系統將三相系統等效成為兩相系統，并通過對轉子磁場進行定向的同步旋轉變換來實現轉矩分量間和定子電流勵磁分量的解耦，從而實現分別控制轉矩和交流磁鏈的目的[3]。

矢量控制理論最早由德國的F.Blaschke于1971年提出。它的基本思想是把AC電動機模擬成DC電機來控制[4-5]。矢量控制系統在應用上的成功清除了先前標量控制上的不足，并且極大提升控制系統進行實時控制的性能。

本文詳細闡述了永磁同步電機在不一樣的坐標中的數學模型，分析轉換其解耦思想及其實現過程，為永磁電機進行矢量控制在Matlab中的仿真提供解耦依據。最后，通過Matlab/Simulink平臺，分析并仿真研究永磁同步電機的矢量控制系統，為實際進行系統設計與實現提供新的思路。

1 永磁同步電機變換解耦分析及其數學模型

在將永磁同步電機數學模型搭建起來之前，首先做以下假設：

（1）將渦流、磁滯、磁路飽和等影響因素忽略掉，把電機的磁路看作是線性的；

（2）定子繞組在電動機中是三相對稱排列的，它的軸在空間上互差120°電角度；

（3）阻尼繞組在電機的轉子上的作用忽略不計，不存在阻尼作用；

（4）電動機定子電勢根據正弦規律變化，定子電流僅在氣隙中產生正弦分布磁勢，定子與轉子之間繞組的互感以轉子位置角的正弦函數體現，將磁路中的高次諧波忽略掉；

（5）忽略溫度、頻率等因素對繞組電阻的影響；

（6）永磁材料的電導率為零。

根據以上假設，同步永磁電機的理論分析與實際情況非常接近，誤差控制在工程允許范圍以內[6]。

1.1 A、B、C三相坐標系下同步永磁電機的數學模型

在三相坐標系A、B、C中，同步永磁電機的物理模型如圖1所示，它的定子繞組以三相對稱排列。其繞組軸線分別為A、B、C，且依次相差120°。將A相繞組的軸用于空間坐標系的參考軸OA。在此基礎上，可獲得同步永磁電動機在A，B、C坐標系中的磁鏈、電磁轉矩、定子電壓的方程如下：

圖1 永磁同步電機物理模型Fig.1 Physical model of permanent magnet synchronous motor

三相同步永磁電機定子電壓的方程如式（1）所示：

三相同步永磁電機的定子磁鏈方程如式（2）所示：

對永磁同步三相電機，它的電磁轉矩方程表示如下：

式中 ：np為三相永磁同步電機極對數；ψs＝ ψf·為三相繞組的電流。

在靜止的三相坐標系下，可得同步永磁電機其電壓方程屬于線性微分方程，將一些常數量去掉，直接去求解其余的微分量就比較困難；從磁鏈方程的電感矩陣可以看出，它們的每個元素都是一個可變參數，因此每個繞組都擁有一個非線性耦合，同時它還與轉子旋轉的角度相關，想要達到解耦的目的，就要對定子的電感矩陣進行對角化，完成這個過程后，就可以解除磁鏈之間的相互耦合，從而便于獨立控制。對角化過程首先要通過特征多項式求取特征值，然后得到的特征值是Λ的主對角元素[7]。下面詳細推導對角化過程及推導變換矩陣過程。

1.2 同步永磁電機在α、β、o三相坐標系下的數學模型

由于定子繞組三相對稱，有LA=LB=LC=LS，MAB=MBC=MAC=Lm，定子繞組的電感矩陣可寫成

因此，對角化后有：

①當 λ1＝λ2＝Ls-Lm時

由于 λ1E-L 的秩為 1，則有（λ1E-L）X=0，有X1+X2+X3＝0，解得一個基礎解析為

②當 λ3＝Ls+2Lm時

由于 λ3E-L 的秩為 1，則由（λ3E-L）X=0，有X1＝X2＝X3，解得一個基礎解析為經單位化有因此，求得

因為電機繞組使用的是星形接法并且沒有中性線，即IA+IB+IC=0，即Io=0，因此矩陣第三行可以不考慮，只有前兩行有意義，所以說定子靜止三相電流IA、IB、IC從三坐標變換到兩坐標，便可獲得定子靜止兩相電流 Iα、Iβ，如圖 2 所示。

