PraxisⅡ之數學學科測試規范對中國教師資格證考試的啟示

盧永翠，張廷艷

PraxisⅡ之數學學科測試規范對中國教師資格證考試的啟示

盧永翠，張廷艷

（西南大學 數學與統計學院，重慶 400715）

教師資格考試制度是實現教師專業化的重要途徑，教師資格考試大綱制定的科學性與規范性是實現教師資格考試科學性的先決條件．美國的Praxis系列考試中Praxis II中的數學學科測試規范具有學科考試大綱的作用，它對考生報考的要求、試卷結構、考試內容及要求等都具有詳盡的規定．通過對Praxis II中數學學科測試規范的評介，提出對中國的教師資格考試大綱制定的建議如下：注重考試大綱內容制定的程序性與參與主體的多元性，完善學科知識內容要求，注重考生的知識與能力并重等．

教師資格考試；Praxis II數學學科測試規范；考試大綱

1 研究背景

美國教育考試中心（Educational Testing Service，ETS）是目前世界上最大的專門從事考試開發的民間機構，在考試的開發、設計、管理、執行等方面有豐富的經驗．Praxis系列考試是由美國教育考試中心（ETS）開發的基于計算機測試的標準化教師資格考試．正是由于ETS獨立于美國任何政府部門，不受政府部門支配，使得Praxis系列考試的科學性及考試結果的公正和客觀性得到了美國各州的廣泛認可[1]．到2018年，美國共有46個州和5個島嶼地區在使用Praxis考試對教師資格申請人進行考核[2]．

Praxis系列考試分為三大系列，每個系列分別對應于教師入職申請的3個階段．Praxis I稱為學術技能評價，衡量的是考生的閱讀、寫作和數學方面的學術技能，旨在選拔合格人員進入教師培養計劃；Praxis II稱為學科專業評價，衡量的是特定主題的內容知識以及一般的和特定主題的教學技能，旨在對考生的學科知識進行考核，篩選具有新任教師應具備的學科知識和教學技巧．該系列考試是Praxis系列考試最為精華的部分，考核內容包括：學科測試（考查一般性的學科知識和技能）、教與學原理測試（考查一般教育知識）、多元學科評估測試（考查教師的綜合能力）．Praxis III稱為課堂行為評價，旨在對新任教師在課堂環境中的教學技能做出評價[3-4]；這種分層測試的理念體現了教師專業發展的階段性．

中國于2011年開始實行教師資格證考試制度改革，到2018年，除了新疆、內蒙古、西藏外，其它省份已全部納入教師資格統考范圍．改革后的教師資格考試相對于改革之前，在內容和形式上都有所豐富，各科考試有了國家統一的考試大綱．但是中國實行教師資格考試制度的歷史非常短暫，考試大綱內容的制定也還處于摸索階段．目前有關教師資格考試“國考”后的研究主要集中于教師資格考試改革、意義、建議等基本理論，考試科目內容、試題難度、信度、區分度等分析，考試系統、教師資格證管理以及對教師教育產生的影響等幾方面的研究[5]，有關教師資格考試大綱的相關研究還寥寥無幾．“他山之石，可以攻玉”，研究美國的Praxis系列考試測試規范的制定程序及內容對完善中國的教師資格考試大綱具有重要的現實意義．

2 研究內容

中國教師資格證考試的目的在于選拔具有新任教師應具備的學科知識和教學技能的考生進入教師隊伍，與Praxis II的考核目的最為接近．研究者立足于數學學科，對Praxis II中的數學學科測試內容規范進行介紹，以期對中國的教師資格考試大綱的完善有所啟示．

3 Praxis II中數學學科測試規范

3.1 數學學科測試規范的分類

在美國，小學教師是全科型的，在教師資格考試中，對于數學學科的測試只分為初中階段和高中階段．Praxis測試中初中數學學科測試規范名稱為“中學數學（Middle School Mathematics）”，學科代碼為5169；高中數學學科測試規范名稱為“數學：內容知識（Mathematics：Content Knowledge）”，學科測試代碼為5161．

