高中學生數學書寫狀況的調查研究

嚴必友，寧連華，趙靜亞

高中學生數學書寫狀況的調查研究

嚴必友1，寧連華2，趙靜亞2

（1．南京市教學研究室，江蘇 南京 210001；2．南京師范大學 數學科學學院，江蘇 南京 210023）

數學書寫作為數學認知過程、數學思維活動的表現形式，在數學學習中具有十分重要的作用．高中學生的數學書寫狀況以及數學書寫對高中學生學業成績的影響研究很有必要，基于對高中學生的問卷調查、學業成績及作業分析發現：高中學生對數學書寫的價值認同感不足，數學書寫與數學學業成績的相關性程度稍顯復雜，教師書寫的榜樣和示范作用沒有得到應有的發揮．培養良好的數學書寫習慣要注意：提升學生的書寫意識；扶正學生的書寫習慣；重視教師的示范作用；確立適量的書寫作業；重視同學之間的書寫影響．

高中學生；數學書寫；數學學業成績；差異性分析

1 問題提出

書寫是人們傳遞信息、獲取知識的重要方法，也是人們將認知過程、思維活動所得進行顯性化的基本途徑．數學書寫作為數學認知過程、數學思維活動的重要表現形式，在中學數學學習中的作用毋容置疑．良好的數學書寫能夠提高學生的學習效能、促進學生數學學習能力的發展．

良好的數學書寫應當具有正確性、簡潔性、邏輯性、規范性．正確性即指書寫的過程及結果要正確，具體包括：文字正確、符號正確、圖形正確等；簡潔性是指書寫內容精煉、語言簡明，書寫時能夠立足全局，抓住特征，體現簡單明了、凝練概括、通俗易懂的特點；邏輯性是指發展過程符合邏輯體系、具有邏輯特點、恪守邏輯規則，書寫的邏輯性具體包括：邏輯正確、說理嚴謹、條理清晰等；規范性是指數學書寫過程需要遵循一定的規矩和標準，具體包括：格式規范、布局合理等．著名數學家華羅庚曾言：“中學生在數學表達上要努力做到‘想得清楚，說得明白，寫得干凈’．”這里的“寫得干凈”內在地蘊含了數學書寫的上述幾個特征，也是數學書寫的精髓所在．

關于數學書寫的已有研究并不豐富，但多年來卻也一直未曾間斷過．就文獻所及，近幾十年來國內外關涉數學書寫的研究論文約近百篇．國外的此類研究論文二十余篇，主要聚焦于兩個方面：一是著眼于數學書寫的特性及如何發展數學書寫[1-4]；二是如何利用數學書寫促進某種形式的數學學習[5-7]，例如，通過針對性的設定某種數學書寫方式提高學生的“問題提出能力”[5]．國內的相關研究則多是關于初中、小學階段的數學作業書寫、數學解題步驟書寫以及教學中如何培養良好的數學書寫習慣等[8-10]，或者從課堂教學板書逐漸弱化的視角強調教師數學書寫的示范作用的重要性等[11-19]．總的來看，這些研究主要是立足于教學實踐就數學書寫的某些具體內容（如作業、解題步驟、問題提出等）進行的一些質性考察，雖然研究真實有效，也不失生動鮮活，但大部分屬于經驗總結基礎上的描述性研究，比較零散且缺乏深度和系統性，鮮有針對中小學生數學書寫基本狀況的量化數據支撐的調查研究，尤其缺乏對數學書寫水平與數學學業成績關系的系統考量．

鑒于此，這里旨在調查研究高中學生數學書寫的基本狀況，以及數學書寫與數學學業成績的相關性程度，以便能夠較深入地了解高中學生數學書寫的現實問題，從而思考并探尋提升高中學生數學書寫水平的有效路徑和方法．

2 研究設計

2.1 研究內容與目的

一方面通過問卷調查，了解學生數學書寫的意識，分析學生在數學書寫中存在的問題，并針對性地提出培養學生書寫能力的建議．

另一方面借助作業本書寫實物拍攝，采集數學書寫的實際樣例，從中收集研究數據，分析數學書寫與數學學業成績的相關性；同時，對比數學學業成績優秀和不良的學生在數學作業書寫方面的特征，總結歸納優秀學生的書寫習慣和數學學業成績不良學生書寫中存在的常見問題，為數學學習不良學生的轉化和努力方向提供指導．