圖2 由靜止三相到靜止兩相的Clark變換Fig.2 Clark transform from stationary three-phase to stationary two-phase

永磁同步電機在α-β坐標系下的數學模型表達式如下：

定子電流：

定子磁鏈：

電磁轉矩：

1.3 在d、q、o三相坐標系下同步永磁電機的數學模型

定子和轉子在電機旋轉狀態下，他們之間將發生旋轉耦合關系[9]。此時，轉子和定子之間互感矩陣內包含轉子和定子繞組之間角度的元素，也就是具有非線性、三角函數、隨著時間進行變化，一般可以表達為

③當 λ3＝0 時，解得特征向量為將其單位化有

從而有正交變換矩陣如下：

由式（11）可得：

從式（12）能看出這是兩相靜止坐標系轉化到兩相旋轉坐標系的變化過程，也即是通過旋轉變換把靜態雙軸坐標Iα和Iβ變成雙軸旋轉坐標Id和Iq，從而實現了從ABC靜止三相坐標系的三相電流到同步旋轉dq坐標系的兩相電流的變換，如圖3所示。

永磁同步電機在轉子旋轉系中的數學模型可以表達式為

定子電壓：

圖3 ABC靜止三相坐標系到dq同步旋轉兩相坐標系Fig.3 ABC three-phase stationary coordinate system to dq two-phase synchronous rotating coordinate system

定子磁鏈：

電磁轉矩：

式中：Ud，Uq，Id，Iq分別是 d、q 軸的定子電壓以及電流；R為定子的電阻；ψd，ψq為d軸和q軸的磁鏈分量；為轉子電角頻率；Ld和Lq為d軸和q軸的等效電感；ψf為轉子磁鏈。

轉矩表達式（15）中，第一項是轉矩，通過q軸電流與氣隙磁場在相互作用下產生，即勵磁轉矩，即通過轉子凸極效應產生的第二項轉矩，稱為磁阻轉矩。顯然對于 SPMSM 來說，Ld=Lq，此項為零。

當id=0時，有電磁轉矩由此可以看出，如果將d軸的電流控制到零，則轉矩 Te只與q軸定子電流的分量Iq相關。為了達到id恒為0的解耦控制的目的，可以使用2種去耦方法，即電壓型去耦和電流型去耦。前者的方案可以用來完全解耦id和iq，但實現起來更復雜；后者的控制方案是近似解耦的，它進行控制的原理是[10]：對id環的電流調節器的參數進行適當的選取，并讓它擁有相當的增益，同時讓控制器的參考輸入命令始終保持為id*=0，可獲得 id≈id*=0，iq≈iq*＝0，這樣就獲得了同步永磁電機近似解耦。以矢量控制和id*=0為依據的解耦控制的同步永磁電動機的仿真模型主要在下面部分給出。

2 同步永磁電機矢量控制系統的仿真

2.1 系統整體仿真

該系統基于變換解耦的基礎上，系統根據系統的模塊化思想將控制系統分為若干個不同的子模塊，即坐標變換模塊、電流環PI調節器、轉速環PI調節器、SVPWM模塊、永磁同步電機模塊。通過模擬這些模塊有序連接，可以在仿真軟件中搭建起同步永磁電機的矢量控制系統的仿真結構圖，并對其進行控制。整體仿真圖如圖4所示。

圖4 同步永磁電機矢量控制整體仿真圖Fig.4 Permanent magnet synchronous motor vector control overall simulation diagram