3.2 考試目的和報考條件及試卷結構

3.2.1 初中數學學科測試（中學數學）

（1）考試目的及報考要求．

初中階段的“中學數學”考試目的是衡量一名初級教師所需要的知識和技能．考生通常需要完成一個以數學教育、數學或教育為重點的學士課程．課程內容包括：算術理論、數學基礎、中小學教師幾何、中小學教師代數、微積分的重要思想、數據及其應用、初等離散數學、初等概率論與數理統計、數學史、數學欣賞及數學教育中的技術運用等．考生需要理解和運用數學概念進行數學推理、數學猜測，建立數學模型，使用非正式的邏輯論點來證明語句的合理性并進行簡單的證明．此外，考生還需要通過整合不同數學領域的知識來解決問題，使用不同概念的表示，解決具有多個解決路徑的問題，并開發數學模型，使用它們來解決現實世界中的問題．

（2）試卷結構．（見表1[6]）

表1 中學數學

注：數字輸入題是指某些問題要求考生在一個答案框中以整數或小數的形式輸入答案，或者在兩個單獨的框中以分數的形式輸入答案——一個框表示分子，一個框表示分母；拖放問題是指有些問題要求考生將給定的短語或短語從一個位置拖拽（用鼠標）到另一個位置并將它們與給定的短語或短語匹配起來．

3.2.2 高中數學學科測試規范（數學：內容知識）

（1）考試目的及報考要求．

高中階段的“數學：內容知識”測試旨在評估初任高中數學教師所必需的數學知識和能力．考生通常完成了以數學或數學教育為重點的學士學位課程．考生需要理解和運用數學概念進行數學推理、數學猜測，建立數學模型，使用非正式的邏輯論點來證明語句的合理性，并進行簡單的證明．此外，考生還需要通過整合來自不同數學領域的知識來解決問題，使用不同的概念表示，解決具有多種解決途徑的問題，開發數學模型并使用其解決現實世界中的問題．

（2）試卷結構．（見表2[7]）

表2 數學：內容知識

比較表1和表2可知，其考試內容主題都是比較明確的，而且劃分的角度從知識的類別展開．但其測試時間、內容、考題數目及考題類型均存在差異，顯然“數學：內容知識”的要求更高．有些考查高中教師的內容雖不在初中教師考試考查的范圍之內，但是在報考條件中做出相關要求，比如要完成“微積分的重要思想、數據及其應用、初等離散數學、初等概率論與數理統計”等課程，這說明初中教師也應當具備相應的基本素質．

3.3 數學學科測試規范內容介紹

由上述可知Praxis II中數學學科測試規范分為初中和高中，在此僅以高中數學測試規范——“數學：內容知識”為例．

3.3.1 “數學：內容知識”測試規范介紹

“數學：內容知識”測試規范描述了測試所測量的知識和技能，測試評估的目的是衡量考生對數學知識的整合能力，所以測試中任何問題都可能涉及多個內容類別或多個能力．

3.3.2 “數學：內容知識”對測試內容劃分的依據及結構

測試規范設計的原則是符合當前數學教育研究界對教師的基本要求，因而其測試內容的劃分并非依據某個唯一的標準．比如要符合全國州長協會最佳實踐中心、首席州立委員會理事、國家數學核心標準委員會、全國數學教師委員會（NCTM）和教育工作者資格認證委員會NCTM CAEP標準以及NCTM頒布的“學校數學教學原則和標準”等的要求．下面僅以其一作為說明．

測試規范根據美國全國州長協會最佳實踐中心（NGA Center）和各州教育長官委員會（CCSSO）聯合頒布的《共同核心州立數學標準》[8]將測試內容要求劃分為數學內容領域要求和數學過程性領域要求．數學內容領域要求根據《共同核心州立數學標準》所規定的高中6個基礎內容（數與量、代數、函數、建模、幾何、概率與統計）以及3個附加內容（微積分、高級統計和離散數學），將測試內容劃分為以下7個主題：“數與量”“代數”“函數”“微積分”“幾何”“概率與統計”“離散數學”；數學過程性領域要求分為“數學問題解決”“數學推理和證明”“數學聯系”“數學表示”“會使用教學技術”等．