2.2 研究對象

研究對象是某地區的高中二年級學生，考慮到樣本的代表性與可操作性，樣本選取時采用分層抽樣的方法，根據學校的生源水平和升學率選取某地區A、B、C三所不同層級的學校，其中A是第一層次優等學校、B是第二層次中等學校、C是第三層次一般學校．考慮到要同時對學生進行問卷調查和作業評價，在每個學校的高二年級各班每班選取3人，其中A學校共15個班遴選學生45人，B學校共13個班遴選學生39人，C學校共11個班遴選學生33人．共發放問卷117份，回收117份，其中有效問卷117份．

2.3 研究工具

調查研究的工具主要是自編的“數學書寫現狀調查問卷”及學生的作業本．調查問卷共設置19道題，其中客觀題17道，主觀題2道．第1~3題和第19題主要調查學生在數學書寫方面的表現；第4題調查學生的數學書寫習慣；第5~11題和第18題調查學生對數學書寫的態度和認知；第12~17題從學生的角度調查教師數學書寫的水平．每道選擇題均設有4個選項，讓學生根據自己的實際情況選擇一個最符合要求的選項．此外，為了研究數學書寫與數學學業成績的相關性，以該地區統考的2018—2019第一學期高二數學期末考試（文理通用）成績作為研究對象的數學學業成績．

數學作業中數學書寫的評價指標從正確性、簡潔性、邏輯性、規范性等4個方面考量，根據圖1進行賦分．

圖1 良好數學書寫評價指標的賦分方法

分別在A、B、C三所學校所選學生中進行作業檢查評分，選取學生的10次作業，每次作業滿分為10分，10次作業總計100分．依據上述評分標準對學生的10次作業進行成績評定，最后將10次成績進行累加記為學生的數學書寫成績．

3 調查結果分析

根據調查所得數據，從相關性、差異性等方面研究數學書寫與數學學業成績的關系，之后結合問卷所反映的學生對數學書寫的認識，執果索因．

3.1 數學書寫與數學學業成績之間的相關性分析

為了評分標準的一致，取高二年級期末考試主觀題成績（客觀題無法體現學生的數學書寫，故舍去）作為學生數學學業成績的觀察值，使用SPSS18.0軟件對調查數據進行處理．具體見表1~3．

表1 A學校學生數學學業成績與數學書寫之間的相關性

注：**在0.01水平（雙側）上顯著相關．

表2 B學校學生數學學業成績與數學書寫之間的相關性

注：*在0.05水平（雙側）上顯著相關．

表3 C學校學生數學學業成績與數學書寫之間的相關性

注：**在0.01水平（雙側）上顯著相關．

從以上數據處理所得可以推斷出以下結論：

（1）各層次學校中，數學書寫和學生的數學學業成績之間存在著密切的聯系，相關系數的顯著性程度均達到了0.01或0.05的水平．這意味著數學書寫水平高的學生其數學學業成績水平也比較高，反之，數學學業成績水平高的學生其數學書寫也比較符合規范．

（2）不同層次學校的學生在數學書寫與數學學業成績的相關性程度上差別不大，最低的為0.398，最高的為0.532．

3.2 不同數學書寫水平的學生學業成績的差異性分析

了解到相關性之后，還需要認識一點：數學書寫水平不同的學生是否學業成績也有較大區別？為了研究這一問題，首先根據學生的數學書寫成績對學生進行分組，根據圖2中各學校學生數學書寫成績的均值，以均值的1.1~1.2倍為界限值，高于這一界限值的為數學書寫“高水平組”，低于均值的為數學書寫“低水平組”，其他的為數學書寫“中水平組”．

圖2 學業成績與數學書寫成績描述性分析

進一步利用SPSS18.0軟件進行不同組學生學業成績的差異性分析．

3.2.1 A學校差異性分析

從表4可以看出，高水平組學生的學業成績均值為83，中水平組學生的學業成績均值為80.83，低水平組學生的學業成績均值為75.29．據此可以認為：隨著數學書寫水平的降低，學生的數學學業成績也相應降低．從表中還可以看出，高水平組和中水平組的極大值都是89，高水平組的極小值甚至比中水平組的低，這也符合現實情況：有些學生解題嚴格仿照課本例題或者教師的示范，書寫成績高，但是他（她）的數學思維能力不是很強，尤其靈活性不夠，學業成績不突出；有些學生書寫不夠完善，但是思維靈活、思路清晰，會做的題目多，書寫雖然常常出現跳步、不規范、不精準的狀況，但往往不會因此扣分．