2.2 仿真系統子模塊功能

（1）電流PI控制模塊，如圖5所示。

圖5 電流PI控制模塊Fig.5 Current PI control module

（2）轉速PI控制模塊，如圖6所示。

圖6 轉速PI控制模塊Fig.6 Speed PI control module

（3）坐標變換模塊

三相同步永磁電動機矢量控制基本思路是用控制直流電機的方式去控制交流電機，即通過對直流電機的控制特性進行模擬來控制同步永磁電機[11-12]。為了簡化感應電機模型，可以通過對平面矢量疊加原理的使用來合成和分解由電機三相繞組的電流產生的磁動勢，使得實際電機的三相繞組可以通過兩相正交繞組來等效。因為兩相繞組正交性的存在，大大減低了變量之間的耦合[13-14]。矢量控制中用到的變換有：將笛卡爾兩相靜態坐標系轉換為笛卡爾兩相旋轉坐標系（Park變換），并將笛卡爾兩相旋轉坐標系轉換為笛卡爾兩相靜態坐標系變換（Park逆變換），將三相平面坐標系變換為笛卡爾兩相平面坐標系（Clarke變換）。坐標變換矩陣的Matlab實現如圖7～圖9所示。

圖7 Park變換Fig.7 Park transform

圖8 Park逆變換Fig.8 Park inverse transformation

圖9 clarke逆變換Fig.9 Clarke inverse transformation

（3）SVPWM 模塊

SVPWM主要是讓恒定幅值的圓形磁場存在于電機中，電機中通過對稱的三相正弦電壓時，圓形磁鏈在交流電機中產生并且基于該磁鏈[15]，有效矢量通過逆變器的功率裝置不同切換模式形成無限接近于基準圓，并產生接近彼此相隔120°的正弦波的三個電流以驅動電機。如圖10所示。

圖10 SVPWM內部模型結構圖Fig.10 SVPWM internal model structure diagram

3 仿真結果分析

為了證實仿真模型是否具有有效性和正確性，進行針對該模型相關的仿真實驗。

電機參數：R=2.875 Ω，磁鏈 Ψf=0.175 Wb，轉矩慣量 J=0.001 kg·m2，阻尼系數 B=0.008 N·m·s，J=0.001，定子 d軸電感 Ld=8.5×10-3mH，定子 q軸 Lq＝8.5×10-3mH，極對數 Pn=4，Phi=0.175。

Number of phase 設置為 3，Back EMF waveform設置為Sinusoidal，Rotor type設置為Salient pole。

給定初始條件：初始轉速n=1000 r/min，初始時刻負載轉矩T=0 N·m，當t=0.2 s時，負載轉矩T=10 N·m，仿真時間為0.4 s。如圖11～圖13所示。

觀察仿真結果，我們可以得出，電機在通電后以極快的速度獲得最大轉矩（35 N·m），然后迅速恢復至穩定數值（10 N·m）。轉速直線上升。然而，當速度從0上升到1000 r/min，雖然剛開始電機的轉速有一些超調量，但仍然有較快動態響應速度，并在t=0.2 s時突加負載，負載轉矩T=10 N·m。電機也能恢復到給定轉速。

圖11 定子繞組三相電流波形Fig.11 Three-phase current waveform of stator winding

圖12 電磁轉矩波形Fig.12 Electromagnetic torque waveform

圖13 電機轉速波形Fig.13 Motor speed waveform

4 結語

本文針對交流電機控制時主要研究了同步永磁電機在三個不同的坐標系下的數學模型，得到了在不同坐標系下同步永磁電機的數學模型表達式，從數學角度對坐標變換過程進行了推導。通過坐標變換得到同步旋轉坐標系下兩軸的電流id和iq，然后根據電流型解耦控制實現對永磁同步電機的解耦控制。使用Matlab/Simulink軟件搭建同步永磁電機的矢量控制系統模型，分析獲得的仿真結果便可得知經過坐標變換解耦后，系統能平穩地運行。它具有很好的靜態特性和動態特性。它的控制效果也相對良好。仿真結果和同步永磁電機的運行特性相符合，同時為調試設計實際伺服系統提供了新的思路。該系統可實現高精度、寬范圍的速度和位置控制，不僅可用于快捷地驗證一些先進的控制算法，且可以進行簡單的模型修改、改進控制策略，因此具有一定通用性。