在對每個知識主題的知識和能力要求介紹完后是以開放式問題或陳述的形式呈現出來的貫穿于該內容主題的一個討論區域．這些討論區域旨在幫助測試考生對基本概念的認識以及考生將這些概念應用于課堂或現實世界的能力．大多數領域都要求考生結合幾個方面的知識來形成一個完整的理解和反應．

3.3.3 測試內容要求介紹

（1）數學內容領域要求．

微積分的創立被稱為數學史上的“三大變革”之一，在數學史上具有里程碑的意義．它開創了向近代數學過渡的新時期，為研究變量和函數提供了重要的方法和手段．世界各國都非常重視微積分的教學，大多數國家已經將微積分納入高中課程之中[9]．因而，該研究數學內容領域要求介紹中將選取內容主題“微積分”為例．

1. 理解函數極限的含義以及如何計算函數極限，確定極限何時不存在，并利用極限的性質解決問題．

a．能夠用圖形化的方法分析當從左、右兩側接近一個固定值時()的極限．

b．會利用極限的性質解決極限問題（例如：常數乘以一個函數，兩個函數的和，兩個函數的乘積或商），其中每個函數在處的極限都存在．

c．通過分析各種函數的單側極限，以判斷函數極限是否存在．

2. 將函數的導數理解為曲線在某點切線的斜率或變化率的極限．

b．能夠陳述導數的極限定義，并利用它求給定函數在給定值下的導數，并求出導數函數．

3. 理解如何說明某些函數是連續的．

4. 了解函數連續性和可微性之間的聯系．

5. 了解如何使用數值逼近法求導數和積分．

a．給定數值表，使用割線的斜率來逼近導數的近似值．

b．會利用中點法則、梯形法則或其它黎曼求和法來求積分的近似值．

6. 了解如何以及何時使用標準的微分和積分技術．

a．會使用標準的微分技術．

b．會使用標準的積分技術．

c．了解運動中粒子的位置、速度和加速度函數之間的關系．

7. 理解如何分析函數的性態（例如：極值、凹凸性、對稱性）．

會利用一階導數和二階導數分析函數的圖象．

8. 理解如何利用導數求解問題（如有關利率、優化的問題）．

會應用導數解決問題．

9. 理解微積分的基本定理（例如：微分基本定理、均值定理、中值定理）．

a．會用微積分的基本定理解決問題．

b．理解微分與積分之間的關系，包括微積分基本定理的作用．

c．能夠將函數的圖象與它的導函數圖象或積分圖象對應起來．

d．理解如何利用函數的微分和積分表達變化率和總體變化．

e．理解并計算函數在一個區間內的平均值（即：積分中值定理）．

10. 理解積分是黎曼和的一個極限．

會用黎曼和的極限來計算一個定積分．

11. 理解如何使用積分來計算面積、體積、距離或其它累加過程．

會用積分方法來計算面積、體積、距離或其它累加過程．

12. 知道如何求數列的極限（如果極限存在）．

會求數列極限，當數列極限存在時．

13. 熟悉簡單的無窮極限．

a．能夠確定簡單的無窮級數是收斂的還是發散的．

b．會求一個簡單的無窮級數的和（如果其存在）．

c．會求出一個簡單無窮級數的部分和．

微積分部分的討論區域：

1. 你能分析一個函數在給定點的極限嗎？

2. 你能認識到函數在某一點上的極限與函數在該點上的函數值之間的區別嗎？

3. 你能用導數的極限定義來計算導數嗎？

4. 你能用表格列出割線的斜率來近似給出一個函數的導數嗎？

5. 你能確定函數在給定點的連續性和可微性嗎？

6. 你能計算出一個函數的極值，并且用一階導數來判斷函數的增減性嗎?

7. 你能判斷曲線在某一點的凹凸性，并找到曲線的任一拐點嗎？

8. 你能應用導數來解決相關的最優化問題嗎?