表4 不同數學書寫水平組之間的差異性描述

從表5可知，=6.191，對應的值0.004<0.05，因此在0.05顯著性水平下不同數學書寫組的學業成績有顯著差異．

表5 不同數學書寫水平學生學業成績的差異性分析

進一步對3個組的學業成績多重比較，得到表6．

從表6可知：A學校數學書寫高水平組與低水平組之間差異性顯著，中水平組與高水平組、低水平組之間差異性不顯著．

3.2.2 B學校差異性分析

從表7可以看出，B學校數學書寫高水平組學生的學業成績均值為70.33，中水平組學生的學業成績均值為68.62，低水平組學生的學業成績均值為59.88，與A學校的規律一致：隨著數學書寫水平的降低，學生的數學學業成績也相應降低．無獨有偶，B學校數學書寫高水平組的極小值也比中等水平組低．

表6 不同數學書寫水平組之間的多重比較分析

注：*均值差的顯著性水平為0.05．

表7 不同數學書寫水平組之間的差異性描述

從表8可知，=4.682，對應的值0.016<0.05，因此在0.05顯著性水平下不同數學書寫組的學業成績也有顯著差異；對3個組的學業成績進行多重比較及同類子集歸類，從表9和表10可知：在0.05的顯著性水平下，3個組可以分成同質的兩個組，其中一個包括高水平組和中水平組，另一個為中水平組和低水平組．高水平組與低水平組差異顯著，中水平組與高水平組、低水平組差異不顯著．

表8 不同數學書寫水平學生學業成績的差異性分析

表9 不同數學書寫水平組之間的多重比較分析

注：*均值差的顯著性水平為0.05．

3.2.3 C學校差異性分析

從表11可以看出，C學校數學書寫高水平組學生的學業成績均值為63.10，中水平組學生的學業成績均值為55.71，低水平組學生的學業成績均值為51.81，與前兩類學校的規律一致：學生的數學學業成績隨著數學書寫水平的降低而降低．

表11 不同數學書寫水平組之間的差異性描述

從表12可知，=3.636，對應的值0.039<0.05，因此在0.05顯著性水平下不同數學書寫組的學業成績同樣有顯著差異．

表12 不同數學書寫水平學生學業成績的差異性分析

表13表明：C學校數學書寫高水平組與低水平組差異顯著，中水平組與高水平組、低水平組差異不顯著，這與前兩類學校的研究結果一致．

4 討論與思考

通過A、B、C三類不同學校的一致性結果，可以發現：隨著數學書寫水平的降低，學生的數學學業成績也相應降低，因此可以嘗試通過提高學生的數學書寫水平來提高學生的學業成績．

表13 不同數學書寫水平組之間的多重比較分析

注：*均值差的顯著性水平為0.05．

4.1 學生問卷統計結果與分析

4.1.1 學生數學書寫的現實表現

對回收的117份有效學生問卷用Excel進行數據統計，所得結果如表14．

表14 學生問卷第1和第2題

從表14可以看出，67.3%的學生曾因為書寫不規范而在以往的數學測試中失分，其中51.8%的學生偶爾這樣，13.6%的學生經常這樣，還有1.8%的學生幾乎每次考試都會因數學書寫不規范而失去本該獲得的分數．

在解題過程中，83.6%的學生都有過這樣的體驗：心里大概清楚某道題的解答，但是無法將解題過程順利進行到最后一步．其中69.1%的學生偶爾這樣，12.7%的學生經常這樣，而1.8%的學生總是這樣．這可能是由于在平時的教學中，由于時間太少，關注結果甚于關注過程，學生認為只要明白大體思路就是真的弄懂了問題．殊不知，那些知識和方法如蜻蜓點水般在頭腦中跳過，沒有留下深刻印象，長此以往，也就只能記個大概了．

從圖3可以看出，對于解題步驟的書寫，只有5.5%的學生是非常滿意的，75.5%的學生基本滿意．另外，分別有17.2%和1.8%的學生對自己的解題步驟是比較不滿意甚至是非常不滿意的．

以上數據透露出以下信息：高中學生數學書寫的現實表現不容樂觀，書寫水平一定程度上拉低了學生的學業成績，但同時也預示著提升空間的存在．近一半的學生或多或少可以通過數學書寫提高自己的數學學習成績．而且從第19題的學生回答可以看出，學生慣常的數學書寫活動局限于：做習題、訂正習題、抄題目、做試卷……其形式單一，而且僅僅將書寫作為一種表達工具，沒有思維活動的加入，甚至有些學生的回答是：無、從來沒有……這說明在數學書寫方面需要教師給予更多的重視和指導，最好是有價值的規范書寫，這是值得教師在教學中認真研究的問題．

