聚焦中考概率的“交匯性”

韓祥安

[摘 要]探究概率與一次函數、二次函數、對稱圖形的交匯，以讓學生了解不同類數學知識之間的聯系，提高學生分析問題與解決問題的能力.

[關鍵詞]聚焦;概率;中考;交匯

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2020）29-0001-02

近年中考中，概率的考查逐漸與其他知識結合.從若干個數中抽取兩個或三個數，當這兩個或三個數作為二次函數或一次函數解析式的系數時，概率就與函數結合了起來;當這兩個或三個數作為一元二次方程的系數時，概率就與方程結合了起來;當抽取的對象是幾何圖形時，概率就與幾何結合了起來.

一、概率與二次函數的交匯

現有若干個實數，任意抽取兩個數，求它們的和、差或積或商，這是一般的概率問題.當這兩個數作為二次函數圖像的頂點坐標時，這樣的二次函數有多少？這需要運用列表法或畫樹狀圖的方法找出所有可能的結果，就是二次函數的個數.那么這些二次函數中符合某一要求的函數，如圖像交于y軸負半軸，或頂點在坐標軸上的概率是多少？此時要根據二次函數的性質找出符合題意的函數個數，再利用概率公式計算.

[例1]已知二次函數的表達式為[y=（x﹣m）2+n].它的頂點坐標是-2～2五個連續整數中的兩個，

（1）如果頂點的橫坐標為1，縱坐標是剩下四個數中的一個，由此形成四條拋物線，那么它們與y軸負半軸相交的概率是多少？

（2）從五個連續整數中取兩個數作為拋物線的頂點，拋物線的頂點可能在橫軸或縱軸上，這種情況的概率是多少？

評注：此題第一小題是一步完成的事件，直接使用概率公式解答;第二小題是兩步完成的事件，使用了畫樹狀圖的方法找出所有可能的結果.此題同時考查了二次函數圖像與y軸相交、頂點坐標等性質.

二、概率與一次函數的交匯

從若干個實數中任意抽取兩個數，這兩個數分別作為一次函數解析式的自變量系數和常數項時，概率與一次函數實現了交匯.任意抽取的結果有許多種，但是符合某一條件的結果也有幾種，如函數值隨自變量增大而增大的情況，或圖像不經過某一象限的一次函數等，此時求發生概率，需要運用概率公式計算.

[例2]有三張紙片，它們的一面寫著數字，分別是-1、1、2，然后將紙片的另一面向上.

（1）從剛才的紙片中任意拿一張，恰好是2的概率是多少？

（2）先隨機抽取一張，以其正面數字作為k值，將卡片放回再隨機抽一張，以其正面的數字作為b值，請你用恰當的方法表示所有可能的結果，并求出直線[y=kx+b]的圖像不經過第四象限的概率.

（2）根據題意先列出圖表，得出所有可能情況數和直線[y=kx+b]的圖像不經過第四象限的情況數，然后根據概率公式求解.列表如下：

評注：此題第（2）題是放回事件，第一次抽取時抽取數字-1，第二次抽取時還有可能抽到-1，它區別于不放回事件，這是學生在解答時容易出錯之處.一次函數圖像不經過第四象限，可能有兩種情況，一是經過第一、二、三象限，二是經過第一、三象限，即[k>0]，[b≥0].

三、概率與對稱圖形的交匯

在抽取的對象中，可以是數字、字母，也可以是幾何圖形，當抽取對象是對稱圖形時，概率就與對稱圖形實現了交匯.一組軸對稱或中心對稱的圖形，任意抽取一個，可以求抽到中心對稱圖形的概率;或者任意抽取兩個，可以求抽到的圖形都是軸對稱圖形的概率，此時需要運用列表法或樹狀圖法找出所有可能的結果，再用概率公式計算.

[例3]現有紙片5張（如圖2），它們的一面繪有不同的圖案，另一面沒有圖案，將這一面放在桌子上，

（1）紙片上的圖案有軸對稱的，也有中心對稱的，如果任意拿一張，恰好是中心對稱圖形的概率是多少？

（2）如果從五張紙片中隨意抽取兩張，這兩張的情況有若干種，那么這兩張都是軸對稱圖形的概率是多少？

解析：（1）直接利用概率公式求解.

因為共有5張卡片，是中心對稱圖形的卡片有兩張，是軸對稱圖形的卡片有3張，所以如果任意拿一張，恰好是中心對稱圖形的概率為2/5.

（2）畫樹狀圖列出所有可能結果，從中找到符合條件的結果數，再根據概率公式計算可得.畫樹狀圖如圖3：

由樹狀圖知，共有20種可能結果，其中兩次所抽取的卡片恰好都是軸對稱圖形的有6種結果，所以這兩張都是軸對稱的概率是3/10.

評注：中心對稱圖形是指繞中心旋轉180°后能與自身重合的圖形.也就是說，圖形的左邊與右邊，上邊與下邊，左上與右下，左下與右上的圖形是一樣的.軸對稱圖形是指沿對稱軸對折后，對稱軸兩旁的部分能互相重合，圖形是否是軸對稱圖形的關鍵是能否找到對稱軸.

概率的交匯性問題還包括概率與一元二次方程，即將一組數字中的兩個數作為一元二次方程的系數，求能使一元二次方程有實根的概率.當抽取的對象不是數字而是漢字時，概率與漢字也實現了交匯.此類問題一方面考查了概率的有關計算，另一方面也考查了相結合知識的掌握情況，加強了不同類數學知識之間的聯系，提高了學生分析問題與解決問題的能力.

[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]

[1]? 李萬國.概率交匯試題的歸類解析[J].中學數學雜志，2016（1）：50-52.

[2]? 馬麗霞，李祎.品味概率與其他知識的交匯[J].中學數學研究，2012（10）：9-12.

[3]? 曹經富.概率與其他數學知識的交匯[J].初中生之友，2011（33）：47-49.

（責任編輯 黃桂堅）