9. 你能用中點法、梯形法或其它黎曼和來逼近積分嗎？

10. 你能用微積分基本定理來計算定積分嗎？

11. 你能否用微分技術從計算變化的速度來計算累積變化率？

12. 你能用微分和積分技術來識別位置、速度和加速度函數之間的關系嗎？

13. 你能判斷一個簡單級數的收斂性或發散性嗎？

14. 你能求一個簡單級數的和（如果存在）或者部分和嗎？

（2）數學過程性領域要求．

1. 數學問題解決．

a．解決數學中出現的問題和其它情況下的數學問題．

b．通過解決問題來建立新的數學知識．

c．應用并采用各種適當的策略幫助解決問題．

2. 數學推理和證明．

a．會選擇并使用各種類型的方法進行推理和證明．

b．能夠建立和研究數學猜想．

c．能夠發展和評價數學“論證和證明”．

3. 數學聯系．

a．能夠識別和使用數學概念之間的聯系．

b．能夠在數學以外的語境中應用數學．

c．理解數學概念是如何相互聯系和建立的．

4. 數學表征．

a．能夠選擇、應用和轉換數學表征方法來解決問題．

b．能夠使用數學表征來模擬和解釋物理和社會現象．

c．能夠創建和使用表征來組織、記錄和傳達數學思想．

5. 教學技術．

a．能夠使用技術來幫助理解數學思想．

b．適當地使用技術作為解決問題的工具．

4 測試內容規范的特點分析

4.1 內容體系的完備性和科學性

首先，內容規范中對新任教師需要掌握的基本知識的內容體系及掌握的廣度與深度要求完備且比較明確具體；其次，測試內容的劃分依據之一是“共同核心州立數學標準”，該標準的制定由全國州長和教育專員通過其代表組織、全國州長協會最佳做法中心（NGA Center）和州校長理事會（CCSSO）等領導制定，同時在制定過程中擁有來自全國各地的教師、家長、學校管理人員和專家，以及國家領導人提供的建議[10]．參與主體的多元性使得標準既滿足了聯邦政府、州政府的需求，也滿足了社會對人才的要求，其科學性為美國數學教育界所認可．因而，測試規范中對內容體系的劃分的科學性也是值得肯定的．

4.2 測試規范的獨特之處——討論區域的設置

討論區域的目的在于幫助測試考生對基本概念知識的掌握程度以及將這些概念應用于課堂或現實世界的能力．

討論區域所涉及的內容都為該內容區域下的最為核心關鍵的內容，且這些討論內容都以問題的形式進行呈現，那么當考生閱讀到該區域時便會引發思考，從而使得考生以自我反思的姿態去自我測試，進而提高考生對于基本概念的理解能力．例如，求函數在定點處的極限是微積分的重要內容之一，在討論區域中便設有問題“你能分析一個函數在給定點的極限嗎”，而對該內容的要求在“數學內容領域要求”中已較為詳盡地給出，并給出了具體的分析方法——通過分析函數在某點的單側極限，來判斷函數的極限是否存在．在討論區域中提出這樣的問題勢必會引起考生思考“我會嗎”，進而引起考生對該內容的重視與審視．當然，唯有不足之處是，對于這些討論區域的內容沒有提供參考答案，試想是否可以提供某一個討論內容的參考答案，以便為考生思考此類問題提供一定的參考依據．

4.3 內容性知識與過程性知識并重

測試規范的內容要求結合“共同核心州立數學標準”，將考生需要達到的要求分為數學內容領域要求和數學過程領域要求，這樣對考生在知識與能力方面需要達到的要求較為明確，可以為考生備考提供很好的建議．

由表2可知，“數學：內容知識”數學內容領域的測試涵蓋兩大部分，第一部分包括：數與量、代數、函數和微積分；第二部分包括：幾何、概率與統計和離散數學．內容規范中對考生需要掌握的知識和內容要求明確而具體，例如微積分中：通過分析函數在某點的單側極限，來判斷函數的極限是否存在；如何來證明函數是連續的；函數的連續性和可微性之間的關系是如何的？