圖3 學生問卷第3題

4.1.2 數學解題的習慣

數學需要理性思考，需要經歷一系列觀察、比較、猜想、歸納的過程．在高中數學學習過程中，數學解題占了學生數學學習生活的絕大部分時間，因此擁有良好的解題習慣有利于提升數學成績．但是很多學生拿到一道試題，粗讀一遍就開始著手解決，往往沒有真正弄清楚題目的含義，認為某種方法具有可行性便毫不猶豫地寫下去，即便方法很繁瑣也不在乎，只要結果對了，就不去考慮其它可以使解題過程簡化的方法，造成書寫的盲目、混亂與繁瑣．通過學生問卷第4題的數據可知，12.7%的學生總是這樣，50.9%的學生經常這樣，30.9%的學生偶爾這樣，只有5.5%的學生從不這樣．這表明高中學生還缺乏良好的解題習慣，思考太少，動手太快，成為解題步驟書寫不良的主因．

4.1.3 學生對數學書寫的態度和認知

第5~11題主要考察學生對數學書寫的態度和認知，根據學生對數學書寫的重視程度依次給4個選項進行賦分：選A記為4分，選B記為3分，選C記為2分，選D記為1分，7道題目總分為28分．通過頻率分析可知：學生數學書寫的價值認同感較弱，近45%的學生認為數學書寫對于自己的數學學習不太重要，對于思維的發展也沒有明顯作用，因此他們不太注重數學書寫，也不愿意通過“多遍書寫”來提升自己的數學解題書寫能力．

4.1.4 學生對數學教師書寫水平的評價

分析學生問卷第12~17題可知，學生對數學教師的書寫水平認可度較高，59.1%的學生認為自己數學教師的板書（語言、符號、圖形、邏輯等）非常符合規范的數學書寫，36.4%的學生認為一般符合；在課堂教學中，85%的教師會對作業或試卷書寫的不規范情況進行及時和集體的糾正，其中45.5%的老師總是能做到，40.9%的老師經常這樣；對于個別數學書寫極其困難的學生，74.5%的教師會進行單獨指導．學生能認識到自己教師對數學書寫規范的重視，但是另一方面，由于高中階段的學習時間比較緊，67%的學生覺得課堂上的書寫時間不充足，這或許就是同一個教師培養出來的學生，他們的數學書寫水平卻有著明顯差異的原因．

4.2 不同學業成績學生的數學書寫差異性分析

前已提及：不同數學書寫水平的學生在數學學業成績上是有差異的，尤其是高數學書寫水平組和低數學書寫水平組．那么在數學學業成績不同的情況下，學生的數學書寫成績是否存在顯著性差異呢？

為了研究這一問題，首先根據學生的數學學業成績對學生進行分組，根據圖2中各個學校學生數學學業成績的均值，以均值的1.1~1.2倍為界限值，高于這一界限值的為數學學業成績“高水平組”，低于均值的為數學學業成績“低水平組”，其他的為數學學業成績“中水平組”．

從表15可知，=3.915，對應的值0.028<0.05，因此在0.05顯著性水平下不同數學學業組的書寫成績有顯著差異．

表15 A學校不同數學學業成績數學書寫水平的差異性

從表16可知，=1.609，對應的值0.214>0.05，不能拒絕原假設，因此在0.05顯著性水平下不同數學學業組的書寫成績沒有顯著差異．

表16 B學校不同數學學業成績下數學書寫水平的差異性

從表17可知，=1.937，對應的值0.162>0.05，不能拒絕原假設，因此在0.05顯著性水平下不同數學學業組的書寫成績沒有顯著差異．

表17 C學校不同數學學業成績下數學書寫水平的差異性

綜合以上數據，可以發現：

（1）只有A學校表現出了差異性，B、C學校的學生在數學學業成績不同的情況下沒有顯著差異．

（2）并不是每個數學學業成績好的學生數學書寫成績都高，他們的數學書寫也存在不規范現象；同樣，數學學業成績不是很好的學生，模仿能力可能很強，在對常規題目的求解過程中嚴格按照教師和例題的答題步驟，其書寫成績反而可能比較高．

數學書寫與數學學業成績之間具有相關性，不同數學書寫水平與其數學學業成績存在顯著差異，但是不同數學學業成績與其數學書寫水平則不一定存在顯著差異．由此可以推測：提高學生的數學書寫水平，一定程度上可以提高學生的數學學業成績．