同時，從數學過程性領域要求之中可以得知，美國對于教師的要求更加注重教師對知識系統性的把握（如：要能夠識別和使用數學概念之間的聯系）和實際應用的能力（如：能夠在數學以外的語境中應用數學；能夠選擇、應用和轉換數學表征方法來解決問題），注重教師對教學技術的使用技能．

5 啟示

5.1 注重考試大綱內容制定的程序性與參與主體的多元性

ETS在Praxis系列測試開發的過程的每一步都咨詢了全國各地的一線教師和教師教育工作者．首先，ETS向他們詢問一個初任教師需要具備哪些知識和技能．然后，按照他們回答的重要程度排列，并由數百名教師進行審查．最后，對結果進行分析，達成共識，形成測試規范或指南．遵循這些指導原則，這些教師和教師教育工作者以及專業測試開發人員創建滿足內容要求和ETS標準的測試問題[6]．而中國的考試大綱制定的依據是《中小學和幼兒園教師資格考試標準（試行）》[11]．從標準的制定者來看，是由中國教育部考試中心制定，參與人員主要為教育行政專家，這在一定程度上對教師資格考試的專業性、科學性造成影響．從考試大綱的命制者來看，命制者主要來源為高校專家，如果教師資格考試大綱只是出自教師教育者而不顧實際教學中的訴求，那么考試大綱的科學性值得商榷．同時，Praxis開發的過程具有一定的程序性，這也在一定程度上保障了其測試的科學性，中國可以建立具有科學性的程序性方案來保障考試大綱制定的科學性．

5.2 完善學科知識內容要求

Praxis II測試規范和中國教師資格考試大綱的設立目的均是為考生和命題專家提供一定的參考標準，在4.3中已經了解到Praxis II中對考生在數學學科知識與能力方面的要求明確而具體，為考生備考提供了很好的備考建議．而中國“數學學科知識與教學能力（高級中學）”對于學科知識的要求分為大學本科數學專業基礎課程和高中課程中的數學知識．大學本科專業數學知識所要求的知識內容規定：數學分析、高等代數、解析幾何、概率論與數理統計等大學課程中與中學數學密切相關的內容，包括數列極限、函數極限、連續函數、一元函數微積分、向量及其運算、矩陣與變換等內容及概率與數理統計的基礎知識．內容要求為：準確掌握基本概念，熟練進行運算，并能夠利用這些知識去解決中學數學的問題．高中數學知識要求的內容規定：指《課標》中所規定的必修課全部內容、選修課中的系列1、2的內容以及選修3—1（數學史選講），選修4—1（幾何證明選講）、選修4—2（矩陣與變換）、選修4—4（坐標系與參數方程）、選修4—5（不等式選講）．其內容要求是：理解高中數學中的重要概念，掌握高中數學中的重要公式、定理、法則等知識，掌握中學數學中常見的思想方法，具有空間想象、抽象概括、推理論證、運算求解、數據處理等基本能力以及綜合運用能力[12]．

通過對比，顯然“數學：內容知識”更具有參考價值和指導意義．中國的考試大綱中“大學課程中與中學數學密切相關的內容”以及“高中《課標》所規定的全部內容”這樣模糊不清的命題要求往往讓大多數來自于各個高校而非一線教師命題專家在命制試題時不知如何取舍，考生備考時也一頭霧水，不知如何下手．

建議考試大綱的制定應結合中小學實際教學中的訴求，加強基礎教育與教師教育之間的聯系，提高中小學優秀教師、教育培訓機構以及更多層次大學教師的參與度，將考試大綱內容中學科知識部分內容系統化、具體化，以保障教師資格考試的權威性、專業性．同時，為考生備考和專家命題提供更有價值的參考依據．

5.3 知識與能力并重

從上述得知，“數學：內容知識”測試內容要求分為了數學內容領域要求和數學過程性領域要求，且數學過程性領域中要求更加注重考生對數學知識系統地把握以及實際應用數學知識的能力．而中國考試大綱中對考生在數學學科內容知識的測試方面更多地停留在數學知識和數學思想上，缺乏對教師數學應用意識的要求．

“數學：內容知識”數學過程性領域中的“能夠使用數學表征來模擬和解釋物理和社會現象”“能夠在數學以外的語境中應用數學”，實際上體現了對教師在數學建模能力方面的一種要求，而中國《普通高中數學課程標準（2017版）》[13]中也將“數學建模”作為了數學核心素養之一．因而中國的教師資格考試大綱應結合時代對教師的新要求，對初任教師在學科知識方面的要求要做到知識與能力并重．

[1] 秦立霞．美國教師資格認證制度研究[M]．北京：教育科學出版社，2010：80．

[2] ETS. State requirements [EB/OL]. [2018-07-02]. http://www.ets.org/praxis/states.

[3] 陳凡．美國教師資格普瑞克西斯考試研究[D]．金華：浙江師范大學，2006：15-19．

[4] ETS. About the Praxis? tests [EB/OL]. [2018-07-14]. https://www.ets.org/praxis/about.

[5] 葉桂斌，劉汪洋．近5年教師資格考試研究內容分析[J]．中國考試，2017（3）：58-63．

[6] ETS. Middle school mathematics [EB/OL]. [2018-07-14]. https://www.ets.org/praxis/prepare/materials/ 5169.

[7] ETS. Mathematics: Content knowledge [EB/OL]. [2018-07-15]. https://www.ets.org/praxis/prepare/ materials/5161.

[8] CCSSO. Common core state standards for mathematics [EB/OL]. [2018-07-15]. https://ccsso.org/sites/default/files /2017-12/ADA%20Compliant%20Math%20Standards.pdf.

[9] 胡曦茜．職前數學教師對導數知識的SMK及PCK水平研究[D]．蘇州：蘇州大學，2014：15．

[10] CCSSO. Common core state standards initiative frequently asked questions [EB/OL]. [2018-07-15]. http://www. corestandards.org/wp-content/uploads/FAQs.pdf.

[11] 教育部師范教育司，教育考試中心．中小學和幼兒園教師資格考試標準（試行）[EB/OL]．[2018-07-15]．http://ntce. neea.edu.cn/html1/report/1508/332-1.htm．

[12] 教育部師范教育司，教育部考試中心．中小學和幼兒園教師資格考試《數學學科知識與教學能力》考試大綱（高中）[EB/OL]．[2018-07-15]．http://ntce.neea.edu.cn/html1/report/1508/369-1.htm．

[13] 中華人民共和國教育部．普通高中數學課程標準（2017版）[M]．北京：人民教育出版社，2018：10．

The Enlightenment of Praxis II’s Mathematics Test Standard to the Examination of Teacher Qualification Certificate in China

LU Yong-cui, ZHANG Ting-yan

(School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China)

The teacher qualification examination system was an important way to achieve teacher professionalization. The scientific and normative nature of the teacher qualification examination syllabus was a prerequisite for realizing the scientific qualification of the teacher qualification examination. The mathematics test specification in Praxis II in the American Praxis series had the role of the subject examination syllabus. It had detailed requirements for candidates’ requirements for examination, test paper structure, examination content and requirements subject test specifications in Praxis II, the author puts forward the following Suggestions for the formulation of the teacher qualification examination outline in China: pay attention to the procedural nature of the formulation of the examination outline and the diversity of the participants, improve the content requirements of subject knowledge, and lay equal emphasis on the knowledge and ability of the examinees.

teacher qualification examination; Praxis II test specification for mathematics subjects; examination syllabus

2019-10-25

西南大學繼續教育教學研究重點項目——基于學習者職業能力為導向的專業案例庫建設——中小學教師資格考試案例分析（20700173）；2018年度全國民族教育科研課題——民族地區中學數學教師專業素養與學生學業成就關系的實證研究（ZXYB18009）

盧永翠（1993—），女，河南鶴壁人，碩士生，主要從事數學教育研究．

G40-059.3

A

1004-9894（2019）06-0071-05

盧永翠，張廷艷．PraxisⅡ之數學學科測試規范對中國教師資格證考試的啟示[J]．數學教育學報，2019，28（6）：71-75．

[責任編校：周學智、陳漢君]