但是從學生問卷又可以看出：教師的書寫絕大部分是符合規范的，因此可以認為數學書寫更大程度上與學生自身因素相關，比如學生的書寫意識、習慣和方法等．

5 研究結論及思考建議

5.1 研究的主要結論

通過學生問卷、作業的調查和統計軟件的數據分析，得到了以下結論．

（1）高中學生對數學書寫的價值認同感不足．認為數學書寫對數學學習沒有多少幫助，因此他們經常因為書寫不規范被扣分．導致學生數學書寫水平不佳的原因主要有：自身的錯誤意識；長期的解題習慣；作業量大，學生忙于應付；教師教學中的“趕進度”行為對書寫的淡化與忽視．

（2）數學書寫和數學學業成績存在相關性．不同數學書寫水平的學生其數學學業成績存在差異性，但是不同數學學業成績學生的數學書寫沒有差異性，也就是說數學書寫可以促進數學學業成績的提升．

（3）教師書寫的榜樣作用沒有得到應有的發揮．教師的書寫基本符合規范和標準，教師的數學書寫理論上對學生的數學書寫有著潛移默化的作用，但是這種作用在教學時間緊湊、教學內容繁重的高中數學課堂得不到很好的體現．

5.2 思考與建議

結合教師問卷中所提的意見，明確良好的數學書寫應符合以下幾點要求：表述正確無錯誤；書寫簡潔不贅述；邏輯清晰有條理；布局合理有秩序．

培養良好的數學書寫習慣可以從以下幾個方面進行．

（1）提升學生的書寫意識．內因是事物發展的根本原因，讓學生認識到數學書寫的重要性是促使其行動的有利因素，通過擺事實和優劣對比，端正其對書寫的認知．

（2）扶正學生的書寫習慣．及時肯定學生書寫到位的地方，進行班級展示，這樣既能鼓勵表現好的學生，也能激勵書寫不規范的學生以此為榜樣進行調整；采取必要的懲罰措施，對習慣性犯錯的學生進行個別指導．

（3）重視教師的示范作用．將教師的規范書寫保持下去，同時針對高中數學課堂教學內容的特點，進一步明晰那些特別要注意的書寫規范，反復強調數學符號語言的正確性和數學推理步驟的邏輯性．

（4）確立適量的書寫作業．過多的書寫作業量會使學生疲于應付，降低書寫的質量與效率．因而，應當精選作業，適當控制作業量，讓學生能靜下心來，有充分的思考問題、書寫表達的時間，從容地進行書寫方能使學生有的放矢，寫出水平．

（5）重視同學之間的書寫影響．群體間的互相影響至關重要，可以發揮書寫榜樣的作用，首先分小組挑選書寫規范的學生，讓該學生負責本小組成員的書寫檢查指導；到達一定水平后，可以嘗試同桌間互相點評的形式，找出書寫優劣的問題所在，達到隨時矯正的書寫效果．

當然，以上關于數學書寫的結論還屬于粗線條的描述性研究，多半屬于外部觀察的結果，研究過程中沒有對學生數學書寫的心理活動進行測量或者診斷，也缺少對典型數學書寫個案的跟蹤研究，這也是需要后續進一步研究的問題．

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Research on Mathematical Writing Situation of High School Students

YAN Bi-you1, NING Lian-hua2, ZHAO Jing-ya2

(1. Nanjing Teaching Research Office, Jiangsu Nanjing 210001, China;2. School of Mathematical Sciences, Nanjing Normal University, Jiangsu Nanjing 210023, China)

Mathematical writing was a manifestation of mathematical cognition and mathematical thinking, which played an important role in mathematics learning. It was necessary to do research on mathematical writing situation of high school students and try to find out how mathematical writing influences students’ mathematical academic performance. Based on questionnaire survey, academic performance and homework of high school students, several conclusions were obtained: high school students didn’t had enough recognition of the value of mathematical writing; correlation between mathematical writing and mathematical academic performance was slightly complicated; teachers’ writing didn’t set a good example. In order to develop good habits of mathematical writing, teachers should increase students’ awareness of writing, enhance students’ study habits, pay attention to demonstration teaching, establish appropriate amount of writing, pay attention to the influence of writing among students.

high school students; mathematical writing; mathematical academic performance; difference analysis

2019-09-08

國家社科基金教育學一般項目——中學生學科核心素養的評價研究（BHA170150）

嚴必友（1964—），男，江蘇溧水人，特級教師，主要從事教育教學管理、數學教育研究．趙靜亞為本文

．

G632

A

1004-9894（2019）06-0010-06

嚴必友，寧連華，趙靜亞．高中學生數學書寫狀況的調查研究[J]．數學教育學報，2019，28（6）：10-15．

[責任編校：周學智、陳雋]